TM-04 (Лекции)

04-Относительное движение-1Лекция 04-01Теорема о сложении скоростей.Пусть Oex ey ez - неподвижная, а O1eξ eη eς - подвижная системы отсчета. Положим OO1 = R .Возьмем движущуюся как-то точку S и радиус-векторы OS и O1S обозначим r и ρ . Так, чтоr = R + ρ .

Пустьr = xex + ye y + zez , ρ = ξeξ + ηeη + ςeςТри определения.1. r& = x&ex + y& ey + z&ez - абсолютная скорость точки S ( vабс ).2. ρ& = ξ&eξ + η&eη + ς&eς - относительная скорость точки S ( vотн ). Это скорость, которую видит наблюдатель, расположенный в подвижной системе координат.3. Скорость точки подвижной системы координат, совпадающей в данный момент с точкойS , называется переносной скоростью точки S ( vпер ).&Лемма о переносной скорости. vпер = R + [ω , ρ ]Доказательство. Рассмотрим подвижную систему координат как движущееся твердое тело.Пусть S1 - точка подвижной системы, совпадающая в данный момент с S . Тогда ρ = O1S1 . По фор-муле Эйлера vS1 = vO1 + [ω , ρ ] . Доказателство леммы завершено.vабс = vотн + vперТеорема о сложении скоростей.Доказательство.r& = R& + ρ& = R& + ξe&ξ + ηe&η + ςe&ς + ξ&eξ + η&eη + ς&eς == R& + ξ [ω , e ] + η[ω , e ] + ς [ω , e ] + v =ξηςотн= R& + [ω , ρ ] + vотн = vпер + vотнДоказательство завершено.Пример.

Метод Роберваля, построения касательных к кривым 2-го порядка. (см. Березкин,с.61) На примере эллипса.Вопросы к материалу Лекция 04-01.••Абсолютная, относительная, переносная скорости точки.Теорема о сложении скоростей.Лекция 04-02Сложение ускорений.04-Относительное движение-2Четыре определения. В прежних обозначениях1.

&r& - абсолютное ускорение точки S ( aабс ).2. ξ&&eξ + η&&eη + ς&&eς - относительное ускорение точки S ( aотн )3. Ускорение точки подвижной системы координат, совпадающей в данный момент с точкойS , называется переносным ускорением точки S ( aпер ).4. Кориолисово ускорение aкор = 2[ω , vотн ] .Теорема о сложении ускорений. (Кориолис)aабс = aотн + aпер + aкорДоказательство.

r = R + ρ , следовательноr& = R& + ρ& = R& + ξe&ξ + ξ&eξ + K(η , ς )&& + ρ&& = R&& + ξe&& + 2ξ&e& + ξ&&e + K (η , ς ) = (!Здесь–внимание–множитель 2!)&r& = Rξξξ&& + ξ [ω , e ]• + 2ξ&[ω , e ] + ξ&&e + ...(η , ς ) ==Rξξξ= R + ξ [ε , eξ ] + ξ [ω ,[ω , eξ ]] + 2ξ&[ω , eξ ] + ξ&&eξ + ...(η , ς ) =&& + [ε , ρ ] + [ω , [ω , ρ ]] + 2[ω , v ] + a=Rотнотн&& + [ε , ρ ] + [ω ,[ω , ρ ]] = aЛемма о переносном ускорении. Rпер′Доказательство.

Применим формулу Ривальса к O , S и получим требуемое. Доказательство утверждения завершено.Тем самым завершено и доказательство теоремы Кориолиса.Пример 1.Пусть точка движется с постоянной скоростью v по меридиану Земли, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω . Найдем ускорение точки. Подвижная система – это Земля.v2, направлена к центру Земли.R= ω 2 R cos ϕ , направлена к оси вращения.aотн =aперaкор = 2ω v sin ϕ , в северном полушарии направлено горизонтально влево (в южном полушарии горизонтально вправо) по ходу движения.Вопрос.

Какой берег у рек чаще обрывистый, а какой пологий.Ответ. В северном полушарии у рек текущих на юг – правый.Пример 2. Скорость и ускорение точки в полярных координатах при движении по плоскости.04-Относительное движение-3Пусть точка S движется в плоскости Oxy . Введем подвижную систему отсчета Oξη , гдеOξ всегда проходит через S . Угловая скорость подвижной системы равна ϕ& ez . Обозначим для наглядности eξ = er , eη = eϕ . Тогдаvабс = vпер + vотн = rϕ&eϕ + r&eraабс = aпер + aотн + aкор = (rϕ&&eϕ − rϕ& 2er ) + &r&er + 2r&ϕ&eϕ = (rϕ&& + 2r&ϕ& )eϕ + (&r& − rϕ& 2 )erЗамечание.

Эту формулу можно получить и напрямую, дифференцируя выражения декартовых координат через полярные.Задача. Сделать этот вывод.Сложение угловых скоростей в относительном движении твердого тела.Пусть Oxyz - неподвижная система, O′ξης - подвижная система, Τ - движущееся в E 3твердое тело.Три определения.1. Угловая скорость тела Τ относительно неподвижной системы Oxyz называется абсолютной ( ω абс ).2.

Угловая скорость тела Τ относительно подвижной системы O′ξηςназывается относи-тельной ( ω отн ).3. Угловая скорость подвижной системы O′ξης относительно неподвижной системы Oxyzназывается переносной ( ω пер ).Теорема. (О сложении угловых скоростей).ω абс = ω отн + ω перДоказательство. По теореме Эйлера для всяких двух точек A , B твержого тела Τ выполненоvВабс = v Аабс + [ω абс , AB ] , vВотн = v Аотн + [ω отн , AB ] , vВпер = v Апер + [ω пер , AB]По теореме о сложении скоростей v Аабс = v Аотн + v Апер , vВабс = vВотн + vВпер .

Поэтому[ω абс − ω отн − ω пер , AB] = 0 , ∀A, BОтсюда ω абс − ω отн − ω пер = 0 . Что и завершает доказательство.Обобщения теорем о сложении скоростей и угловых скоростей.04-Относительное движение-4Введем несколько систем отсчета: 0,1,2,…,n. Система 0 – неподвижна. Пусть vi - переноснаяскорость точки S в той ситуации, когда i -я система считается неподвижной, а (i + 1) -я движется относительно нее, i = 0,1,..., n − 1 .

Пусть vn - скорость точки S относительно системы n .Утверждение. vабс = v0 + v1 + K + vnЗадача. Доказать утверждение.ωi - угловая скорость движения системы i + 1 относительно системы i ,i = 0,1,..., n − 1 . Пусть ω n - угловая скорость движения тела Τ относительно системы n .Утверждение. ω абс = ω 0 + ω1 + K + ω nПустьЗадача. Доказать утверждение.Углы Эйлера.Рассмотрим вращение твердого тела, имеющего неподвижную точку O . Пусть Oex e y ez - неподвижный репер, а репер Oeξ eη eς - жестко связан с телом. Положение твердого тела определяетсяматрицей eξ  ex α β γ   S =  α ′ β ′ γ ′  , где  eη  = S  ey e e α ′′ β ′′ γ ′′  z ςМатрица S задается 9-ю числами, т.е.

точкой в R 9 = {α , β , γ , K , γ ′′} . Матрица S ортогональна:SS T = E . Следовательноα 2 + β 2 + γ 2 = 1 ,…αα ′ + ββ ′ + γγ ′ = 0 ,…Всего независимых соотношений 6 . Значит в R 9 эти соотношения высекают нечто 9 − 6 = 3 мерное. Это алгебраическое многообразие есть SO(3) - группа ортогональных преобразований трехмерного пространства, сохраняющих ориентацию. Это гладкое многообразие и группа Ли.Одна из возможных локальных систем координат на SO (3) - это углы Эйлера.θ - угол между Oz и Oς ( 0 ≤ θ ≤ π ). Он отсчитывается “сверху-вниз”. Если θ ≠ 0 и θ ≠ π ,то плоскости Oxy и Oξη пересекаются по прямой l - она называется линия узлов (и часто обозначается буквой i ) .

Важное свойство el || [ez , eξ ] .ψ - угол между Ox и линией узлов l . Он отсчитывается так, что его положительному значению соответствует поворот оси l в сторону от Ox к Oy .ϕ - угол между Oξ и линией узлов l . Он отсчитывается так, что его положительному значению соответствует поворот оси Oξ в сторону от l к Oη .Названия углов Эйлера.Угол ϕ принято называть углом собственного вращения.04-Относительное движение-5Для углов ψ и θ чаще всего используются такие обозначения. Угол ψ называется угломпрецессии, а угол θ называется углом нутации.

Иногда эти названия применяют в обратном порядке.Угол θ называется углом прецессии, а угол ψ называется углом нутации.θ , ϕ , ψ - углы Эйлера , θ ∈ (0,π ) , ϕ mod 2π , ψ mod 2π .По углам Эйлера однозначно определяется положение твердого тела, и наоборот, если Oς непараллельна Oz .Кинематические формулы Эйлера.Найдем в терминах углов Эйлера компоненты угловой скорости движения твердого тела впроекции на подвижные оси ω = peξ + qeη + reς .В начальном положении неподвижная и подвижная системы совпадают. Чтобы перевести тело из начального положения в конечное достаточно выполнить три поворота:(1) Вокруг оси Oz на угол ψ .(2) Вокруг линии узлов на угол θ .(3) Вокруг оси Oς на угол ϕ .Поэтому целесообразно ввести подвижные системы отсчета1.

Ol l1 z - Ol и Oz даны, а Ol1 достраиваем.2. Ol l2ς - Ol и Oς даны, а Ol2 достраиваем.Тогдаωтв тела = ω0 + ω1 + ω2иω 0 = ψ& ez , ω1 = θ&el , ω 2 = ϕ& eςт.е.ω тв тела = ψ& ez + θ& el + ϕ& eς(*)Проектируя на eξ , eη , eς получим:el = eξ cos ϕ − eη sin ϕ - получается поворотом вектора eξ на угол ( − ϕ ) вокруг Oς .ez = eς cos θ + τ sin θгде первое слагаемое – это проекция на ось Oς , а второе – проекция на плоскость Oξη . Посколькуez ⊥ l и l лежит в плоскости Oξη , то τ ⊥ l , причем τ получается поворотом eη на угол ( − ϕ ) вокруг Oς . Т.е.τ = eξ sin ϕ + eη cos ϕЗначитилиez = eς cosθ + (eξ sin ϕ + eη cos ϕ ) sin θez = eξ sin ϕ sin θ + eη cos ϕ sin θ + eς cosθПодставив el и ez в (*) получимω тв тела = ψ& (eξ sin ϕ sin θ + eη cos ϕ sin θ + eς cosθ ) +θ&(eξ cos ϕ − eη sin ϕ ) + ϕ eςилиωтв тела = eξ (ψ& sin ϕ sin θ + θ&cos ϕ ) + eη (ψ& cos ϕ sin θ − θ& sin ϕ ) + eς (ψ& cosθ + ϕ& )Окончательно получаемp = ψ& sin ϕ sin θ + θ& cos ϕq = ψ& cos ϕ sin θ − θ& sin ϕr = ϕ& + ψ& cosθ04-Относительное движение-6Это и есть кинематические формулы Эйлера (1760 г.).Углы Эйлера, как координаты на SO(3) вырождаются при θ = 0 и θ = π .

Этого недостаткалишены кватернионы (см., например, у Голубева).Замечание. Если выбросить из SO(3) подмногообразия θ = 0 и θ = π , то останется открытое полноторие. И SO(3) получается из него, если каждый из граничных торов склеить в окружностьпо центральной параллели. Здесь видно, что на SO(3) есть замкнутый путь, который нельзя стянутьв точку, т.е. SO(3) неодносвязное многообразие.Пример нестягиваемого пути в SO(3) . Представим себе самолет, который двигается по горизонтальной окружности, при этом ось его корпуса направлена по касательной, а сам корпус вращается вокруг оси так, что при совершении облета окружности, корпус совершает один оборот вокругоси.

Если связать с корпусом репер, то его повороты – это замкнутый путь в SO(3) . Он не стягивается в точку.Вопросы к материалу Лекция 04-02.••••••Теорема о сложении ускорений.Скорость и ускорение точки в полярных координатах.Сложение угловых скоростей.Многообразие есть SO(3) .Углы Эйлера.Кинематические формулы Эйлера..