TM-03 (Лекции)

Описание файла

Файл "TM-03" внутри архива находится в следующих папках: Лекции, 03-Кинематика твердого тела. PDF-файл из архива "Лекции", который расположен в категории "лекции и семинары". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из седьмого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст из PDF

03- Кинематика твердого тела -1Лекция 03-01.Кинематика твердого тела.Определение. Твердое тело – это система точек в E 3 таких, что при движении их попарныерасстояния не меняются.За движением твердого тела удобно следить, связав с ним систему координат. Это можнокорректно сделать, если в теле есть три не коллинеарные точки. Такое твердое тело будем называтьневырожденнымВ невырожденном случае движение твердого тела с точки зрения кинематики отождествляется с однопараметрическим семейством ϕ t изометрий пространства E 3 . Эти изометрии сохраняюториентацию.Математики часто называют изометрии, сохраняющие ориентацию, - движениями.

Множество движений E 3 образует группу.Задание движений.Aeξ eη eς - подвижный репер, жестко связанный с телом.Чтобы задать положение твердого тела (т.е. положение всех его точек) надо знать положениеподвижного репера, т.е. rA , eξ , eη , eς .Радиус-вектор ρ точки твердого тела в подвижном репере имеет постоянные компонентыr = rA + ρ , ρ = ξ eξ + η eη + ς eςξ ,η , ς = constФормулы Пуассона.

Мгновенная угловая скорость твердого тела. eξ  ex   Разложим новый базис (подвижный) по старому (абсолютному):  eη  = X  e y  , (слева иe e  z ςсправа – матрицы, составленные из столбцов-векторов). X - ортогональная матрица, XX T = E .det X = 1 .Следствие:X −1 = X TиОриентацияреперовсовпадает,значит• eξ  eξ e  eξ  ex  ex •     • T ξ  −1T e y  = X  eη  = X  eη  . Найдем производные подвижного репера:  eη  = X  e y  = X X  eη e e e e e e  z z ς ς ς ς•Лемма. Матрица Ω = X X T - кососимметрическая.03- Кинематика твердого тела -2Доказательство.XX T = E ,поэтому(XX )T •••= X XT + X XT = 0.СледовательноT• •X X T = − X X T  . Доказательство завершено. 0−ως ωη 0Представим Ω в виде Ω =  ως−ωξ  , где ωξ , ωη , ως - пока просто обозначения −ω0  η ωξ• eξ   0−ως ωη  eξ    0(*)для элементов Ω .

Тогда  eη  =  ως−ωξ  eη  e   −ω0  ς   η ωξ eς rrrПоложим ω = ωξ eξ + ωη eη + ως eς . Равенство (*) равносильно следующим тремe&ξ = [ω , eξ ] , e&η = [ω , eη ] , e&ς = [ω , eς ](*)Это формулы Пуассона.Определение. Вектор ω называется вектором угловой скорости твердого тела (или – вектором мгновенной угловой скорости твердого тела).Выведем интересную формулу. Для прозрачности действий введем для ξ , η , ς обозначения 1,2,3 . Умножая формулы Пуассона e&i = ω × ei , i = 1,2,3 скалярно на e j , j = 2,3,1 ,получим замечательное соотношениеω = (e&2 , e3 )e1 + (e&3 , e1 )e2 + (e&1 , e2 )e3Иногда эту формулу используют как определение мгновенной угловой скорости.Формула Эйлера о распределении скоростей в твердом теле.Теорема Эйлера (1750) (О распределении скоростей в твердом теле)A и B - любые две точки твердого тела.v A = vB + [ω , BA] , гдеДоказательство.

Подвижную систему можно выбирать по-разному. Пусть начало подвижнойсистемы координат расположено в точке B . ТогдаrA = rB + BA = rB + ξ eξ + η eη + ς eς(**)Причем ξ , η , ς - постоянные и BA = ξ eξ + η eη + ς eς . Продифференцировав (**) по времени, получимv A = vB + ξ e&ξ + η e&η + ς e&ς = vB + [ω ,ξ eξ + η eη + ς eς ] = vB + [ω , BA]Мы воспользовались здесь формулами Пуассона (*). Доказательство завершено.Примеры(1) Пусть в некоторый момент времени t0 угловая скорость равна нулю ω = 0 . Тогда скорости всех точек твердого тела равны.

В этом случае движение твердого тела называется мгновеннопоступательным в момент времени t0 .Определение. Движение твердого тела называется поступательным, если для любых двух различных его точек прямая, соединяющая их, во все время движения остается параллельной своему03- Кинематика твердого тела -3первоначальному направлению. При поступательном движении скорости всех точек тела равны вовсе время движения.Движение твердого тела называется прямолинейным , если траектории всех его точек являются прямыми линиями. При прямолинейном движении скорости всех точек твердого тела равны исохраняют свое направление во все время движения.Задача.

Пусть движение твердого тела мгновенно-поступательное при всех t . Движется литело твердое тело поступательно? Движется ли тело прямолинейно?Ответ. Да. Нет.Задача. Пусть в твердом теле скорости двух точек одинаковы (например, равны нулю):v A = vB . Тогда ω || AB .Решение. v A = vB + [ω , BA] , значит [ω , BA] = 0(2) Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси l .Положение тела определяется одним параметром – углом поворота ϕ . Пусть el - единичный векторна оси l , указывающий в ту сторону, откуда положительное направление изменения угла ϕ видитсяпротив часовой стрелки (правило буравчика).

Тогдаω = ϕ& el(***)Доказательство. Любая точка S тела движется по окружности радиуса rS , равного расстоянию от S до l . Поэтому vS = rsϕ& и вектор vS направлен перпендикулярно плоскости, проходящейчерез l и S .То же дает формула Эйлера vS = v0 + [ω , OS ] , где v0 = 0 и вектор ω найден из (*). Задание– Проверить это!Также проверить, что направление (одно из двух на l ) для ω выбрано правильно.Формула (***) дает связь между понятиями угловой скорости твердого тела и скоростью изменения угловой координаты при движении точки по окружности.Винтовое дыижение твердого тела(3) Пусть в твердом теле имеется точка O , скорость которой, v0 , постоянна, а угловая скорость тела ω постоянная и параллельна v0 .

Тогда говорят, что тело совершает винтовое движение.Траектории точек – это винтовые линии (мы их рассматривали выше).Задача. Выразить шаг винта через v0 и ω .Мгновенно-винтовое дыижение твердого телаУтверждение. В общем случае при движении твердого тела в каждый момент времени существует прямая l такая, что для любых точек S , P ∈ l имеем vS || ω , vS = vP . Говорят, что тело совершает мгновенно-винтовое движение с осью l .Утверждение означает, что в любой момент времени движение твердого тела либо мгновенно-поступательное (при ω = 0 ), либо мгновенно винтовое.Доказательство.

Пусть O и S - какие-нибудь точки твердого тела.vS = v0 + [ω , OS ](**)Если скорость точки S параллельна вектору ω , то [ω , vS ] = 0 и, из (**) имеем03-Кинематика твердого тела -40 = [ω , v0 ] + [ω , [ω , OS ]]Воспользуемся известной формулой [a ,[b , c ]] = b [a , c ] − c [a , b ] .

Тогдаr rr r0 = [ω , v0 ] + ω (ω , OS ) − OSω 2Из этого равенства точка S определена неоднозначно. Пусть OS ⊥ω тогда получаемOS =[ω , v0 ]ω2Прямая l , проходящая через S и параллельная ω - искомая.Задача. Найти вектор угловой скорости движения трехгранника Френе.Ответ. ω = vητ + vkb . Этот вектор называется вектором Дарбу.Вопросы к материалу Лекция 03-01.••••••••Твердое тело и его движение, как изометрия E 3 .Формулы Пуассона.Мгновенная угловая скорость твердого тела.Теорема Эйлера о распределении скоростей в твердом теле.Поступательное и мгновенно-поступательное движение.Угловая скорость тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.Винтовое движение твердого тела.Мгновенно-винтовое движение твердого тела.Лекция 03-02Плоскопараллельное движение.(5) Плоскопараллельное движение.

Это движение, при котором в любой момент времени скорости всех точек твердого тела параллельны некоторой неподвижной плоскости. Например, плоское твердое тело движется в неподвижной плоскости.Рассмотрим сечение тела (а лучше, связанной с ним системы отсчета) плоскостью π , вдолькоторой оно движется. Для любых двух точек A, B ∈ π векторы AB , v A и vB параллельны π .

Отсюда (из теоремы Эйлера) следует, что ω ⊥π .Задача. Доказать это.Решение. Разложим ω на касательную и нормальную составляющую к плоскости π :ω = ωτ + ωn . Для любых точек A, B ∈ π по формуле Эйлера имеемvB = v A + [ωn , AB] + [ωτ , AB]т.к. ωn ⊥ π , то [ωn , AB ] || π . Т.к. движение плоскопараллельное, то v A || π , vB || π .

Поэтому[ωτ , AB] || π . Поскольку ωτ || π и AB - любой вектор в плоскости π , то ωτ = 0 . Что и требовалосьдоказать.Таким образом, в случае плоского движения вектор мгновенной угловой скорости ω полностью задается своей проекцией на нормаль к π .Мгновенный центр скоростей.Из утверждения, что любое движение твердого тела (в данный момент) либо мгновенно поступательное, либо мгновенно винтовое, следует, что в случае ω ≠ 0 при плоскопараллельном движении в твердом теле (или в “его продолжении”) существует точка, скорость которой равна нулю(точка пересечения винтовой оси с плоскостью π ). Она носит название мгновенный центр скоростей.Пусть v0 = 0 . Тогда скорость любой точки A тела имеет видv A = [ω , OA] , v A = OA ωЕсли известны скорости двух точек, то центр скоростей лежит на пересечении перпендикуляров кскоростям в этих точках.03- Кинематика твердого тела -5Мгновенный центр скоростей может менять свое положение с течением времени.Примеры.а) Скольжение отрезка с концами на осях координат.

Центр скоростей описывает окружность.б) Качение диска без проскальзывания по прямой. Центр скоростей совпадает с точкой касания диска и прямой.Качение без проскальзывания.Качение без проскальзывания. Говорят, что одно твердое тело катится без проскальзывания подругому, если скорости точек контакта тел совпадают.В частности, если одно из тел неподвижно, то скорости точек контакта равны нулю. Если точек контакта, по крайней мере, две или точка контакта одна, но движение плоскопараллельное, толегко найти направление угловой скорости движения и даже винтовую ось.

В первом винтовая осьсовпадает с прямой соединяющей точки контакта, а угловая скорость параллельна ей. Во втором случае винтовая ось проходит через точку контакта и ортогональна плоскости движения, а угловая скорость параллельна ей.Распределение ускорений при движении твердого тела. Формула Ривальса.Определение. Вектор ε = ω& называется мгновенным угловым ускорением твердого тела (илипросто угловым ускорением).Теорема. (Ривальс) Для любых двух точек твердого телаaB = a A + [ε , AB] + [ω , [ω [ AB]]Доказательство.

По формуле Эйлера vB = v A + [ω , AB] . Дифференцирую ее по времени получаемaB = a A + [ω , AB] • = a A + [ε , AB] + [ω , ( AB)• ](*)Но AB = rB − rA , поэтому ( AB)• = r&B − r&A = vB − v A = [ω , AB] . Подставив это в (*) получаем искомоесоотношение. Доказательство закончено.Второе слагаемое [ε , AB] в формуле Ривальса называют вращательным ускорением точки Bтела.Третье слагаемое [ω ,[ω [ AB]] в формуле Ривальса называют осестремительным ускорениемaoc точки B тела.aoc = [ω ,[ω [ AB]] = ω (ω , AB) − ABω 2Отсюда получаем, что осестремительное ускорение1. лежит в плоскости векторов AB и ω .2. Ортогонально ω , т.к.

(ω , aoc ) = ω 2 (ω , AB ) − (ω , AB )ω 2 = 03. Если ω ≠ 0 и A лежит на винтовой оси, то осестремительное ускорение направлено к винтовой оси – это определяет член − ABω 2 .03- Кинематика твердого тела -6Пример. В плоскопараллельном движении вектор ε ортогонален плоскости вдоль которойпроисходит движение, а осестремительное ускорение равно − ABω 2 (тело плоское).Задача.

Найти ускорение точки касания диска катящегося без проскальзывания по прямой.Ответ. a =v2и направлено к центру диска.rВопросы к материалу – Леция 03-02.•••••Плоскопараллельное движение твердого тела.Мгновенный центр скоростей при плоскопараллельном движении.Качение без проскальзывания.Распределение ускорений при движении твердого тела. Формула Ривальса.Вращательное и осестремительное ускорения..

Свежие статьи
Популярно сейчас