Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 79

В общем случае они представляют собойр (Боб измеряет )Чiь)),Ллиса готовит )Фа))= (ФаiFьJФа)= (Фа )w ь) (1li ьJФ aJ=2)(Фь1ФаJI -Пос,Iедопателыю вычисляя их д.LЯ каждых а и Ь, мы действительно найдемцитированный в лекциях результат:р(а)а) k(1 + Jz)2=р(Ь)а)=l6(1--/21)'boja.Поскольку каждая вероятность здесь сводится к одному из двух значений,mпетрудно вычисJшть приобретаемую Бобом информацию;Н(В) ~- -[p(J)1)+2p(1)2))Jog [~(р(ф)l-2p(1)2))]со -1 Jogl"" 1585Н(В)А) =3'-p(1)J) logp(l)l)- 2p(l)2) logp(1)2)~-!(!+-'/2 )32Iog[l(1+-1 )'] _3/2_l (1- _1 )'log [! (1- _1 )']3/2,J/2"" 0,2158!13,I(B; А) "" 1,36907.Решения упражнений к главе6.1.6Липейное моделирование вентиля Тоффолиа) Рассмотрим описанную в лекциях схему, которая выполняет в< 4 ), ис­подьзуя только :компопен1Ы е(З) и один бит вспомогательного пространства,448PFIIIEHИE УПРАЖНЕНИЙпсрвоначально Iюлагаемый равным нулю-r-J--tJO)f-"·Испо.1ь.зуя конструкuию для вентИJJЯ 8( 4), мы можем рекурсивно по­строить BCHTИJII:.

O(S):----.-10)~)--1lIO)IO) · · - --f--....._,----~-!-4--f-->----; )--]Заметим, что, (mаrо;:щря тождеству(e(.<s))2=1,внутренней части последней диаграммы пеобязатсльны.два вентиля воПродолжая ре­курсивным образом зту процедуру, мы, очевидно, подобным образом мо­жем исключить все вну1рсииие вентили Тоффоли, получа" в резу,тьтатеРFШt:НИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ 5449конструкцию:,J~- --·ЕIO)---1--$--------<fi---±Поско.1ьку каждой контрольной линии вентиля (}(rl), некточая ли­1, 2 и 2n- 3, соностав.1.сн вспомогатсm.ный би1~ 1u для реализации этойсхемы необходимо n - 3 вспомогательных бита. Далее, JЮСКО.LЬку каждыйвспомогательный бит является целью двух вентилей еСЗ) (после вычисле­нииния необхо;(имо восстановить исходное значение вспомогателыюп) бита)и так как целевой бит вентиля ()(п) в свою очередь также является це.;тьювентиля g(з), то вceru для этой конструкции необходимо 2(п-3) + 1 = 2n- 5 вентилей fJ(З).Ь) Описанный в (а) каскад вентюей ТоффоJrи отображает целевой бит у на(f!xl ...

:Cn-1 ЕР У[((((s2 iJJS1X3)x4 iJJS3)X5 6J S4 · · .)Xn-2 iJJ Sn-зJXn-11ФХt ... Xn--1 ЕЕ1 у,rде si помечают вспомогательные биты, а xi -контрольные шшии.Fсли все вспомогательные биты псрвоначально равны нуmо, то заклю­ченное в квадратные скобки слагаемое тождественно обращается в нуль.РЕШЕIIИЕ УПРАЖНЕНИЙ450Чтобы нейтрализовать ВJШЯние некоторых вспомогательных битов, не рав~ныхIJY-IIOв начальном состоянии, мы можем вычисJшть слш·аемое в квад­ратных скобках [·] отде.1ЪНО и подставнп.

его XOR (то есть [·]=> [·\ ffi[·\)в окончательный результатEIJ У =Xt • • · Xn-1e(n)(y,x1 ... xn-1).Конечно, мы должны быть внимательны кXORв этом tювом слагае­мом после того, как ВОССТЗl-IОВИШI значения вспомогательных битов. Нако­нец, как и в конс1рукции части (а), нам нужно восстановить вспомогатель­ные биты, на которые повлияла эта новая схема. Таким образом, модифи­.цированный массив венпшей напоминает башни Бробдингне[·а 11--.)---~1,,,)-~~.[,___I----4}~''т-4r----·"'~~Следовательно, коmrчество вентилей и этом семействе схем равно~5 + 2(n6.2.~1)- 5 = 4n~2n-12.Набор универсальных квантовых вентилейа) Используя указание, мы можем записать каждое нз иреобразований А,В, С, иUв виде произведений трех поворотов. Более того, нам извесnю,1Бробдинrнеrnридуманная Джонатаном Свифтом фантастическая страна ве:mкаиов,в IЮТОрую попал Гулливер во время своеrо НТОJЮm пуrешествия.-Прим перев.451РЕШЕНИЯ УПРАЖНFНИЙ К l'JIABE 5что сонряжение матриr(сй а-х меняет знак угла матрицы поворота.

Чrобы непереписывать Rсякий раз букву R, я буду обозначать Rz(ф) символом Z.p,Ry(O)~ симполом У 6 , аcrx-символом Х. Принимая эти обозначения,можно записатьA=ZaY~Z 7 ,В~ Z 8 YCZ~,c~z,Y~Z",U =z" У8 ZФ.Подобно этому уравнения связи представляютел в виде1=Za Y 3 Z 0 Z 0 YEZ~Z, У ~Z" ~: : _ za у,зZ1'+.5 YIOZ<p+Л у p.Zv,Z>t У 0 ZФ==(Za YpZ 7 )X(Z 0 XXYcXXZ~)X(Zл Y~Zv)=za у вZ,_о у _,z_"+Л у~Zv.С этого момента у нас два уравнения с девятью неизвестными. Най­ти решение будет большой удачей, не правда .ж? Конечно, на самом делеэто матричные уравнения, следовательно, имеется самое большее восемьуравнений, связывающих эти переменные, при условии, что ни одно из нихне эквивалентно другому.Тем не менее посмотрим, сможем ли мы найти решение для углов,не копаясь в матричных элементах.

Непосредственно проверяется, 1:по од­по из репrсний первого уравнения связи возникает, если соседние матрицыопределяют повороты на равные углы в противоположных друг другу на­правлениях, то есть когда углы удовлетворяют условиям'Р = -Л,"(=-6,Е+J" = -(З,а=~v.Эrот выбор nозволяет заnисать второе уравнение связи в видеZa У -(<+J<)Z 2., У _,z"., У ,.z_a = Z.p У 8 ZФ.Выбор а =-ф согласует друг с другом последние повороты вокруг осиzв обеих частях этого равенства. Тогда ZФ согласуется при дополнительномвыборе"! = р, = 0:452РЕШLНИF. V!IРАЖНЕНИЙТенерh мы имеем три уравнения с тремя неизвестными (нрш-ресс!),ко1орые имекrr решениеQ=·1/1,л- ~(ф + "Ь),Е=е-2,Подставляя их все вместе в матрицы А, В и С, мы находим, что ониудовлетворяют условиямили в более общепринятых обозначениях:А= R,("Ь)Ry(0/2),В= Ry(-0/2)R.(-(Ф+ ф)/2),с~- RЛФ- ФJ/2).Ь) Чmбы по казать~ что вентиль контролируемой фюы Р =diag(l, 1, eio:, cio:)V ®Wя.вляется однокубитовым венпыем, мы должны показап~, что Р =для унитарных матрицVиW.Нспосрсдствспной нровсркой можно убе­диться в том, что Р рюлагается как Р- Z(a) ® 1, rде Z(a) ""diag(J, е;~).Однако при бо.аее строгом подходе мы должны доказать следующее.Матрица Р диагональна, и ес.1и она ра.wагается, то тоже на диагон&.n,.ныс"атрицы.

Более того, поскольку { {Rz (0), 1} 10 Е ]0,диагональных матриц вS1J(2), то27r]} обрюует базис ;Lmв самом общем виде разложимая матрицаР ).ЮЖет быть записана в виде суммы четырех с.1агаемых:Р ~ Л1 1 ®1 + Л 2 1 <2 Rz(O)+ Л,R,('I') <6· 1 + Л 4 Rz(1;) 0щс Л; Е rC удоюстворяют условиюR.z(x),12:= А, 12 = 1.iТак как Р одшшково дейстаует на состоянияIOO)и111), ru Л 2~О. Аналогично, так как Р по разному дсйстнует на состоянияIOO)то Л 1= Л4 ~иIOJ ),= О. Следовательно. оставшийся КО.')ффициент в наиболее общемслучае представляет собой фазоный множитель ei'fl. Таким образом,Рciiag ( 1, 1, eia:, eia)что имеет решение 2'Г}=e'"RA'P) ® 1,= ei 11 diag( е~iлр/ 2_:.::: -r.p __:_;о:.1ei<P/ 2 , е -i~P/ 2 , е -irp/'2),l'ЕШЕНИЯ УНРАЖНЕНИЙ К ГЛАШ~ 5453Следовательно, мы види~, что Р действительно разложима, причемР = eюi 2 Rz( -С>) <Z 1.

Общую фюу можно включить в состав дpyroroсо~нюжителя тснзорного нроизведения, но, вероятно, самым естественнымявляется упомяпуть!Й выше способ Р =Z( а) <Z 1:=с) Произвольиый элемею·~может быть занисан как АихВ<Т ,С,ST .. (2)где А, В и С опреде.ilены IJ части (а}. Следовательно, произвольное уни­тарное2х 2-преобразованиеUЕIJ(2)может быть записано какU=- eiaf'2AuxBuxC. Используя IЮ.пученные в части (а} тождества, мы мо­жем записать контршшруемосUкак последовательность однокубитовыхвентилей и вентилей контролируемое ХОТ:Точность6.3.а) В этой задаче имеются некоторые трудности, поскольку на операторыне наложено никаких ограничений 1 . В частности, соотношения из условия1Формально, д-"111 того •rrобы нормы были определены, мы до.uны nотребоватъ, чтобы Абыл комnактным, а В·ограниченным.

[Фактически приооди~ое ниже решение требует ком­пакгности обоих onepawpoв, А и В.При'>~_pbl.]РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ454задачи справеДJшвы и для недиагонализуем.ых матриц, для которых :мы неможем рассматриватьIIAII,, как сумму модулей собственных значений А.Например, матрицаимеетIIAIItc = !.Тем не менее мы можем добJПЪся успеха, покопавшись поrлубже в за­коулках нашей памяти и вспомпив теорему о полярном разложении из ли­нейной алгебры, которая утверждает, что для шобой матрицы А существустединственная унитарная матрицаще введено краткосVтакая, чrоA=UfAti..,=UIAI,обозначение IAI ~1Я ДТА.Это разложение по.1ез­но, поско.JIЬку по построению ]А] является самосопряженной и, слсдова­те.iiЬно, диагона.тшзуемой ортогональным базисом{Ji)}с соответствующи­ми собственными :шачениями (так называемые сингулярные числа матри­uы А)jaJИспользуя это ра~ложение, мы нвйлем:1tr Al~~ (iiUia,lli) <';<:: L j(iiUia,lli)j = L la,l·l(iiUii)l<::( L la,l = L(iiiAIIi) = tr IAI = IIAIItco=1tr UIAII =iiгде мы исполь.'Ювали тот фац 1:по Унитарная матрица иреобразует одипортоrона.1ьный базис в друrой, так чтоl(iiUii)l (1.Другую часть этой задачи сложно проверить из-за порядка матриц АIIABII" (и В под знаком следовой нормы.

Проще сначана показать, что1111 В 11 ' " а затем обратиться к полярному разпожению, чтобы подучитьAll ·искомое ограничение.=LВычисляя след в базисе, диаrонализующем>чli)(il), мы находимiIIAВII.,=L(iiiABIIi) =BIB(то естьL l(iiiABIIi)l =BIB~РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ 5~=2::.12:: l(.iiiABIIi)l = 2::2~vJ2=JIi) = 2:: V(iiBIAIABii) =i=L(iiiABII])(jiiABIIi)t2:: V(iiiABI455'L ("IBIAIABI")' (i/BIBii) ' (i/BIB/i) L, IIABI")II' J(i/BIBii) <::~lfB/i)/1=~ ~~~~ lll::;illl V(iiBIBii) =lfAII ~ V(i/BiBii)=L Д= lfAII L(ii.J\Ii) ~=lfAII=IIAII L(iljВ\Вii)=IIAII·IIBII,,Как уже говорилось, это почти то, что требуется получить, но в иепра­виJJЫЮМ норядкс! Но мы можем привлечь полярное разложение, чтобы по­лучить правильный порядок. ЕсJШ положить АВ=IIABIItc = tr IABI=UIABI, то=tr(Aвu-') ~= tr(вu· 1 А) == 1 tr(ABU-1JiНо согласно нашему первому результюуа согласно второму-l[вu- 1 All,,":; IIBU- 1 II·IIAII,, ~= IIBII ·IIAII,"то естъIIABII,,что и требовалось пока1ать.~IIBII ·IIAII,"РЕШЕНИF УПРАЖН!::НИЙ456Ь) Этот результат вытекает JL1 совершенных в части (а) подвиши Гераклаааа= 2)а/р- р/а) sign[(o/p- р/а)] =а=:Ltr [(р- р)/а)(а/] sigп[(a./p- p/a)j=а=~~ tr [(р- р) /а)(а/] sigп [(а/р- р/а) J1=tr:;;;~~~(р- p)sign((a/p- р/а)] /а)(а//1"== 1";;[~(p-p)/a)(a/sigп[(a/p-p/a)J]:;;;(р- р) ~ sign[(a/p- р/а)] /a)(a/ll,,:;;;//р-р//,, ~~~sign[(a/p-p/a)]/a)(a//1 (:;;; IIP- р//,,.Здесь при нсрсхо;1с к последней строке мы восполт.,_юва.]ИСЬ тем, что нор~ма оператора, собственные значения ~торото равны± J , ограничена сверхуединицей.с) Без потери общности можно записать/.};)= <фj;) 1 ;3/,Pj_), где o:,{iE<Cи удовпетворяют усповию /а/ 2 + /;31 2 ~ J.