Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2 (1156795), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Нетривиальн'ое содержание этого условия, которое существенно сильнее более18ГЛАВА 7слабого необходимого условия (7.14), состоит в том, что (I!EьEaii) не зависит от i. Природа этого условия очевидна - будь это иначе, при определении подпространства ошибки На мы получали бы некоторую информациюо закодированном состоянии, что неизбежно приводило бы к его возмущению.Чтобы доказать необходимость и достаточность условия(7.19),обратимся к развитой в третьей главе теории супероператоров.
Действующая накодовый блок ошибка описывается супероператором, и проблема состоитв том, можно ли построить другой супероператор (процедура восстановления), аннулирующий ее действие. В третьей главе мы узнали, что обратитьможно только те супероператоры, которые являются унитарными операторами. Однако от нас не требуется умение аннулировать действие супераператара ошибки на любое состояние в п-кубитовом кодовом блоке; вполнедостаточно уметь исправлять ошибки в состояниях, первоначально принадлежавших k-кубитовому закодированному подпространству.Альтернативным выражением действия ошибки на одно из кодовыхбазисных состоянийii)(и на окружение) является(7.20)!Lгде теперь состоянияIJ-L) Епредставляют собой элементы ортанормированного базиса окружения, а матрицы М м являются линейными комбинациямисодержащихся в&операторов Паули Еа и удовлетворяют условию нормировки операторной суммы:Емtмм = 1.(7.21)!LОшибка может быть исправлена оператором восстановления, если существуют такие операторы R~.~, что(7.22)/.1и(7.23)J-!,Vздесь векторыlv) Аявляются элементами ортанормированного базиса гильбертова пространства служебного кубита, привпекаемого для осуществления операции восстановления, а состояние окружающей среды и служебного кубитакаждогоfLи\stuff) Е,А не должно зависеть от i.
Отсюда следует, что дляv(7.24)7.2.КРИТЕРИИ ИСПРАВЛЕНИЯ КВАНТОВЫХ ОШИБОК19в кодовом подпространстве действие произведения Itv~~ эквивалентноумножению на число. Используя условие нормировки, которому удовлетворяют операторыItv,мы находим, что(7.25)так что действие ~1~~ в кодовом подпространстве также эквивалентноумножению на число. Другими словами,(7.26)отсюда следует(7.19),поскольку каждый оператор Еа из& является линейной комбинацией операторов~~Другой поучительный способ понять, почему(7.26) является необхо- это обратить внидимым условием возможности исправления ошибки,мание на то, что если кодовый блок приготовлен в состоянии I'Ф), а ошибкадействует в соответствии(7 .20), тополучаемая путем вычисления следа покодовому блоку матрица nлотности окружения имеет вид(7.27)Ошибка может быть успешно исправлена только в том случае, если в процессе измерения окружения невозможно получить какую-либо информацию о состоянии j-ф).
Следовательно, мы требуем, чтобы Рв не зависелаот I'Ф), если I'Ф)-произвольнос состояние из кодового подпространства;тогда отсюда следует уравнение(7 .26).(7.26)Чтобы увидеть, что уравнениекак необходимо, так и достаточно, можно явно построить исправляющий ошибки супероператор. С этойцелью достаточно выбрать базис окруженияматрица c(j~ в уравнении(7.26){ 1t-t) Е}таким образом, чтобыбыла диагональна(7.28)где"L С~ =1 вытекает~для каждогоvсCvfиз условия нормировки операторной суммы. ПустьО(7.29)ГЛАВА20так чтоRv7действует в соответствии с(7.30)Тогда петрудно понять, что(7.31)vJ-L,VопределяемыйRvсупероператор действительно исправляет ошибку. Остается лишь проверить, чтоRvудовлетворяют условию нормировки. Имеем(7.32)что представляет собой ортогональный проектор на пространство состояний, которые достигаются в результате действия ошибок на кодовые слова.Таким образом, мы можем завершить подробное описание супероператоравосстановления, добавив к операторной сумме еще один элемент-проектор на дополнительное подпространство.Итак, уравнение(7 .19)является достаточным условием исправленияошибок, поскольку для операторов ошибок можно выбрать базис, диагонализирующий матрицу Саь (не обязательно базис операторов Паули),а в этом базисе можно однозначно диагностировать ошибку, выполняя соответствующее ортогональное измерение.
(Собственные моды Саь с равныминулю собственными значениями, подобноzl- z2 в случае 9-кубитового кода, соответствуют ошибкам, вероятность появления которых равна нулю.)Таким образом, как только совокупность возможных ошибокSустановлена, операция восстановления определена. В частности, не нужна никакаяинформация·о связанных с ошибками Еа состояниях окружения Jea) в· Следовательно, код одинаково эффективно борется как с унитарными ошибками, так и с ошибками декогерентизации (до тех пор, пока пренебрежимомала вероятность появления ошибок, не принадлежащих множествуS).
Конечно, в случае невырожденного кода Саь диагональна уже в базисе Паули,и мы можем представить базис восстановления в виде(7.33)каждому Еа изSсоответствуетRa.7.2.КРИТЕРИИ ИСПРАВЛЕНИЯ КВАНТОВЫХ ОШИБОК21Мы описали коррекцию ошибок как процедуру, состоящую из двухэтапов: во-первых, для выявления ошибки проводится коллективное измерение, а во-вторых, для ее исправления осуществляется обусловленноерезультатом измерения унитарное преобразование. Эта точка зрения имеетмного достоинств.
В частности, именно процедура квантового измерения,по-видимому, позволяет укротить континуум возможных ошибок, поскольку измерение проецирует поврежденное состояние на один из дискретногомножества результатов, для каждого из которых существует инструкция повосстановлению. Но в действительности измерение-не самый важныйэтап процесса коррекции квантовых ошибок.
Конечно, супереператор восстановления(7 .31)может рассматриваться как ортогональное преобразование, действующее на кодовый блок и служебный кубит. Этот супереператорможет описыватьследующее за унитарнымоператором измерение,еслимы представим, что служебный кубит подвергается ортогональному измерению, но измерение не является необходимым.В отсутствие измерения мы можем взглянуть с другой стороны на достигаемое в процессе восстановления обращение декогерентизации. Когдакодовый блок взаимодействует с окружением, он запутывается с ним. В результате неймановская энтропия окружения (как и энтропия кодового блока) возрастает.
Если мы не в состоянии управлять окружением, то ростего энтропии никогда не будет обращен; почему в таком случае возможнакоррекция квантовых ошибок? Предоставляемый уравнением(7 .31)ответсостоит в том, что мы можем применить унитарное преобразование к информации и служебному кубиту, которыми мы действительно управляем.Если критерии коррекции квантовых ошибок удовлетворены, то можно выбрать унитарное преобразование, позволяющее запутывание информациис окружением трансформировать в запутывание служебного кубита с окружением, восстанавливая тем самым чистоту информации, как это показанона рисунке.00окружениесистемабезКККО0окружение0 кубитслужебный m~®~U)'Qj0системасКККО22ГЛАВА 7В то время как измерение не является обязательной составной частьюпроцедуры коррекции ошибок, служебный кубит абсолютно необходим.
Ониграет роль депозитария для энтропии, вносимой в кодовый блок ошибками- он «разогревается», тогда как информация «охлаждается». Если мыдолжны в течение длительного времени продолжать защиту квантовой информации, хранящейся в квантовой памяти, то для этой цели необходимоналадить непрерывную поставку служебных кубитов, которые можно отбрасывать после использования.
Если же служебный кубит используетсяповторно, то для этого он должен быть предварительно очищен. Как обсуждалось в первой главе, удаление является диссипативным процессом.Следовательно, согласно принципам термодинамики, коррекция (квантовых) ошибок требует энергетических затрат. Ошибки являются причинойпроникиовения энтропии в информацию. С помощью обратимого процесса эту энтропию можно перенести на служебный кубит, но для того чтобыоткачать ее из служебного кубита и вернуть в окружающую среду, необходимо совершить определенную работу.Некоторые основные свойства КККО7.3.7.3.1.РасстояниеГоворят, что квантовый код является двоичным, если он может бытьпредставлен на языке кубитов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
