Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2 (1156795), страница 78
Текст из файла (страница 78)
,- А sшЧтобы найтиа именноF3ЛА,е2"мы иснользуем требование положительностиимеет поnожитеJIЬНЫС собственные значения:, -ЛtrF3+det.F 3 =0,==Л=1-А±АсоsЛ ~ О, ==> А ,;:;е2,1l±cosB/2F3,РЬШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К l'JIABE 5437При В Е[0, 1r] таким наибольшим А, при I<Отором оба1ния остаются положительными. является А ___:__собсwенных значе1 + cos0/2. Следовюельно,максима:Iыюе приобретение информации равноI(B;A) ~· 2sin2 ~ ~ 1-cos~.с) В после.сней отчаянной попьrrке Боб nозвращается к измерению фонНсймана, I<Оторое «Выявляет р:П.'IИЧИС>> между [и} и[·v}.Эта схема действите,;rьно оказынается наилучшей.Вероятности:р(1[и) =cos2(е~''}р(2[и) =sin2 ( 8 ~").p(u) ~12•").р( l[v) -sin 2(е ~p(2[v)cos2(е~"}=p(v) ~12·Условная 1нтрония:Н(В[А) = - [sin 2 ( 8 ~ ") Jog (sin 2 ( 0 ~т.)) с1cos2 (е : 7Г) log ( cosz (е ~ т.)) J.Энтропия Шеннона:Н(В) = -1 11]-1 log2 + -2 lои~2[2= 1.в·шимная информация:Т(В; А) -1+ sin28(~ ''}og ( sin 2 ( 0 ~ ")) ++ cos2(11+7Г)- 4=1-( 2(8+"))- 4log cosН2 (cos2 ( 8 ~ "))РRШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ438d)Несмотря на то что в условии задачи не бьшо раздела(d),в се контексте полезно рассмотреть границу Холево, если, конечно, мы уверены в разумности результатов~ полученных в предыдущих часiЯх этой за~дачи.Граница Холево утверждает, что приобретаемая Бобом информацияограничена сверху доступной информацией источника Алисы Асс(Е) == S(p)- 'E,p,S(p,).
Поскольку оба сигнальных состояния Алисы яюяютхся чистыми сосrояниями, дос1)'Пная информация сводится к энтропии фонНеймана, которую мы можем вычислить путем диагонализации:. 2е ) '21 cos 2е sш1 . ,-sш2,\/\ =2-,\+ !4[(1 + "os' 2е_) sin22е_2 -cos 2е2е_2 sin 2 е_]=О2,.ze2 ~. 21±12cos о ="COS,о4"21±1/2V 1 -s1n2или.,еsш4.Таким образом, приобретаемая Бобом информация ограничена услониемПостроив график приобретаемой Бобом информации, как функции для каждой из трех схем вместе с границей Холево, мы видим, что нанлучшим выбором Боба является сратеrия (с), несмотря на то, что граница Холево ненасыщается.
На диаграмме ниже стратеmи а, Ь, с иh(для Холе во) помечены соответствующими кодами а.1буки Морзе 15.2. Относительная энтропияа) Эта задача содежит небольтую трудность, поско.Тhку А и В не обязательно коммутируют между собой. Однако, работая с некоммутврующимиобъектами, мы можем примелить обычный трюк и разлагать все выражения по компонентам обычных коммутирующих чисел. Пустьбазисом, днагонали.зующим А, и пусть1Коды азбуки Морзе: а<-+· -;Ь<--+-• • ·;с+---->{1i)}являетсяба.зис, диагоналнзующий{ij)}-• -·;R.h....... · · · · . - llpuм. перев.РЕШЕНИЯ УНРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ5439108.'б..../.·/'420,51,532,52Разлагая по этим базисам, мы имеемtr [J(B)- f(A)] - l.>I!(B)- !(a,)li} =~ L(ilf(B)- f(a,)lj}(jli}=i,ji,ji,j·~ L(ii(B- a,)f'(a,)li} = tr [(В- A)J'(A)].Ь) Этот результат, подобно многим перавенетвам в теории информации,следует из перавеяства lnx ~ х - 1.
Достаточно показюъ, что g(x) == -х ln х является вогнутой функцией, следовательно, вогнутой явдяетсяи функция f(x) = g(x)fln2. Доказательство дЛЯ g(x):g(y)- g(x) = -ylny + xlnx == у(lнх-lny)+= у ln ~- (у-х) ln х ~~у(~=lnx =-1) -(y-x)lnx=(y-x)(-1-lnx)~(у-g(x) -110rнyrax фующиа(х- у)=x)g'(x);"'* f(x) -- вощутак функция.РЕШЕНИ~ УIIРАЖНJ.::НИЙ440с) Применяя результаты (а) и (Ь), находим, что относительная энтропиянеотрицательна 1 :[(р- о-) ( -logo-- 1 ~ 2 )],tt"[-plogp+ o-logo-] ( trсогласно частям (а) и {Ь).
Далее,- tr plogp + tro-logo- ( -tr plogo- + tro-logo-,- tr р logp ( - tr plogu,ООd)Пусть( Lr plog р- tr plogu,( S(p]u).матрица плотности, соннадающая с единицей в поднространu -стве, являющемся носителем р. К искомому ре1уJIЬтату ведет выражениенеотрицате,Jт.ности относительной энтропии межцу р и и в ба.1исе, в котором они обе диагональны:О( S(p]u) -S(p) -trplogu,S(p) ( -tr[p 1 logu 1 + ... +pologu 0- - (JogЬ) tr(p 11.+ Pu)е) Используя неотрицательность относительнойи РА:g]-- log li.энтропии междур АВРв, находимS(РАв IPA ® Рв) ~ -S(РАв)- tr [РАв log(P.4 ® PJJ)] ~О,S(РАв) ( - tr [Рлв(lоgрА ®lв~+ lA ® log Рв)J ~+ S(рв)·- tr Рл logpA - tr Рв lOJ!, Рн - S(pA)t) Рассмотрим матрицу плотности р А в и ее частичные следы, данные соотношениямиРв1что=L·\]e,)(e.JФормально, дшJ того чтобы это дохаз.ательсmо былD верным, нам нужно показать,f(x)является вогнутой нри х =О.
(р иrrмо1уr иметь некотuрые обращающиеся в нульсобственные значения.) Бы можеrе проверить самостоятельно, чru нри этомвогнутой функцией.f(x)остаетсяPEtUF:HИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ 5Субм.J:итивность1QС1Ъэнтропиизтойсистемы441доказываетобщуювогну-S(p):-tr [(~,\;(P;)л®(fe,)(e,f)в)log (~\(Pj)л®(iej)(eзf)в)]( S (~·\Р,)-tr([~Л,Ie,)(e,flog ~ \le,)(e,f] .fe,), ro сумма по j сводится к-i = j. Упростим левую частъ (LHS) этого неравенЕсли мы берем след но системе В в ба,зисеодному ее снаr·асмому сства:1LHS = - tr [ (= - tr [ (= -t.r [~ ,\р, ® fc,)(c,l) log (Л,р, ®fc,)(e,f)]~>·iPi <:& fe;)(e,l)( log р, ® 1 + 1 ®log Л,fe,)(e,f)]~ Л,р, log р, ® fe,) (с, 1] -- tr [~ Л,р, ®fe,) (е, flog(Л;! е,) (c,f)]=с_ ~Л,S(р,) -trp, [~A,Ie,)(e,flog(Л,fe,)(e,l)]=1 Здесьн ходе преобразований используется равенство~1де Р=L Л,S(р,)- L Л, log Л,.PlogP-ред.-= le){el, Q=Гlog(l-Q)--P(Q+!Q'+iQ'I-PQ ( 11- Р-1...
)! + ~ +" ·) ~О,нроекrоры нu а-щимно оvшrональныс nодпространства.- Прим.РЕШ!:Н11.Е УПРАЖJНШИЙ442Подставляя этот результат обратно в неравснство субад;щтивности, мы получим усповие вогнутости:I.;\S(p,)~L-\ log Л, ( 8 (I.:л,р,) -L Л, logЛ,,z2~~-\S(p,) ( 8 (~·\Р}5.3.Монотонвос•ь .llипдблада- УльманаИспо;Iьзуя некоторые разработанные в задаче5.2приемы, мы находим, чтосвойство монотонности нозволяет вывести некоторые очень полезные результаты.а) Ilрименяя свойство монотонности к состоящей из трех частей системе,получим свойство счюгой субаддитивности:8(Рлв1Рл ® Рв) ( S(РлвоiРл ®Рве),-S(Рлв)- tr [Рлв log(pл ® Рв)] ( -8(Рлве)-tr [Рлвеlоg(рл ®Рве)],-8(Рлв)+ 8(рл) + S(Рв)+ 8(Рл) + 8(Рве),-8(Рлвс) + 8(Рвс),( -8(Рлве)-S(Рлв)+ S(рв)(8(Рлве)+ 8(Рв)( S(Рлв)Ь) Действие супероператора$+ 8(Рве).на матрицу ruютносш р л (и л) можно представить, как вычисление следа по окружению после приведения его в контакт с системой А и совместной с Рл (и л) унитарной эволюции:Рлв = И(рл ® (!е)(еi) 8 )И- 1 ,и АВ= И(и л® (!e)(e!) 8$рл = trв Рлв,$стА= trв <Т АВ')U1РЕШЕНИЯ УПРАЖНtНИЙ К ГЛАВЕ4435Энтропия ·фон Неймана матрицы плотности инвариантна относительноунитарной эволюции или присоединения чисrого состояния.
Опуская дляпростоты индексы чистого состоянияle} и унитарной матрицы U, мы видим:S(Рлвl<Т лв) ~ tr [И(рл ® [e)(c[)U- 1 log (И(Рл ® [е}(е[)И- 1 )]-tr[U(pл®\e)(e[)U1log(U(o-л®\e}(e[)U-')] ~-tr [U(рл ® [e)(e[)U~ 1 U !оg(Рл ® [е)(еi)И- 1 ]- tr [U (р А ® [е) (е\)fГ 1 И log(<Т А ® \е} (е[)И- 1 ] =- tr [(Рл ® [e)(e\)log(pл ® \е)(е\)]- tr [(Рл@ [е}(е[) log(o- А@ [е) (е[)] == tr(p.4 1ogpл)- tr(pлlogo-л)~= S(pлlo-л).Вместе с монотонностью Линдблада-Ульмана зто дает искомый результатс) Рассмотрим матрицы плотности, опре;~е;Iенные соотношениямихххОтносительная энтропия S(РлвlРл@ Рв) в точности совнадает с информацией Холево л:(<") (для краткости опущены индексы подсистем А и В):S(Рлв !Рл ® Pн)=tr [ ( ~>хРх ® lex}(exl) log (~:ГуРу® [еу)(еу[)]- tr [ (~РхРх ® lex}(exl) log ( ~PwPw ~PzleJ(ez[)].®РЬШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ444Так же как и в задачев базисеS(p5.2 (t)~мы можем взять след по состояниям системы ВleJ, снод.я с~мы по улв IРл Рв) ?;tr [иzI< оляому слагаемому каждую:~>хРх log Рх е lcx) (e.l] ++ tr [ ~РхРх е ie,)(e.llog(pxl;x)(<,l)]- tr [-~РхРх log ( ~PwP~ ® lex)(exl)] ~РхРх ® log (Pxiex)(e х 1)] =- tr [·~ - l:PxS(px)- ~р,, logpx(z:>xPx) +-f Sх+LPx Jogpx =х~ - ~pxS(px) + S ( ~РхРх) ==5.4.x(t:).ПОЗМ Переса- Вутерсаа) Записанные в обозначениях Дирака сигнальные состояния Алисы flмеютвидI'P1)=1 Т),I'P2> ~ -HI r> - vГз11>).i'Рз),_-HI r> -t vЗI t>)РЕШRНИЯ УПТ'АЖIIГ:НИЙ К ГЛАВЕ5445Диракавекие обозначения IЮЗIЮJJяют очень быстро выразить состоянияIФi)- I'PJ I'Pi) (i ~IФ,) ~ 1Т1) ~1, 2, :J) в базисе Белла:~ ~(IФ+)+IФ-)),IФ2) = i(l Т)- /3111) (1 Т)- /Зill)=~ ±(1 Н)+ Зl Н)- /3(1 Н)+ ll Ш) ~~н2(1Н) !IЩ)-(Iii!-IЩ)-/З(IЩ+IlШ)=1= -2J2- (21Ф+) - IФ-) - /ЗIФ+))'.IФз)- ~(1 1) + /3111) (1 1) + J31ll) ~- Н1 т+ з1 щ + JЗ(I щ + 11 ш)= -1-2J2=(21Ф+) -IФ-) + J31Ф ')),Матрина плотности, соответствующая приготовлению Атисы, представляетсобой одну треть сум"ы проеюuровРЕШЕНИЕ УПРАЖНFНИЙ446Возможно это у;,ивительно, что матрица плотности диarx)Нa.Thiia в базисе Белла.
Следовательно, энтропией фон Неймана этого источника являетсяЬ) <<Достаточно хорошее измерение» (ДХИ), I<Оторым следует нопъзов:\ТJ,сяБобу, чтобы декодировать сигнал Алисы, представляет' собой ПОЗ:М, определяемую операторамиF, ~ c-'/'IФ,)(Ф,IG- 1 1 2 , где G ~ Зр:1F, =3(' ~'")vzzooОоО Оооо'о~vГz ~vГа'-'( J,2 ~F6vГзоо{J,63vГз1~vГа3о~,;2vГа1~vГзvГа~vГз3оооi}:)о.оОказывается, что эта ПОЗМ в действителыrости является ортогональнымизмерением, определяющими состояниями которого служатIФ ,)=}з (IФ+)+ У.'21Ф-)),IФ,)=)б У21Ф+) ~ IФ-) ~ v'31Ф+) ),IФз)=)б( У21Ф+) ~ IФ-)(IФ 4 ) = IФ-),с) Как и в задаче5.1, чтобы+ JЗ}[т+)),(для полноты базиса).вычислить взаимную информацию между приготовленнем Алисы и измереннем Боба, мы должны начать с вычисленияРЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ 5447вероятностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
