Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2 (1156795), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Первым сnособом описания ее воздействия является:пусть Бо6 имеет «убедительный» результат, вероятность того,Алисой, равначто он отличается от посланного420РЕШЫIИF УПРАЖНRНИЙНо поскольку нам извеспю, Ч'lU Боб попучаст <~убедительный» резуJiьтатто.1ЬКО с вероятностью1 - sin 2а,можно также ска.·шть:отнесенная к измеряемому Бобом состоянию вероятность того, что оно не . uoжern быть использова110 в качестве правильного ключевого бита,(1-pmmasin 2а) sin 2 а.Оба этих ответа могут быть подезными. Первый описывает, что Еваиспортила часть ключа.
Второй описывает, сшыыrо еще необходимо Бобувыпалпить измерений, чтобы получить ключ той же д.1ины, чrо и раньше.Если Алиса и Боб rотовы пожертвовать некоторой частью своего ключа,чтобы обнаруживать любые гнусные делишки Ены, им сле7JУет выбрать а,максимизирующсе носледнее выражение, чтобы бьшо как можно легче обнаруживать се вмешательство.
А именно им следует выбрать о =1Г /8.Всякий раз, когда частота скорость ошибки их протокола будет нревышать(1 - siн2a) sin2 а, они будут подозревать неладное.Точный смыс.~ посташiенного в зrой задаче вопроса состоит в рассмотрении влияний на убедительные резу.тьтаты Боба. Сиецовате.J11~но, фаю·ически первое иыраженис из приведеиных выше следует представить как В.:1Ияiшс Евы на протокол.4.6.МинимаJiьное возмущениеА-шса случайным образом (с равной вероятностью) готовит одно издвух возможных состояний: и.зи /Ф)-cosa/O)+siпa/1), шrn iv\)=siнa/0)++cosa/1).
В части (d) упражнения 2.1 мы напши, что оптимапьная ПОЗМ,различающая эти два состояния, состоит из проекторов /0) (0/ и 11) (11.Пусть М 0 = /Ф0 ) (0/, а М 1 - /Ф 1 ) (1 1 с произвольными нормированными веRТОра."'и /Фо) и IФ 1 ). Это операторы измерения для реа.тизации оптимальной llOЗM, разJШчающей приготовленные Алисой состояния;мЬмо=/О)(Ф0 /Ф 0 )(0/=/0)(0/,м!м1=/1) (Ф1IФ1) (11=/1) (11.Если Ева выполняет это измерение до того как состояние достигнет Боба,то, в записимости от того, посьшапа Алиса IФ) илиi,P), он получит одно изсостояний:р'=L М,/Ф)(9/М] = cosр'=:LMJ<i\)("Z/MJ = sin2 а/Ф 0 )(ф 0 /-t cos2 а/ф 1 )(ФJI·2а/<>о)(Фоl+ sin 2 а/Ф 1 )(Ф1/,РЕШЕНИЯ УllРАЖНRНИЙ К ГЛАВЕ 4421I;ва хочет минимизировать <<возмущение>> D~! - ~(F+ F),чwбымаксимизировать среднюю точность воспроиз.ведения nолучаемого Dобомсостояния.а) .Мы може\1 вычислить эти точности воспроизве11.ения:F = (Ф/р'/1/!) -~=со"' а(Ф/Ф 0 )(Фо/Ф) + sin а(Ф/Ф 1 )(ФJ!w),2F = cos а(Ф 0 /Ф) (Ф/Ф 0 ) + sin 2 <>(Ф 1 /Ф) (Ф/Ф,),F = (Фil>'/Ф) =2~ siп а(>}; /Фо) (Фо /,f;) + Сй' 2 a(,f; /Ф 1 ) (Ф 1 / ф),F = sin 2<>(Ф /"6)(,f;/Фо) t cos 2 a(Ф /,f;)(,f;/фl).201Тогда, складывая их.
нолучимF+ F ~ cos2 а(ф0 /ф)(Ф/Фо)1 sin 2 а(Ф 1 /ф)(1/,IФ 1 )++siп а(Фоi~)(Ф/Фо) + cos 2 а(ф,/ф)(>};/Ф,)2==(Фа 1[ c"s "'/Ф) (Ф/ 1 sin а/Ф)(Ф/] 1Фо) t~ ( ф sin 2a/1/!)(,i'/ + cos2 a/,Y,)(,Ei] ф 1 J2121[1F + F ~ (Ф 0 /А/ф0 ) + (Ф,/В/Ф 1 ),гдеА ~ cus 2 а (cos а siнa сова)+ . 2sin а cos а siв 2 аsin et2sin 2 а(sin et cos аsina сова)cos2 а:=2(1-sin 2 a)cos 2 a(1-siп <>)siпacosa)( (1- sin2 a)siпa cosasin2 а cos2 "+(А.-:.22(1-cos o~)siп a siн a cosa ).3. 22sш а cosasш о: cos а+3•1- 2siп2 acos 2 аsina: cosa: )(sina cosa2sin2 а cos 2 а: 'в = sш. 2 0(crcos а siп cos а)siв а cos о:sin 2 а2+2cos а(sin а sin а cossin а cos rt cos2 а2Q) -_РFШПШГ УПРАЖНЕНИЙ422..,((1-cos' (~)sina соsй(..,.,н1п- о: ~os- о.sino: cos о:3.,) .-cus·a:,SI.llй<:osO:')1(] -cos a)sin-o2)).,.Slll о: cos· о_(1- cos 2 й) сон 2 а2 sin о: cos (~siв о: cos йsina cosa1- 2siп 2 о: cos 2 о:2(.(12-+В='sш-o:coswo.t·')·Ь) Заметим~ что А t = А, а вt = В - эрмнто вы .матрицы, следоватсдыюони могут быть диаrонализованы.
В частичw собственные числа2(d)унражнения2.3мы наш:ш.х 2-матршJы можно оыразитъ через их с:шд и детерминант:Л,~~(tr М± .j(tr М) 2- 4det м).Заметим также, что tr Л = tr В = 1, а det А ~ ciet В, так что эти матрицыимеют одинаковые (вещественные) собственные значения.Пусл, {Л,} и {/а,)}-собственные значения и соответствующие И\fсобстиснныс векторы матрицы А.
До тех нор пока А несинrу;Iярна (то есл~det.A#0), мы \fожем разлагать IФо) ~ с 0 /ас,) +с 1 !а,) н собствешюм ба:шсе.Тосщ мы можем вычисmпь(<Pu IAIФo)=(со (o.ol + с; (а, 1)L 1а,;.\,. (а, 1( С0 /а.,) + с 1 /о1 )) .)Это просто взвешенная сумма собственных значений "'атритtы А. Бе3 ноте> .\ 1. Тоr;щ мы максими·.шруС\1ри общности можно предположить, что Л 0выражение \<PoiAIФ 0 ), выбирая IФ 0 ) -так, чтобы /с,,/ = 1, а ic 1 1 ~ О. Максимальное значение (Ф 0 IЛIФ0 } просто равно максимат,ному собствснно"узначению А.Ана.аогично оптимальный выбор IФ 1 } с.ае.;шет выражение {Ф 1 1Вi6 1 )равны~ максимальному собственно~ :шачспиюВ (которое совпадаетс максимальным собственным значением А).Из предыдущего сле,l)'еТ, что лтах = ~ ( 1 + J 1 - ·1 det А). 'v\иню!а;н,но возможное возмущение равно:Dmin~1-= 1 -~(о," (<PoiЛIФolopc -1 opt (Ф, IB/Ф,)opt) ~ (\:JaX + ,\mц)-----=1- -\п,tхP.LWFHIIЯ УJlРЛЖНl~Шiй· К ГIЛRF 4Мы \Южсм перепнсип./1423черс:~ fJ.
о11реде.1Яе~ое rоолтошение~ros fJ -= :-:-iн2о:1 .1- -:!:)ill·_)2о.l -.!·,., ')r;2~ТО! ~ra <l~t А ~ ~-cos:; FJ -t4c.os (} ·}cos 2 (j-··±(<·о~:2 Н -cus· 1 fl)и, СJiедо-ватслыю,С) IlOC'IPOИM !рафик функнии{)m!n(:I')-~(1- Jl-:.г+J 2 ), где;r-= cos 2 ОIJ.l0.1!80.0611.040,2IJA.соло.хЕсли cosfi = 1, то нача.IЫiые состояния J·~/') и )'<:~') нсрюш.жчнмы Тоi·да, пс·:швисимо от того, выпоJшя:ы Ева измерение или нет, Боб не !>Южетполучить никакой информации о том, k:акое состояние прИJ отоп:1еrю Ашсой. Это означает, чго он не может обнаружить ю.tсшатепьстно L:вы. то естьнноt~и~ое ей во·!мущсние неизмеримо.РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ424Ког!(аcos В-= О, начальные состояния ортоruнальны, следовате.1ьно,Ева может выполнить оптимальную ПОЗМ в базисе{10), 11)}и, не возмущая состояние, узнать, что приготовила Алиса.
Ес."1и она пересьшает егоБобу, то в этом случае измеримое возмущение отсутствует. Именно этопрепятствует исполиованию классических(ортогона.Тhных)состояний Д.."IЯбезонасной связи - как Алисе и Бобу узнать, что их подслушивают?Наибольшее значениеет () :. :. :. arccos - 1-.)2-=Dminдостигается при х = ~· чrо соответству-:_п-. Эю является фаiСТИЧеским выбором состояний схс-4мы расnредеJiсния квантовых ключей (такой как ВВ84), в которой А:шса и Боб хотят создюъ ра.1.деленную секретную строку битов, одновременно максимизируя величину возмущения, которое в среднем буf{ет нноситьподслушивающий, нытаяс1~ узнать значения передаваемых битов. По:щнеев этом курсе мы еще больше узнае" о квантоной кринтшрафии.Для этого выбора приаповдений мы можем вычислитьПmin (х- ~)Dmin(х~ ~)Dmin(х= ~) ""0,067,(Petтor)optimal=(Pe•coc)optima] =~(1- sinB),~ ( l - ~).(Perror)optimaJ ~ 0,146.4.
7.Приближенвое клонпрованнеа) Зта машина физичеки реализуема в том и только в том случае, когда онакорректно сохраняет вероятности. Это требуе1; чтобы отображение бьшоунитарным или антиунитарным, а из теоремы Вш·нсра следует, что на са-РfШlШИЯ УПРЛЖНЕНИЙ к l'ЛАВЕ 4425мом деле оно J.Jд-тжно быть унитарным. Унитарные отображения сохраняютне тош.ко вероятности, но и внутренние прои'3Ведения. Следовате.1ьно, достаточно покюать, ч10 машина сохраняет внутреннее произведение. чтобыпоказать, что она фи.зически реали:~уема.До:(lОЩООО) -О,(OOOIOOO)(1001100)==1,1.После:(lОЩИtИIООО) ={i,(llll +(lf(Ф+I(OI)х ( {i,1ooo) + /f1Ф-г)l1))=0,(ОООIИ 1 ИIООО) - ~ + ~ • 1,(1ООIИ 1 ИI100)=~1~= 1.Ь) Переход от унитарного представ.1епия к нрс;,ставJIСнию операторнойсуммы$гдевыполняется путем оrожаеств.аения:IO) в с -некоторое фиксированное состояние.
К данномувии задачи описанию отображения естественно надходит выбор=IOO) в с·" ус:ю10) в с =В этом бюисе необхщимыс нам существенные слагаемые Иимеют ЕШ)!и= ЛIOOO)(OOOI + /IIU11)(000I + }IIl01)(000I+лi111)(100I + лi010)(100I + л~100)(1ООI.РЕШЬНИЕ УПРАЖНlШИЙ426Следовательно, операторами представления оперюорной суммы являются:12Г[Моо = вc(OOjUjOO)вc ~"у з!О)(О! +у 6!1)(1!,М 01 = в с (01JUJOO) в с = jfщ (Oj,М 10 = вc(10jUjOO)вc = /f!O)(l!,М 11 = вс(ЩИjОО)вс = {f,!o)(O! + /II1)(1j.с) Запись в виде суммы проекторов для матриц операторной суммы М~nозволяет быстро вычислить точность воспроизведения. f' даже без явноговычис;:rения р'.А:F~ (1/JIPЛIФ)= \ф ~ M"!Ф)(,PJML) 1/!)1(1~ :L<ФJM),P)(Ф!MLIФ) .
L I<ФIM"IФ)I=2,,={f,!al + {f1ь1' '+ ~iai'IЬI' + /fiai' t {f,1ь1'1'2~ ~la! 4t~IЬI 4 + ~lai 2 IЬI 2 ~ ~(ial 2 + IЬ1')2=~·Этот резу.тьтат означает, чrо, имея ресурс двух допоmште.:IЬных вспомогательных кубитов, м:ы можем копировать неизвестный кубит с точностыовоспроизведения 5/6.Действие этого «квантового ксерокса» на входящее состояние о·юбражает его на состояниеРА=:LM"j,P)(ФIML"=~ ~ ~()(=~J: ~~;)(~ ~ )++i ( ~ ~ ) ( :J; ~: ) ( ~ ~ )+РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАВF 4l ) (Оl ( l+6ОО 2) (lal2lal2427аЬ' ) (оа*ЬIЬI'1аЬ*) ( lа*Ь IЬI 2ОО 2)=4lal 2аЬ* ) 1 ( О О )- 6 2а*Ь IЬI 2 + 6 О lal 2 =22~ ! ( IЬI о ) ! ( lal 2аЬ'2 ) _6о о + 6 2а'Ь 4IЬ122- ! ( 51"1 + IЬI4аЬ') 64а'Ьlal 2 1 5IЬI 2 2_ ! ( 4lal 4аЬ'2 ) l ( 1 О ) _ 2,1- 64а'Ь 4IЬI+ 6 о 1 - зiФ}('I'I + 61.2_ l (Этот квантовый ксерокс действует так же, как и депОJrnризующий канал с р ~ 1/4.
Следовательно, в части (Ь) мы с посшым основанием моглииспользовать операторы из раздела4.8.3.4.1.ПроС1'И нас, дЯiJ:Юшка Альберта) !lусть ~n обозначает оператор (и 1 ·f-iи 2 ) 0 " + (и 1 - iu 2 )""· Из злементарной квантовой механики известно, чтои±= ~(и 1 ± iu2 )яв.;шются повышающими и понижающнми операторами Д)IЯ спина. Слс;ювательно, действие~" иа IФin имеет вид:~.JФ!n = ~n{f(looo ... 0) j 1111 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
