Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2 (1156795), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Ь),Рн(а'Ь')=~rJл'lв(I+ i/ · i/).Также можно вычислить вероятности не:)авJtси~ОI'О детектирования:р+_(а) = ( Ф+ ~~А (1+а а) 01/Ф+) ~ ~·Р+(Ь) = ( Ф+ 11 0'7; (1+ Ь ·а) 1Ф+)='1;.Чтобы максимально нарушить перавеяство КГШХ, следует выбрать а ~ х,ii'=z, Ь =~ (:Н i) и Ь' ~ _l_ (:i;v'2у2-i). Подставим их в найденные вышевыражения:Рс.+(аЬ) = t'lл'lв (1 Н ~(х t- z)) = ~rJл'lв (1 t- ~}Рч(аЬ') = ~'lл'lв ( 11 х ~(х- i)) ~ ~~л'lв (н~}Рн(а'Ь) ~ ~'7л1Jв (нz ~(X+z)) = ±11А1Jв (н~).Р++(а'Ь') = i1/л1/в (J + z · ~(х- i)) = ±1Jл1/в(1- ~).Комбинируя эти вероятности, получимР 1.
1 (аЬ)+Рн(аЬ')+Рн(а'Ь)-Р.;.+(а'Ь') = ~1Jл1Jя (2+ ~).Р, 1 (аЬ) + Р+, (аЬ') + Р++ (а'Ь)- Рн(а'Ь')=~1J.11Jя(J + /2).МаксимадЪНО запутанное состояние !Ф+) может нарушить выведенное в части (Ь) неравенство 1\ЛЯ дOIOIJJЫiыx скрытых переменных, ес;шР~,. (аЪ)+ Р, ,(аЬ')+Р,.+(а'Ь)- Р,+(а'Ь');;,Р 1 (а)+ Рr(b),РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ412~<>12'7А''Iв(1'IA'Iв'lв2 '> __1_.+ 'lв'IA4.3.'IA+ v2) > 2 +1 + v2Телепортапия с помощью непрерывных перемеиныха) Проверим сформулированное уrверждение. выражая запутанные сосrояния В ба3ИСС {lq1 ) ® lц2) }:(Q',P'IQ,P)j &jdq'e'(Pq-P'ч')(ч'lч)(q' +Q'Iч+ Q) ~~ 2~= __L27Г~jdчe'(P-P')•o(Q- r~') ~J(Q- Q')J(P -1'').Ь) Чтобы найти коэффициенты, вновь разложим в базисе(Q', f''lq,,Ч2) ·-сvk Jdqe-iPq(qlq1 )(q + Qlq2){lq 1)® lч2 ) }:~~ _l_j&Je-iPqд(q-q,)6(q+Q-q2) ·~-ff,i~ _1_e-iPq, o[Q- (q2- q,)j.-ff,iс) В этой части нам нужно оставить неиз~енными переменвые р ии в уравнении(4.84)q.Какв пек:циях, мы хотим выразить состояние системыАС в занутапfJОМ базисе.
В эrом базисе А..rшса будет выполнять измерения,посr.шая их результаты Бобу. Тогда, используя эти результаты, Боб сможет реконструировать в своей лаборатории исходное состояние систе~fы С.Это--грубое описание того, как должна работать те.ттепортация; после выполнения некоторых nрсJ~наритс;Jъных вычислений я представ~1Ю полнуюпроцедуру, которой д0.11жны слс;\опюъ Л."lиса и Боб.В качестве перншu шаr'а прелставим систему АСПредваритслыю записав11/>) Авев базисе{lчt}A ® lч2lн ® lqз}c},сделаем зто, испоаьзуя тождественную вставку1 = j dQ' dP'IQ',Р')сА сА (Q', P'l-n запутанномбазисе.РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ 4413По.,учающиеся при зтом козффициенты ел (Q', Г'Jq 1 , q 2 )сл• которые ужебьmи иычислены в части (Ь ), nозвоаяют перевыразить состояние в запутанном базисе системы АС':l~•)cJQ, Р)Авj rlq c(чiФ)cJq) 0 х vk j dq' e'rq'jq'),,Jq' + Q)в=k/с_ 2~ J=dqdq'dQ'dP'0(qj1/J)ce'Pq'хх JQ', Р')сА сА (Q', P'Jq, q')сл Gjq'dqdq' dQ' dl'' с(чi.Р)се'Гq'+ Q) в =хxe-iP'qб[Q'- (q'- q)]JQ', Р')сл ® Jq'=i., JdqdQ' dl''+ Q)в=c(qj·<Ь)ce'Г(Q'c-q)-iP'q хxJQ',P')cл 0 Jq + Q'+ Q)в-С этого момента Аписа вьшолняет измерениелучая пекоторое состояние=\Q', Р')сА·Rзапутанном базисе АС, поРезуJIJ>тирующим состоянис:>v1 Бобаяв.'IЯетсяБоб имеет почти все, что е:му необходимо.
Ес,'lи Алиса посылает ему результаты своего измерения(Q', Р'),..то он может применить парашrельныепереносы коор,цинаты и импуш са:D(q)-~ е'чР =D(p)-je-ipq =чтобы преобра:ювать свое состояниеdq' Jq'+ q)(q'J,j dq' e-ipq'Jч')(q'J,JBob)в то, в какое ему нужно. Провсряя состояние Ьоба, мы видим, что он ;юлжен при:менить к нему- Q)иD(P- Р').Боба с общей фюой1D( -Q' -Однако вьпю.'шение этих сюшruв 1 оставляет состояниеeiPQ'.Конечно, она не имеет физического значения,Именво в этом порядке, сначала D{ -Q'- Q), а затем D(P- Р').Прим. ред.414РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙно если угодно, то МОЖJю избавиться и от нее, применяя операторы сдвигав специальном порядке.
Снача..rш заметим, чтоD(p)D(q)~~1dq" dq' e~'vч"lч")(q"lч' + q)(ч'l1dq' e-ipq' e~ipqlq' + q)(q'l-е'••~=j dq'dq"e~'pч"lч' +ч)(q'lч")(ч"l== e~'••D(q)D(p).Используя этот результат, мы видим, что применение к состоянию БобаIBob)оператораИ=D( -P')D( -Q')D(P)D( -Q) == e~iPQ'D(-P')D(P)D(-Q')D(-Q) == e~iPQ'D(P-P')D(-Q'- Q)восстанаRЛИвает состояние 1ф):ИIВоЬ)=1dq с(чi.Р)с eiPQ'+,(P-P')чeiPQ'хxD(P- P')D( -Q'- Q)lq + Q' + Q) в=j dqc(чi>P)ce'(P~P'Jчo(P-P')Iч)в1dчс(ч1Ф)се'(Р~Р')че~i(Р~Р')чlq) 8~ 1dчс(чi.Р)сlч)в~=====I.P) В·Итак, протокол, коюрому должны следовюъ Алиса н Боб для телепор~тации с помощью непрерывных переменных, выглядит следующим образом:IQ, Р) Ас·1)Готовится запутанное состояние2)Алиса измеряет (Q',P') в запутанном базисе системы АС.РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ 4415(Q', Р').3)А;шса посылает Бобу результаты своего измерения4)Боб применяет оператор D( ~ P')D( ~Q')D(P)D( ~Q) к своему состоянию.
В итоге он имеет состояние IФ) в·4.4.Телепортация со смешанными состояпJIЯМВа) Мы знаем, что если Алиса и Боб поделизm синrлет. то они могут осуществить те.-тепортацию с идеальной точностью воспроизведения. Если вместо этого Алиса и Боб нечаянно разделшm смешанное состояние, то выrюлняемое Алисой измерение Белла ничего не говорит об ее состоянии(следовательно, у нее нет юассичсской информации, которую необходимопослать Бобу), а состояние Боба никак не коррелирует с состоянием Алисы.В этом случае лучшая стратсгиея Боба состоит в утадывании, которое, какмы показали, имеет точность воспроизвеl\ения1/2.Так как данная в задачематрица плотности может рассматриваться как ансамбль этих альтернатив,имеющих вероятности( 1 -Л):и.
Л соответственно, то полная точность воснроизведения: телелортации с помощью зтоп> состояния равнаЬ) Эта точность воспроизведения больше, чем2/3,при Л< 2/3.с) Очень похожие спин-ениновые корреляции рассматривались в задаче2.5.Вырезая и склеивая ее фрагменты, я воспроизведу здесь (с небольшим изменением) решение. (Более детальное изложение смотрите в решении задачи2.5).v=tr 8trл [ (~(lл +n .а л) 0 ~(1 8 +m ·д' в)) хх ( ~lлв + (1 ~ .Л)IФ-)(Ф-1)]==1~ tr 8 trл[(lл+ft·д'л)0(1 8 +m·д' 8 )]1+ ~.\tr 8 trA[(lл+ft·д'л)0(lв+m·д'в)IФ )(Ф-1] ~1~ 1~ tr 8trA(1,1 ®1н]+ 1 ~.Л(ф l(lA+it д'л)®(lв1m-д' 8 )1Ф-)=РЕШЕНИЕ УШ1ЛЖI-ШНИЙ416, . ,n·<7лиm·<7в'"', , - ~. - 1 .
. )=4Л+1-Л+1-Л('·I'-_1- - 1 v п-о-л+т-о84~ ~+ 1 ~Л[п-(,;,-lo'AIФ-)+m-(1/J-io'вl'i'=)++(.P-In а А •&m·<>'вiФ-)] =1 1-Л(·'-I"n-o-A®m·o-вv•. - l _)=4+-4-''~14=л- -1--cosB.4d) При Л = 1/2 пероятиость того, что спины Ашсы н Боба корре,шрованы,1 - gn[. · т.' Оч ень естественным предпо;южением относительравна JJ --=4по порождающеrо ~пу корреляцию распределения исроятностей скрытыхперсменных йЫГЛЯi(ЯТfA(& r'\) =~+а(& n.),fв(fi · тh) ~ ~ + Ь(fi- m.).Jтот ни;~ подска1ывастся взаимно-одiю:шачным соответствием мсж.п;у проекторами на сфере Блоха и единичными ве:ктора.'ш на S 2 .
Он автоматически порождает ин;щвидуальные распрсi~слсния набшодаемых Алисыи Боба. ДJЯ того чrобы воспроизводить кванlОIЮ-механические спин-спиноные корреляции между А'Iисой и Бобом, а и Ь должны удовлетворятьус:юниюJfл(О. 'n)fн(&.rn)"~+~;(~);,m=~ + !аЬсоsВ=?=}Для того чтобыfАиfваЬ = _:)_ностей (то есть принимали значения встваlal <:; 1/2 и lbl <:; l/!.s·действите:Iьно бьши распре,1елениями нсроят[0 1 1 J),до.1жны выполняться неравенНо, согласно неравенству Шварца, зто означас·1;-------·--------417РЕШЕНИЯ УНРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ 4чтоla.bl <:: lal · IЬI <::пс достаточно-1/4 < 3/8 (!).
Таким образом, этой простой моделиквантовые корреляции слишком сшrьны, чтобы моделиро~паться наивной теорией скрытых нсременных.Чтобы добиться силы1ых корреляций, рассмотрим разрывные фуикциираснреде:~ения вероятностей( ' ')f л<>·n=., , ) =f в(а·т1.('')2 +asigna-n,1 Ь( , , )2 + a·n.Очевидно, что эта новая теория по-прежнему воспроизводит индивидуальные распределения Алисы и Боба с (!_.)Uв) - ~-Чтобы пычислип.=их интеграл спин-спиновых корре~1яций, запишем&:, ftи тl1. в конкретномбазисе:а= хCOS<p sin8 -1уsin f' sinO 1z со;; е,rl -"- i,т= Х siнф+ Z соs·ф.В этом базисе корреляционный интеrрал имеет видj j_.(C.
· ii)fв(C. · ,;,) ~ ± :~ j(a1i~- + :~2nJ1о1Jit)sigп(a · i>)d!'ld<p.! d( cos е) ( cos 'Р sin е sin ~-+ cos е cos '1/J )sign( cos е)=-• i+ ~соsф [J d(cos8)cos8-] d(cose)cos8]. [1 1 21] -_41+ 2аЬ ..-_::(1+ аЬ22оCOo~l-11COS <р.Это соответствует вредсказанию квантовой механики при аЬвыполняется, например, при а~ 1/2, Ь- -1/2:( , , ) { 1,f Ай·пО,& fi ?о О,лла·n<О,!в(&·,;,)= !(1- а.
m).---'- -1/4,чтоРЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ4184.5.Распределевне квантовых ключейа) Решение первой части этой задачи в целом совпадает с решением задачиследующей глаRы 5.2(Ь). Как там показано, ограничение собсmснных чисел операюраF vкнеотрицательными значениями нак:шдывает верхнююграницу на возможные значения А. Я приведу здесь доказательство:FDк -_+( 1А+Ао2АО 2А)1-cos2 о:со.'3 а siп а+-)sin 2 а( cosa sina. 2юn(~ (а.соsй sшо:.cos а sin аcos2 а1- А)+=2Acosa sina)2Acosasiнa1-А·Характеристическое уравнение имеет вид:о~ Л 2 - ЛtrFDK +detFDK == Л2 -Л=~2(1- А)Л1 -А±1-А±+ (1- А) 2J(l - А)2 -(1-4А 2 cos2 а siп 2 а-А)' + А 2 sin 2 2а =А sin 2а.Из условия неотрицательности собственных чисел Л ~ О следует неравснство:А,::-..:: 1 ±Поскольку Описано1siп2o:< а < 1r /4, ограничениеположительности может быть переJQlK1O(A(I+.2.sш·аЕсли Алиса делает равновероятный выбор из {!и), !v) }, то матрицаплотности Боба вышяднт как р = ~(!и)(и! ~ !v)(v!).
Следовательно, вероятность nолучения результата D К:PDK ~ tr(pFDк) =1-А Asin2a )]1sin 2а )- tr -1 ([ 2 sin2a( Asin2a 1 -А1РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ 4419~ 1- А+ A'in 2 2о ==1+A(sin 2 2o-1).~1я того чтобы мйнимизировать Рпк' мы ДОJJЖпы :выбрать максималыювозможное значение Л, а именно: А=1/(1+ sin2a).Тогда вероятностьтого~ что Боб не знает, что послала Алиса:РDк =1+sin 2 2а- 1~ sin 2а..1 -t-sш 2аЬ) Наиболее естественный способ построения распределения квантовыхключей вокруг источника Алисы и ПОЗМ Боба представляет собой небольтую модификацию схемы ВВ84 с целью адаптировать ее к ПОЗМ.
(См. р<L1дел4.2.2в лекциях.) Алиса случайным образом готовит состояния, а Бобизмеряет их с помощью своей ПОЗМ. Затем он открыто объявляет, кактолько узнает, что послала Алиса. Конечно, он не распространяется о том,что он открыл, а только о том, что зто ему известно. При идентификации lи) =о О,lv)=о1,А1иса и Боб теперь имеют безопасно ра.-1деленнуюстроку случайных битов, с помощью которой они MOJYlЪ выполнять шифрование (используя одноразовый лротоJ<Ол). Конечно, прежде чем ее исполь.1овать, им также будет необходимо провести коррекцию ошибок и секреnюе увеличение их строки, чтобы свести вероятность подслушиnания ктому уровню, при котором они будут чувствовать себя J<ОМфортно.
ОднаJ<Оэта «пост-обработка}) их строки представляет именно то, что они должныбыди бы сделать, осуществляя стандартный протоJ<Ол ортогональных состояний ВВ84.с) Вмешательство Евы вызовет JШШЬ ошибку; J<Orдa Ева перехватывает посланное А1исой lи)(lv) ), Бобу передается неправильное состояние lv) (lu) ).Для любого посланного Алисой сигнала это происходит с вероятностью2sin а. [Эта симме1рия имеет место благодаря тому, что для выnолнениясвоего измерения Ева выбрала в качестве базиса векторы ( ~) ~ ( ~), относительно которых lи) и lv) повернуты на один и тот же угол а по и противчасовой стрелки соотпетственно.]Имеется два способа описания влияния Евы на скорость появленияошибки, которые лишь слегка различаются в семантике, но дают различныечисленные результаш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
