Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2 (1156795), страница 71
Текст из файла (страница 71)
4.1,4.2, 4.6).РЕШЕНИЯ УliРАЖНЕНИЙ К I'ЛАВЕ 2Решения упражнений к главе2.1.3792Точность воспроизведения вероятноетвой гипотезыОператоры (матрицы) плотности чистого состояния двухуровневой системы находятся во взаимно однозначном соответствии с гочками на поверхности сферы Блоха. Благоларя .:этому соответствию, мы можем выбратьме-ру Хаара таких матриц плотности равной обычной евклидавой мерена5 2:1sl_·n_O,-d_Od--'<p'-.djt = 4r.Если мы извлекаем11/J)из однородного ансамбля чистых состоянийи предnолагаем, что извлеченным вслед за ним из1uroже ансамбJJя состоянием является IФ).
то усредненная ожидаемая точность ооснроизвсдениянашей гипотезы дается (классическим) математическим ожиданием по обоим выборам:(F)~ Е,,р)ЕIФ) [1(ФI.P)I 2 ]-Е,Ф)RФ) [(Фiw)(.PIФ)] ~=ЕIФ!НIФ! [ tr (IФ)(ФIФ)(.РI)]=tr ( El>f)=tr [= tr ( в,ф)ЕIФ)[IФ) (1/11] ЕIФ) [IФ) (ФI])[IФ)(ФIФ)(.РI])7-=(J ~(1 +i>IФ) ·б) sin ~:Фр) хх (J ~(1 hiФ) а) siн~:еФ,о)]tr [ ( ~1) 01)]~ trl = ~1==То, чrо усредненная точность воспроизведении равна ~, интуитивнопонятно, но мы должны честно выполнить вь1Числе:кия; чтобьt подтвердитьпраюшьпостъ нашей интуиции. Особенно работая в кнюповом мире!Прежде чем приступать к решению, я хотел бы объяснить, почему приIотовленная измерением маtрица плотности может быть заrшсана в виде,1В общем cJIY'-Iae отыскание меры Хавра .цля матриц плотности может оказап.сfl трудноЯзадачей.РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ380данном в условии задачи.
Вспомним, чrо если начальным состояниеi~-1 квантоnой системы яR..Ъiется чистое состояние 1~·), то, согласно третьей аксиоме(см. ра:ще.12.1 ).измерение наблюдаемой А с верояпюстъюPn =(Ф/Р" /Ф)выбирает проектор Р n на одно из собственных сос1uяний А и переводитсистему в нормированное чистое состояниеР"/Ф), )~·п = (>Р/Р"/Ф)l/21Это наводит на мысль, чrо матрица плотности чистого состоянии до;rжнатрансформироваться в aNClUtбль всех возможных ре3уш.тюuв измерения:Но [1/Jn){'f/.,·л.l является именно проекторомPn,так что приютавливаемаяизмерением матрица плоn-юсти с тем же основанием может бьпь :шписанав видеDnОднако следует предостеречь, что такая эволюция верна.
CCJJИ lО:IЬко нача.1ьным состоянием системы является чистое состояние. В общемслучае, как бьшо показано на лекциях, зво.1юция "Матрицы плотности рпод влиянием измерения (фон Неймана) имеет вид р __,(см. разде."I;" Р" tr(pP п)3.1.1).С данной выше матриuей плотности вычис.1ение точносп1 восnроизведения сравпите.J:ьно прос·rо:F = (ф/р/V') = (Ф/(Р 1 (Ф/Р,/Ф)= (ф/Р;\Ф)('Ф/Р!/Ф)~ (,Р/Р)/1/1)2+ (Ф/P;/Ф)(ФIPJIV')+ (Ф/Р!/Ф)=pz+(l-p)2+ Р, (1/l/P ./'+')) /Ф)2=~=PJ +PI =(р=;р 1 )2=2p -2p+l.Чтобы найти усред1t.енную точность воспрои..1ведения, необходимо вычислить (классическое) математическое ожидание по всем возможным реалюациям состояния /Ф).
Поско:~ьку состояния /Ф) распре;(елены однород-РF.ПJЕШIЯ УПРАЖНfНИЙ К ГЛАНЕ 2но, усредненную точность воспроизведенияти, полагая однородным распределение р(F') =[0, !].Е3811 [FJЕ ")можно найЩлинный путь состоит п замене l·ц>) спинорами или проектора~и и усреднении по всемуглам.) Это ;щет следующее значение усредненпой точности воспроизведения:1(F)=j (2р2-2р + 1)dp ~ ~ ~ ~ +tаТаким образом, пыпОJrnение измерения увеличивает точносп, воспроизведения на ~. Эвристически это можно запомнить, заметиn, что с вероятностью~ сосюяние [V1) ориентировано вдоль оси измерения, а соответствующий результат измерения дает IФ) вдоль лай оси имеет вероятность ~·Вероятность того, ЧIО I'ипотсза верна, равна ~ · Ь.Следуст заметить, чтu, хотя выражения д.,lЯ точности воспроизве,цсниян за;щчах2.1и2.2вьшiядят ра1.nrчными, на самом л,еле оба они являютсячастными случаями общего выраженияFВ задаче2.1=tr Р1Р2·обе р 1 н р 2 были чиСIЪIМИ сосшяпиями, а н за:щчето.1ько р 1 .
В общем случаеF2.2чисшеоnисывает, насколько по~обны два квантоныхсостояния. Непосредственно ВИJ(НО, что ТОЧJIОСТЬ ооспроизвсдения яв:mется2не са,_\fой лучшей метрикой, так как, например, tr(p) = 1 то.Jько в частномслучае, когда р янпяется nроскюром. Позже в этом курсе мы найдем болеехорошие меры точности воспроwJведсния.2,3, Раз,,ожепве Шмидrа2.3,1, Частичные следы.
Решение этой части главным образом получаетсяпутем чисто ~еханического применения определений. Начаш.ным состоянием системы яктяется:382РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙчто, будучи .записанным как оператор шютности, представ...'!Яет собой:IФ)(ФI = Hl т+ VЗI щ + VЗI т ~ 1щ) хх (т 11 vГз(r 1 1+ vf:!(J r 11 щ 1)1=(1 щ1 щ,1 m,l щ) 8(=1 vзvз .;з1)((trl)1щ1 ·vзvз1333:Jvзvз.fi(j1Щl1Частичный след по системе В дает:РА = trв IФ)(ФI =~ (j в IФ)(ФIi в)+(!в IФ)(ФI !в)=[1 i)(i I+V'ЗI i)(! 1+ v'ЗI !)(i 1+31 !)(!Н]~8 +31 j)ii 1+ VЗI i)(! 1+ VЗI !)(j 1t 1))() 1~! (41 i)(i 1+241 i)(! l+2v'ЗI!)(i 1~41 J)(! 1) == l-- (l j), 1!))( 1/2) ( (j 1 )V'З/4 ..;3j41/2(! 1 .Поскольку состояние jФ) симметрично относительно обмена системами А и В,roоказывается, что частичный след по системе А дает тот жесамый нид приведеиной матрицы плотности р в:Рв = Lrл IФ)(ФI =(i А IФ)(ФI i А)+ (!А IФ)(ФI LA) == l [1 j)(j 1+ VЗI j)(! .1 + VЗI !)(j 1+ 31 ))(! 1+]8 +31 j)(i 1+ VЗI i)(J 1+ vГзll)(i 1+ 1!)() 1=2.3.2==~ ( 41 1) (1 1+ 2VЗ1 1) (J 1+ zvГзiJ) (1 1+ 41 J) (l 1)=(1j), 1!)) (Уз}4 ~~4 ) (=ii 1).РаЗJшжение Шмидта.
Решение эrой части задачи ·юже нолучаетсяв резу.тн.тате простых манипуляций опредедениями, во с ;(ополпительнымпреобразованием, с помощью которого мы предварительно поворачиваембазис системы А так, чтобы диаrонализовать приведеиную матрицу р А.РЬШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАВF. 2383Чюбы выполни1Ъ ~то, найдем сначала собственные состояния, диагонаsшзующие Рл:11/2-ЛvГз/4vГз/1 1-о1/2- л- ,1/4-.\+Л' -3/16=0,л' -Л+ 1/16=0,л±= 1/2 ± v'з/4,I'Ф±)л = jz(l [),± ll)л),Чтобы выnолнить (локальную) замену базиса, :ко1орая реа.ти_зует этисобсп~енные веК1'0рыllкачестве базисных, используем обычную формулуперехода от одншо представления к другому, основанную на очевиднойrождественной вставке:i=±Коэффиr(иентами этого рашожения фактически являются состояния системыR,так как впуrреппсе произведение здесь вычисляется только по состояниям системы А.
Действительно.(Ф'IФ) ~ !(л(i 1+ л(ll) хх [1 i)л ( !1 i)в + '71l)в) + tl)л ( '71 nв + !ll)в)]=Ht r> в11v'зtt> в + v'зl r> в + 1t> в)==у'3 (1 i.в\ + 1l )в ) =- 1-'Pt )В>]-~~ ~(Ф IФ)=4!(л(i 1- л(! 1) хх [1 i)л (~~Т) в+ '71 !)н)+ !)л ( '71 i)в +~~!)в)]=1=Н1 r> в+ v'зlt> в- v'зl r> в -lt> в)1-v'З( 1 i)н -ll)в= ~4-) =I'Pz)в.-=РЕШЕНИЕ УНРАЖНЕНИЙ384Мы почти у цели. Все, ч1о нам осталось сделать ~ это нормиро1tатьполученные состоя11Ия:(<Ptli'J)=4+\~у'З(в(i 1 + в(ll)(l Т/в+ ll)в) =~~(н(<P2I<fi2)==4v{) ~р~,-1 ~у'3(в(Т 1- в(ll)(l Т) в -ll)в) ~~ ( 1-v;) ~ р,Используя нормированные состоянияI'P;l в=~I<PJ в, мы можемyPiзаписать раз,;10жение Шмидта эТОI'О чистого состояния по ортанормированным состояниям систем А иR:1~нVЗ4 -(lilв+ll/в)~-=+(t ;t) [}z(l Т) л+ ll)A)] [}z(l Т) в+ ll)в)] +C;t) [~(li)A-11/A)] [~(ltlв-ll)в)]+РЕШЕПИЯ УllРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ 22..4..385Трехкубитовое чистое состояниеПет.
Прежде чем объяс11яп•• почему, я хотел бы отметить, что па;tc;reca.Jy[OMневерно в этой за.дачс. Разложение Шмидта для трехкомпоненпюйсистемы донжно выглядеть с.:1едующи.м образом:L YP,Ji) л® Ji) в® Ji)c·Надеюсь, это ни у кого не вызывает недо}'}fения, так как :множители .;р;,очснИ)tНО. должны присутствоnать, чтобы нормировать состояние. В общемслучае разложение Шмидта п-компонентной системы имело бы nидI:vPi®li)j,jгде каждый базис fllм•щта{ Ji)1} является ортонормированным в j-ой системе.Тспер1, обратимся к <<объяснению>>, которое я уnотребляю как эвфемизм «л.оказате.Jьства>> 1.Пусть IФ) Авечистое состояFJие ·rрехкомнонснтной системы~ предналожим, что IФ) .11Jc имеет разложение Illмидта. Коль скоро тю так, ro оычисленис rшрциального следа но любым двум подсистемам даст ДИЗl'онаJrьную н базисе lliмидта приведеиную матрицу плотости оставшейся нодсистемы. Более того, вычисляемые этом базисе приведеиные матрицы rтотности подсистем должны иметь один и тот же спеюр значений Pi 2 .
Любые локальные (действующие внутри одной ПОJ~системы) унитарные преобра'ЗОвания базисов сохраняют собственные значения приведеиных матриц JI.;JОтпости. Следовательно, спектры (ненулевые) приведеиных мюрицШiотности всех этих подсистем до..1Жны быть и;~ентичны нсзаRисимо от того, в како~t базисе они выражаются.Это требование строгонJ «совпадения спектрою> несправед.-rиво д.IЯпроизвольных JФ) ""зс' и примеров этому моожсство. Я ;~умаю, что простейши~ контрпримерам является:I•ИАвс = JО)л ( ~(JоО)вс + J!l)вc)),1Энфемизм от греческогоeuphemia - во~держапие от резких слов, смягченное выражение(перев.)2Точнее, приведеиные матрицы плотности долж:ны иметr. соtшадающие спеКiры иеuудевых собственных значенийPt(см.
ра:~де.12.4).- Прим.редРЕШF.НИЕ УПРАЖНЕНИЙ386Рмзс = I'Ф!лвс лво(ФI ==~(IOOO)(OOOI + IOOO)(Olll + IOll)(OOOItIOll)(OЩ),Рл =trвtrcPлnc~ IО)лл(ОI=о~),Рв= trл trc Р.4всс" ~(I0) 8 в(Oi+ll)вя(11)= (1/2оо1/2),о2.5.Кван·rовые корреляции в смешанпои состоянииКак мы видели в задачечения Р n равна2.2, вероятность измерения собственного знаPn = tr Р пР· ВЗаимно однозначное соответствие междупроекторами на кубиты н точками на поверхности сферы Блоха гопорито том, что вероятность результатов двух последовательных измерений«спин вверх» вдоль осивторого кубитар=-tr 8р ~ trвft-у первqго кубита и «спин вверх» вдоль оси т уравна{P,ntrл [(Рп ®lв)Р] },a(l+т· 8 8 ) trл [ ~(1 -t ii 8 л)® lв)Р] }·По отношению к следу но системе А проекrор Р fi~ является мультипликативной константой.
поскшiьку его действие на систему А тривиально.В силу линейности следа такую консrанту можно внести по.J; его знак:р = tr В tr А [ ( 1 А ® ~ ( 1+ т · а В)) ( ~ (11 fi ·~ tr 8 lrл [(~(1-t ii aл)®~(l-t m·Вв))а л) ® 1 в) р]+=РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ 2387С помощью данной в за11.аче р, зти сдеды можно вычислить явно, учитываяошпейность следа и равенство нулю еледои матриц Паули:trл [ (~(l+iъ u л))@ ( ~(l+т <Тв)) Оlлв+~IФ-)(1/1=tr 8=3 2 tг 8 tгл[(Нi>·д'л)®(11t-rh·д'в)]++~ tr В tr А [ ( (1 + i\ ·д' л) 0(11)]~+ m·д' в)) 11/;-}(-ф -~]- .з~ tr 8 trл [lэl] + ~(Ф-I(l+n·д'л)0(1 +т-0' 8 )11/1-) ~=! + ~ (1/J -1 н п ·а А=~tт . д' в + п · и л ® т · d в 11/J ) =tk[n· (Ф-Iд'лiФ-)+rh· (·Ф-1<7 11 11/'-)+(Ф-In·д'л 0rh·д'вiФ-)].В синглетном состоянии IФ--)математические ожидания и А и и в равны нушо, в чем можно убедиться юш с помощью явных нычислений и.wзаметив, чm ешелет является скалярным (спшт-0) состоянием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
