Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2 (1156795), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Прескилл, 1998© Перевод на русский язык:НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»,http: //shop.rcd.ruhttp://ics.org.ru2011517.958:530.145.6ОглавлениеГЛАВА7.7 .1.7.2.7.3.Коррекция квантовых ошибокКвантовые коды коррекции ошибокКритерии исправления квантовых ошибокНекоторые основные свойства КККО7.3.1.7.3.2.7.3.3.7.3.4.7.4.Обнаружение ошибок.. ..... .Квантовые коды и запутывание........... .Нижняя граница точности воспроизведенияНекоррелированные ошибкиКоды КШС............. ........... .7-кубитовый кодНекоторые ограничения на параметры кода.Квантовая граница Хэмминга....Границаневозможности клонированияКвантовая граница СинглтонаСтабилизирующие коды7.9.1.7.9.2.7.9.3.7.9.4.7.10.7 .11.7.12........
.Классические линейные коды7.8.1.7.8.2.7.8.3.7.9.РасстояниеЛокализованные ошибкиВероятность сбоя7.4.1.7.4.2.7.5.7.6.7.7.7.8.. . . .. . . ..... ..... .Симплектическая запись .. .Общая формулировкаНесколько примеров стабилизирующих кодовЗакодированные кубиты.. ............... .квантового секрета . . . . .5-кубитовый кодРаспределениеНекоторые другие стабилизирующие коды7.12.1. Код [[6, О, 4]] . . . . . . . . . . . .
.7.12.2. Детектирующие ошибки [[2m, 2m-2, 2]]-коды7.12.3. Код [[8, 3, 3]] . . . .7.13.7 .14.Коды надGF(4) . . . . . ..Хорошие квантовые коды991422222323242525283033364040414244444951545561646465666871ОГЛАВЛЕНИЕ67.15.Некоторые коды, исправляющие многократные ошибки.7.15 .1. Каскадные коды . . .7.15.2.
Торические коды . . .7.15.3. Коды Рида-Маллера7.15.4. Код Голея . . . . . . .7.16.Пропускпая способность квантового канала7.16.1. Стирающий канал . . . . . . . . . . .7.16.2. Деполяризующий канал . . . . . . . .7.16.3. Вырождение и пропускпая способность7.17. Итоги . . .
.7.18. Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ГЛАВА8. Топологические квантовые вычисления8.1. Анионы? . . . . . . . . .8.2. Композиты поток-заряд .8.3. Спин и статистика . . . .8.4. Объединение анионов . .8.5. Унитарные представления группы «кос»8.6. Топологическое вырождение . . .8.7. Еще раз о торических кодах . . .8.8. Неабелев эффект Ааронова- Бома8.9. Сплетение неабелевых флаксонов8.10. Суперотборные секторы неабелева сверхпроводника8.11. Квантовые вычисления с неабелевыми флаксонами8.12. Обобщенные анионные модели .
. . . . . . .8.12.1. Метки . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.12.2. Пространства композитных состояний8.12.3. Сплетение: R-матрица . . . . . . . . . .8.12.4. Ассоциативность композитных состояний: F-матрица8.12.5. Множество анионов: стандартный базис . . .8.12.6. Сплетение в стандартном базисе: В-матрица .8.13. Моделирование анионов квантовой схемой .8.14. Анионы Фибоначчи . . . . . . . . .8.15. Квантовая размерность . .
. . . . . . . . . .8.16. Уравнения пяти- и шестиугольника . . . . .8.17. Моделирование квантовой схемы с анионами Фибоначчи.8.18. Заключение . . . . . . . . . . . .8.18.1. Теория Черна-Саймонса8.18.2. В-матрица . . . . . ..8.18.3. Краевые возбуждения ...73737777828588919498100131131134137139141144149151154160164172173174177179180181183186188192196198198200200ОГЛАВЛЕНИЕ8.19.7Библиографические замечанияЛитераrураПРИЛОЖЕНИЕ.201.
202. . . . . . . . . . . . . .Отказоустойчивые квантовые вычисления. . . . 204. 204. 2041.Золотой век коррекции квантовых ошибок2.Законы отказоустойчивых вычислений. 2083.Пример: 7-кубитовый код Стина . . . ..2114.Отказоустойчивое восстановление .. .' 219. 2235.Отказоустойчивые квантовые вентили.б.Порог безошибочности квантовых вычислений. 22б7.Отказоустойчивая факторизация. 233. 23б8.Выявление квантовых утечек . .
. . . . .· . . . .9.Машина мечты . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 237Джо11 Прескилл. Отказоустойчивые квантовые вычисления. 2451.Потребность в отказоустойчивости . . . . . . .'2452.Коррекция квантовых ошибок: 7-кубитовый код. 250. 2593.Отказоустойчивое исправление . . . . . .
. .. 2593 .1.Проблема обратного действия . . . . .. 2б13.2.Приготовление служебного состояния .3.3.Проверка служебного состояния. 2б33.4.Проверка синдрома . . . .. 2бб3.5.Измерение и кодирование . . . .. 2б83.б.Другие коды . . . . . . . . . . .. 2б9Отказоустойчивые квантовые вентили .4.'2737-кубитовый код . . . . . . . . .4.1.' 2734.2.Другие коды . . . . . . . . . . ..
2775.Порог безошибочности квантовых вычислений'279б.Модели ошибок . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28б7.Топологические квантовые вычисления . . . . .. 291Эффект Ааронова- Бома и правила суперотбора .. 2917 .1.7.2.. 294Дробный квантовый эффект Холла (и не только).7.3.Топологические взаимодействия . . . . . . .. 297. 3027.4.Универсальные топологические вычисления7.5.Является ли природа отказоустойчивой?. 304Литераrура . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 305Джо11 Прескилл. Надежные квантовые компьютеры.ГЛАВА7Коррекция квантовых ошибок7.1.Квантовые коды коррекции ошибокИзучая квантовые алгоритмы, мы нашли убедительные свидетельстватого, что квантовый компьютер может обладать исключительными способностями. Но будет ли он действительно работать? Сможем ли мы когда-нибудь создать квантовый компьютер и управлять им?Чтобы добиться этого, необходимо решить проблему защиты квантовой информации от ошибок. Как уже отмечалось в первой главе, у этойпроблемы есть несколько аспектов.
Между квантовым компьютером и егоокружением неизбежно взаимодействие, приводящее к декогерентизации и,следовательно, к разрушению хранящейся в нем квантовой информации.Пока мы не сможем успешно противостоять декогерентизации, наш квантовый компьютер безусловно обречен. Даже если бы нам удалось предотвратить декогерентизацию, полностью изолировав компьютер от окружающей среды, ошибки по-прежнему представляли бы серьезные трудности.Квантовые вентили (в отличие от классических) представляют собой унитарные преобразования, множество которых образует континуум. Следовательно, идеально точное выполнение квантовых операций невозможно.Малые погрешности вентилей будут аккумулироваться, приводя в концеконцов к серьезному сбою в вычислении.
Любая эффективная стратегияборьбы с ошибками в квантовом компьютере должна обеспечивать защитукак от декогерентизации, так и от малых унитарных ошибок в квантовыхсхемах.В этой и следующей главах мы увидим, как искусное кодированиеквантовой информации может (в принципе) защитить ее от ошибок. В этойглаве будет представлена теория квантовых кодов коррекции ошибок. Мыузнаем, что соответствующим образом закодированная квантовая информация может быть помещена в квантовое запоминающее устройство (квантовую память), подвергаемое разрушительному воздействию шума окружающей среды, и извлечена оттуда неповрежденной (если шум не слишкомГЛАВА 710силен).
Затем в восьмой главе мы распространим эту теорию в двух важных направлениях. Мы увидим, что процедура восстановления информации, может эффективно работать, даже если в ходе ее время от временислучаются ошибки. Мы узнаем, как следует обращаться с закодированнойинформацией, чтобы квантовые вычисления могли успешно выполняться,несмотря на разрушительное действие декогерентизации и несовершенство1квантовых логических вентилей.Квантовый код коррекции ошибок (КККО) можно рассматривать какотображение k кубитов (гильбертово пространство размерности 2k) на nкубитов (гильбертово пространство размерности2n),гдеn > k.Этиkкубитов представляют собой «логические кубиты» или «закодированныекубиты», которые мы хотим зашитить от ошибок. Дополнительныекубитов позволяют хранитьkn- kлогических кубитов в избыточном виде, такчтобы закодированную информацию было нелегко разрушить.Для того чтобы лучше понять идею КККО, вернемся к рассмотренномув первой главе примеру кода Шора сn=9иk = 1.Его можно описать,определив два базисных состояния подпространства кода; будем обозначатьэти базисные состояния какIO) -«логический нуль» и11) -«логическаяединица».
Они имеют вид10)~ [ ~(1000) + IШ))г ,ii)~ [ ~(1000)- IШ))]3(7.1)03;каждое базисное состояние представляет собой троекратно повторенноетрехкубитовое «кот-состояние». Как вы помните из обсуждения «кот-состояния» в четвертой главе, два базисных состояния можно различить с помощью трехкубитовой наблюдаемой и; @и; @и~ (где и~ обозначает матрицуПаули и х• действующую на i-й кубит); мы будем использовать обозначение Х 1 Х 2 Х 3 для этого оператора. (Здесь подразумевается, что на остальные кубиты действует скрытый в этом обозначении операторСостоянияIO)и11)1010 ...
@1.)являются собственными векторами оператора Х 1 Х 2 Х 3с собственными значениями+1 и-1соответственно. Однако невозможно1Материал главы, посвященной отказоустойчивым квантовым вычислениям, до настоящего времени не опубликован. Чтобы как-то компенсировать этот пробел и познакомить читателей с основными принципами реализации отказоустойчивых квантовых вычислений, с разрешения автора в приложении предлагаются переводы двух его обзорных статей, посвященныхэтой теме.-Прим. ред.отличить\0)отii)11КВАНТОВЫЕ КОДЫ КОРРЕКЦИИ ОШИБОК7.1.(извлечь любую информацию о значении логического кубита), наблюдая любые один или два кубита из имеющихся девяти.В этом смысле, логический кубит закодирован нелокальным образом; фактически, он записан в запутанности между кубитами блока.
Это свойствонелокальности закодированной информации обеспечивает защиту от шума,если, конечно, он является локальным (то есть действует независимо, илипочти независимо, на различные кубиты в блоке).Предположим,чтои закодировано как а\0)приготовлево+ b\l).неизвестноеквантовоесостояниеПусть теперь возникла ошибка; мы должны выявить ее и уничтожить. Как нам поступить? Допустим для начала,что происходит однократное инвертирование, действующее на один из трехпервых кубитов. Тогда, как обсуждалось в первой главе, положение инвертированного кубита можно определить путем измерения двухкубитовыхоператоров(7.2)Базисные логические состоянияэтих операторов с\l) являются собственными векторамисобственным значением + 1.
Но инвертирование любого\0)ииз трех кубитов меняет эти собственные значения. Например, если= -1, аZ1Z2 =Z 2 Z 3 = 1, 1 то мы делаем вывод, что инвертирован первый кубитотносительно двух других. Мы можем исправить ошибку, еще раз инвертируя этот кубит.Важно, что наше измерение, диагностирующее инвертированный кубит, является коллективным измерением двух кубитов одновременноузнаем значениеZ1 Z2 ,-мыно не должны определять индивидуальные значенияZ 1 и Z 2 , поскольку это может повредить закодированное состояние.Как выполнить такое коллективное измерение? Фактически, его можноосуществить, располагая квантовым компьютером, способным выполнятьоперацииCNOTный в состоянии(контролируемое НЕ). Сначала мы вводим приготовлен\0)дополнительный «служебный» кубит, затем выполняемквантовую схему:=т=т=----+4++--++4+----...\0)1Вновь (см.
подстрочное примечание на с.\0)11)201 первого тома) подобные равенства следуетпонимать как символические. В данном случае, например, первое из них означает, что состояние с одним инвертированным кубитом является собственным состоянием операторас собственным значением-1.- Пpw.t.ред.Z1Z2ГЛАВА 7l2и, наконец, измеряем служебный кубит. Если кубиты1и2находятся в состоянии с z1z2 = -1 (10)111)2 или 11)110)2), то служебный кубит однократно инвертируется и результатом его измерения будет 11). Но если ку=биты 1 и 2 находятся в состоянии с Z 1 Z 2+1 (10) 1 10) 2 или 11) 1 11) 2 ), тослужебный кубит останется неизменным или инвертируется дважды, а результатом измерения будетАналогично, можно выполнить измерениеIO).и операторов других двухкубитовых наблюдаемых(7.3)чтобы диагностировать ошибки инвертирования кубита в двух других кластерах из трех кубитов.Трехкубитового кода достаточно для защиты от однократного инвертирования бита. Для защиты от фазовых ошибок требуется троекратное повторение трехкубитовых кластеров.
Предположим, что возникает фазоваяошибка11/J)-tZI?/J)'(7.4)действующая на один из девяти кубитов. Мы можем определить, в какомиз кластеров она возникла, измерив две шестикубитовые наблюдаемые(7.5)Оба базисных логических состояния IО)и II) являются собственными векторами этих операторов с собственным значением одной из этих наблюдаемых(±1).Фазовая ошибка, действующая на любой один из кубитовв векотором кластере, изменит в нем значение ХХХ относительно двухдругих кластеров; положение этого изменения можно определить путем измерения наблюдаемых(7.5).Как только поврежденный кластер определен,ошибку можно исправить, применяяZк одному из кубитов этого кластера.Как измерить шестикубитоную наблюдаемую Х 1 Х 2 Х 3 Х 4 Х 5 Х 6 ? Заметим, что если начальным состоянием управляющего кубита является ~ ( 1О) + 11)), а управляемым кубитом является собственное состояние Х(то естьNOT),CNOT:то вентильCNOT~(IO) + 11)) ® lx)действует в соответствии с правилом->~(IO) + (-1)xll)) ® lx);(7.6)он действует тривиально, если управляемое состояние соответствует собственному значению Х =+1(х=0),и обращает фазу управляющего7.1.13КВАНТОВЫЕ КОДЫ КОРРЕКЦИИ ОШИБОКкубита, если управляемому соответствует собственное значение Х(х =1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
