В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра, страница 59

В следующем пункте мы дадим некоторую классификацию представлений, опираясь на специальный вид матриц. 3. Приводимые и неприводимые представления. В этом пункте мы обсудим вопрос о том, при каких условиях данное представление О(С), заданное в пространстве Е", индуцирует в подпространстве Е' этого пространства представление Р(С). Этот вопрос тесно связан с вопросом об описании данного представления с помогцью более простых представлений, которые имеют меньшую размерность, чем заданное. С решением поставленного вопроса тесно связано понятие инвариантного подпространства линейного преобразования (линейного оператора). Напомним, что подпространство Е' называется инвариантным подпространством линейного оператора А, если для каждого элемента х из Е' элемент Ах принадлежит Е' (см.

93 гл.б). Иными словами, подпространство Е' инвариантно, если действие оператора А на элементы этого подпространства не выводит их из этого подпространства. Отметим, что само пространство Е" и нулевой элемент пространства являются инвариантными подпространствами любого линейного оператора. Можно ввести понятие инвариантного подпространства для представления Р(С).

Именно, подпространство Е' называется инвариантным для представления Р(С), если оно инвариантно для всякого оператора из О(С). Очевидно, что на инвариантном подпространстве представления О(С) индуцируется некоторое представление Р (С).

Следует отметить, что представление Р (С) не сводится к представлению Р(С), если инвариантное подпространство Е' не совпадает с Е". 269 пРедстлвления ГРупп Поясним теперь понятие приводимого представления. Пусть, например, все матрицы некоторого трехмерного представления Р(С) имеют вид < А: А ! ' г аи агз агз (9.30) О: Аг '0 0 где Аг, Аз, Аз н О соответственно обозначают матрицы ('" '"), <"'), ( зз), (0,0). Легко проверить, что произведение матриц вида (9.30) подчиняется т.е. произведение матриц вида (9.30) есть матрица вида (9.30). Более того, при умножении матриц этого вида изолированно перемножаются матрицы Аг и А~~' и матрицы А~ и Агз'.

Таким образом, мы видим, что матрица А~ = ( г) образует Уа~ ~ аиЛ (,аз~ агз) двумерное представление рассматриваемой группы, а матрица Аг = = (агз) образует одномерное представление этой же группы. В таких случаях говорят, что представление Р(С) приводимо. Если все матрицы (речь идет о квадратных матрицах порядка и) операторов представления имеют вид (9.31) где Аг и Аз — квадратные матрицы, вообще говоря, разных порядков, то ясно, что матрицы Аг и Аа образуют представления, сумма размерностей которых равна п. В этом случае представление называется вполне приводимым.

Отметим, что операторы, матрицы которых имеют вид (9.31), фактически редуцируются к двум операторам, действующим независимо в двух инвариантных подпространствах. Заметим также, что представление, индуцируемое на ннвариантном подпространстве данным представлением Р(С), называется частью представления Р(С). В заключение этого пункта сформулируем понятие неприводимого представления. Представление Р(С) группы С называется неприводимым, если у этого представления сугг1ествуют лишь два инвариантных надпространства: Е" и О. В противном случае представление называется приводимым. Роль неприводимых представлений заключается в том, что любое представление может быть выражено через неприводимые.

(гл. 9 270 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП 4. Характеры. В теории представлений групп, и в особенности в теории представлений конечных групп, полезную роль играют инварианты линейных преобразований, образующих представление. Важность инвариантов ясна еще и потому, что они не зависят от выбора базиса представления и поэтому в определенном смысле характеризуют представление. Пусть Р(С) — п-мерное представление группы С и Р,'(д') матрица оператора, отвечающего элементу у из С. Характером элемента у я С в представлении Р(С) называется число Х(Ю) = 1Г Р,*.

(К) = Р,'(К) + рзв(у) + ... + Р„"'(И). Таким образом, характер элемента у есть след матрицы оператора Р(у). Так как след матрицы линейного оператора представляет собой инвариант (см. п.З з 2 гл. 5), то характер любого элемента не зависит от базиса представления и поэтому является инвариантом. Итак, каждому элементу д. е С представления Р(С) отвечает число — характер этого элемента. Поскольку у различных элементов могут быть одинаковые характеры, то следует выяснить вопрос о том, каким элементам группы отвечают одинаковые характеры.

Для решения этого вопроса введем понятие сопряженных элементов и классов сопряженных элементов в данной группе С. Элемент Ь Е С называется сопряженным элементу а б С, если суГцествует такой элемент и Е С, что иаи = Ь. — ! (9.32) Отметим следующие свойства сопряженных элементов. 1) Каждый элемент а сопряжен самому себе. Действительно, если е — единица группы, то, очевидно, справедливо соотношение еае = а, которое н означает, что а — элемент, сопряженный а. 2) Если элемент Ь сопряжен элементу а, то элемент а сопряжен элементу Ь. Это свойство сразу же вытекает из (9.32).

Действительно, умножая обе части (9.32) слева на и ' и справа на и, получим и 'Ьи = = а. Замечая, что обратным элементом для элемента и ' является элемент и, мы убедимся в справедливости сформулированного свойства. 3) Если Ь вЂ” сопряженнГяй элемент для а и с — сопряженный элемент для Ь, то с — сопряженный элемент для а. Действительно, так как с = РЬь ' и 6 = иаи 1, то, очевидно, (9.33) с=опии о Так как обратным элементом для элемента ои является элемент и 'о ', то из (9.33) следует, что элемент с сопряжен элементу а.

Объединим в один класс все те элементы группы, которые сопряжены данному элементу а. Таким образом, согласно свойству 3), каждый йз) 27! пРедстлвления ГРупп элемент класса сопряжен любому элементу этого класса. Очевидно, два таких класса либо совпадают, либо не имеют общих элементов. Вернемся теперь к представлениям групп. Пусть о, и Ь вЂ” сопряженные элементы, т.е.

справедливо соотношение (9.32): Ь=иаи Обратимся к операторам 0(а), О(Ь), 0(и) и Р(и '). Согласно определению представления группы оператор 0(и ') является обратным для оператора 0(и), т.е. Р(и ') = (Р(и)) Обращаясь опять к определению представления, получим, согласно (9.32), соотношение О(Ь) = Р(и) Р(а) (Р(и)) Перейдем теперь к матрицам операторов, фигурирующих в последнем соотношении. Мы видим, что матрицу оператора 0(Ь) можно рассматривать как матрицу оператора Р(а) при переходе к новому базису с матрицей перехода О(и) (см.

и. 2 9 2 гл. 5). Поскольку при таких преобразованиях след матрицы инвариантен и по определению равен характеру элемента,мы можем заключить, что д(а) = ~(Ь). Итак, характеры всех элементов, принадлежащих одному классу сопряженных элементов, равны друг другу. Очевидно также, что характер!я элементов для эквивалентных представлений совпадают. Понятие характера в теории представлений используется обычно следующим образом. Пусть данная группа С может быть разбита на конечное число различных классов сопряженных элементов К!, Кш ..., К„. Тогда каждому элементу класса К, в данном представлении Р(С) (и в любом эквивалентном ему представлении) отвечает один н тот же характер эг!.

Поэтому представление Р(С) можно описать с помощью набора характеров У!, Уш ..., 7Г„, который можно рассматривать как координаты вектора в евклидовом пространстве размерности и. Таким образом, различным представлениям будут отвечать различные векторы. Указанный геометрический подход позволяет во многих случаях решать важные вопросы теории представлений групп. 5. Примеры представлений групп. П р и м е р 1. Пусть С вЂ” группа симметрии трехмерного пространства, состоящая из двух элементов: тождественного преобразования 1 (единица группы) и отражения Р относительно начала координат.

Таким образом, С = (1, Р). Умножение элементов группы задается следующей таблицей: (9 34) 1) Одномерное представление группы С. Выберем в пространстве гу! базис е! и рассмотрим матрицу А!'! линейного невырожденного преобразования А!'1 в этом пространстве: А!'! = (1). Очевидно, (гл.

9 2?2 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП преобразование А<О образует подгруппу в группе СЕ(1) линейных преобразований пространства Е', причем умножение в этой подгруппе задается таблицей А<п А< < А<П Очевидно, что мы получим одномерное представление Р<'!(С) группы С с помощью соотношений Р<О (1) = А<'1, Р<П (Р) = А<'! (эти соотношения задают гомоморфизм группы С в СЕ(1), а следовательно и ее представление). 2) Двумерное представление группы С.

Выберем в Еа какой-либо базис е<, ев и рассмотрим в этом базисе матрицы А<э< и В<э< линейных невырожденных преобразований А<з1 и В<э!: А<э< (! О) В<э< ~О Г~ (так как с1е< А<э! = 1 и с1е< В<э! = — 1, то А<а! и В<э! — невырожденные преобразования). Преобразования А<э< и В<э< образуют подгруппу в группе СЬ(2).

Непосредственной проверкой (путем перемножения матриц А<э< и В<э~) убеждаемся, что умножение операторов А<э< и В<э! задается таблицей (9 35) Мы получим двумерное представление Р<ГО(С) группы С с помощью соотношений р<з< (т) А<э) Р<з! (Р) В<э! (9.36) Действительно, сравнивая таблицы (9.34) и (9.35), мы видим, что (9.36) определяет изоморфизм группы С на подгруппу (А<э<, В<э<) группы СЬ(2), а следовательно и представление этой группы. 3) Трехмерное представление группы С. Рассмотрим в Ез линейное преобразование А<а!, задаваемое матрицей А<э<= О 1 О Это преобразование образует подгруппу в группе СЕ(3) с законом умножения А<а! АОО = А<э<. Как и в случае одномерного представления, мы получаем трехмерное представление Р<з! (С) с помощью соотношений: Р<з! (1) = А<э<, Р<~< (Р) = А<э<.

пРедстлвления ГРупп 273 4) Четырехмерное представление группы С. Рассмотрим в 474 линейные преобразования А!41 и В!41, задаваемые матрицами 1 0: 0 0 0 1: 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 00:!000:01 0 0: 0 1 00'1О Преобразования Аый и В14> образуют подгруппу в группе Сй(4) с законом умножения, задаваемым таблицей, аналогичной таблице (9.35) (с заменой индекса 2 на индекс 4). Очевидно, что мы получаем четырехмерное представление 0<41(С) группы С с помощью р141 (1) А!41 р141 (р) В!41 Замечание.

Нетрудно видеть, что матрицы А!41 и В!41 можно записать в виде 10 А11 0,10 Поэтому представление В!~1 (С) можно условно записать в виде 0141(С) = Р1з1(С) + Р4з1 (С) = 204з1(С). Совершенно аналогично можно условно записать Р1з1 (С) в виде Р1з1(С) = ЗР1'1(С). Используя это замечание, читатель без труда построит представление группы С любой конечной размерности. Пример 2. В п.5 32 этой главы мы доказали, что только что рассмотренная группа симметрии С = (1, Р) трехмерного пространства представляет собой нормальный делитель группы 0(3) (группа ортогональных преобразований пространства Ез).

В том же пункте мы доказали, что подгруппа ЯО(3) собственных ортогональных преобразований группы 0(3) изоморфна фактор-группе группы 0(3) по нормальному делителю (1, Р). Так как группа гомоморфно отображается на каждую свою фактор- группу, то 0(3) гомоморфно отображается на группу ЯО(3). Как мы видели в п.5 э" 3 этой главы, указанный гомоморфизм осуществляется следующил4 образом. Если а — собственное преобразование из О(3), то ему из ЯО(3) ставится в соответствие это же самое преобразование.