В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра, страница 57

Отметим следующее важное свойство ортогональных преобразований. Теорема 9.9. Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства !У с обычной операцией умножения линейных преобразований образует группу, называемую ортогональной группой и обозначаемую символом 0(п). Доказательство. Достаточно доказать, что произведение ортогональных преобразований представляет собой ортогональное преобразование. Существование обратного преобразования (обратного элемента) для данного ортогонального преобразования доказано в теореме 5.36 (см.

также только что сделанное замечание). Итак, пусть Р| и Рз — ортогональные преобразования. Рассмотрим произведение Р1РЕ. Согласно теореме 5.36 нам достаточно доказать соотношение (Р,Р,)(Р,Р,) 1 (9.15) В п.! 95 гл.5 (см. свойство 5' сопряженных операторов) мы установили, что (Р~РЕ)* = РЕРМ Используя это соотношение и ортогональность преобразований Р1 и Рю получим (Р|РЕ)(Р1Рз) = (Р1РЕ)(РЕР1) = Р|(РЕР )Р~ — Р11Р1 — Р~Р~ — 1. Таким образом, соотношение (9.15) доказано.

Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Очевидно, ортогональная группа является подгруппой группы СА(п). Замечание 2. Значение определителя деЕР ортогонального преобразования Р удовлетворяет соотношению (с1етР)з = 1. (9.16) Таким образом, десР = х1. (9.17) Для доказательства (9.16) заметим, что для матрицы Р преобразования Р справедливо соотношение РР'=1, (9.18) 26! ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВЛНИИ где Р' — транспонированная матрица, полученная из Р перестановкой строк и столбцов, а 7 — единичная матрица. Так как де! Р = де! Р' (при перестановке строк и столбцов определитель не меняется) и де! 7 = 1, то из соотношения (9.18) следует, что (де! Р)з = 1, т.е. де! Р = з:1.

Поскольку, по определению, деФР вводится как определитель матрицы Р в любом базисе, то соотношения (9.16) и (9.17) доказаны. Соотношение (9.17) для определителя ортогонального преобразования служит основой для разделения всех таких преобразований на два класса. В первый класс мы отнесем все ортогональные преобразования, для которых десР = +1.

Эти преобразования в дальнейшем будем называть собственнаями. Во второй класс отнесем все ортогональные преобразования, для которых дегР = — 1. Такие преобразования будем называть несобственнаями. Множество всех собственных ортогональных преобразований образует группу, называемую собственной ортогональной группой. Эта группа обозначается символом ЯО(п). Можно доказать, что каждая группа $О(п) компактна.

5. Некоторые дискретные и конечные подгруппы ортогональной группы. В этом пункте мы не будем стремиться к полноте изложения. На отдельных примерах мы постараемся выяснить характеристики некоторых подгрупп ортогональной группы. Отметим, что конечные и дискретные подгруппы группы О(3) имеют важное значение в кристаллографии. 1'. Рассмотрим двумерную ортогональную группу О(2). В этой группе можно выделить дискретную подгруппу поворотов на угол Йар, Й = О,м !,м2, ...

Обозначим буквой а элемент этой подгруппы, отвечающий значению Й = +1. Тогда, очевидно, элемент аь, отвечающий повороту на угол Й1Р при Й ) 0 равен аь = а, а...а. Это соотношение можно ь раа сокращенно записать в следующей форме: аь=а, Й=!,2, Если обозначить символом а ' элемент, обратный элементу а (а ' — элемент, отвечающий повороту на угол — ьа), и единицу рассматриваемой подгруппы обозначить ао, то, очевидно, любой элемент аь при отрицательном, положительном и нулевом значении Й можно записать в виде аь=а, Й=0,~1,~2, (9.19) Группы, элементы аь которых могут быть представлены в виде (9.19), называются циклическими.

Очевидно, что циклические группы являются дискретными. Отметим два типа циклических подгрупп поворотов: (гл. 9 262 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП !) если ЗР Ф 2кр/д, где р и у — целые числа (т. е. угол несоизмерим с к), то все элементы аь различны; 2) если !а = 2кр/у, где р и д взаимно простые числа, то справедливо соотношение аь+ч — — аь, т.е. ач = ао. Группы, для которых выполняется последнее соотношение, называются циклическими группами порядка у. 2'. Обратимся теперь к так называемым подгруппам зеркальной симметрии. Каждая подгруппа зеркальной симметрии состоит из двух элементов: единица (тождественное преобразование) и отражение либо относительно какой-либо плоскости, либо относительно начала координат. Убедиться в том, что тождественное преобразование и отражение образуют группу, весьма просто — достаточно заметить, что два последовательных отражения дают тождественное преобразование (см.

пример 7 П.2 9 1 этой главы). Рассмотрим, например, подгруппу (1, Р) группы 0(3), состоящую из единицы 1 и отражения Р трехмерного пространства относительно начала координат. В ортонормированием базисе матрица г". этого пре- /-! О О! образования имеет вид Р = Π— 1 ΠΠΠ— ! Так как определитель деФР = — !, то подгруппа (1, Р) является несобственной. В примере 7 п.2 91 этой главы отмечалось, что подгруппа (1, Р) изоморфна группе Ла вычетов по модулю 2. Докажем следующее утверждение. Рассматриваемая подгруппа (1, Р) представляет собой нормальный делитель группы О(3).

Нам требуется доказать, что для любого элемента а из 0(3) справедливы соотношения (9.20) а1=1а, аР=Ра (эти соотношения показывают, что левый и правый смежные классы подгруппы (1, Р) совпадают, что является признаком нормального делителя). Первое из соотношений (9.20) очевидно. Для доказательства второго соотношения воспользуемся следующими очевидными свойствами отражения Р: РР=1, РаР=а, оЕО(3).

Умножая соотношение РаР слева на Р и пользуясь равенством РР = 1, получим второе соотношение (9.29). Докажем теперь следующее утверждение. Подгруппа 90(3) собственных ортогональным преобразований группгя О(3) изоморфна фактор-группе группы О(3) по нормальному делителю (1, Р). Дока з а тел ь ство. Смежный класс элемента а е ЯО(3) по подгруппе (1, Р) имеет вид (а, Ра), причем Ра — несобственное преоб- 263 ГРУППЫ ПРЕОБРХЗОВЛНИй разование (произведение собственного преобразования а и несобственного преобразования Р дает несобственное преобразование).

Если а' — несобственное преобразование, то смежный класс (а', Ра') приводится к виду (а, Ра), где а = Ра' — собственное преобразование и Ра = Р(Ра') = (РР)а' = а'. Таким образом, фактор-группа 0(ЗД1, Р)) состоит из смежных классов вида (а, Ра), где а — собственное преобразование. Очевидно, что соответствие а с-~ (а, Ра) есть изоморфизм между группами ЯО(3) и 0(3)1(1, Р). Утверждение доказано, 6. Группа Лоренца. В п. ! 34 гл.8 мы ввели понятие псевдо- евклидова пространства ЕР р т.е.

линейного пространства, в ко! Ур тором задано скалярное произведение (х, у), равное невырожденной симметричной билинейной форме А(х, у), полярной знакопеременной квадратичной форме А(х,х): (х, у) = А(х, у). (9.2 !) В п.2 34 гл. 8 было отмечено, что в так называемой галилеевой системе координат квадрат интервала (9.22) в (х) = (х, х) (так обычно называется квадрат длины вектора х с координатами (ж1, хш ..., л„)) имеет вид и в (х) = 2 л; — 2 л,. (9.23) г=рж1 Введем понятие преобразования Лоренца псевдоевклидова пространства Е" !Р чу Определение.

Линейное преобразование Р псевдоевклидова пространства Е" называется преобразованием Лоренца, если для лю- Ь,в! бых х и у нз Еп справедливо соотношение Ь ч! (Рх, Ру) = (х, у), (9.24) где (х, у) — скалярное произведение, определенное соотношением (9.2!). Равенство (9.24) называется условием лоренцовости преобразования.

Отметим, что при преобразовании Лоренца сохраняется квадрат интервала ва(х), определенный соотношением (9.22) (или (9.23)). Так же, как в п.4 этого параграфа, можно доказать, что определитель де! Р преобразования Лоренца отличен от нуля, и поэтому для каждого преобразования Лоренца Р существует обратное преобразование Р Кроме того, по самому смыслу определения преобразования Лоренца, произведение таких преобразований дает в результате преобразование Лоренца.

Таким образом, справедливо следующее утверждение. (гл. 9 264 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП Множество всех преобразований Лоренца псевдоевклидова пространства Е" с обычной операцией умножения линейных ире(Рхй образований (линейньях операторов) образует группу, называемую общей группой Лоренца псевдоевклидова пространства Е" и обо'(в ч( значаемую символом Е(п; р, у). Мы выделим специальный класс псевдоевклидовых пространств Е(", „О (сюда включается интересное с физической точки зрения пространство Е(,.

). Группа Лоренца для пространств Е(", „ О обозначается через ! (и). В и. ! 94 гл. 8 (формула (8.69)) было введено понятие длины а(х) вектора х, которая вычисляется по формуле О(Х) = (51ЯП 8 (Х))ф8 (Х)(. С помощью этой формулы все ненулевые векторы псевдоевклидова пространства разделяются на временииодобные (а(х) ) 0), пространственноподобнгяе (о(х) < 0) и изотропные (о(х) = 0). Было доказано, что множество концов времениподобных (пространственноподобных, изотропных) векторов, начала которых совпадают с произвольной фиксированной точкой, образует конус Т (конус пространственноподобных векторов обозначается буквой Е).

Конус Т по соглашению ') разделяется на две связные компоненты Тт и Т (конус будущего и конус прошлого) так, что каждая из этих компонент вместе с вектором х содержит любой вектор Лх, где Л ) О. Описанное разделение векторов в псевдоевклидовом пространстве дает возможность выделить из группы Лоренца Ь(п) некоторые подгруппы. Именно, подгруппа группы Ь(п), преобразования которой переводят любой времениподобный вектор снова во времениподобный вектор, называется полной группой Лоренца.