В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра, страница 55

В случае, если С является подмножеством С, для гомоморфизма (9.5) употребляется наименование эндоморфизм. Замечание, Если задано гомоморфное отображение (гомоморфизм) группы С на множество С, то все элементы группы разбиваются на непересекающиеся классы: в один класс объединяются все те элементы С, которые отображаются в один и тот же элемент множества С. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 9.4. Гомоморфний образ группы является группой, Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть а, Ь, с, ... — элементы гомоморфного образа С группы С при гомоморфизме Г. Это означает, что в группе С можно указать такие элементы а, Ь, с, ..., что а = у(а), Ь = Г(Ь), с= у(с),... Тогда в множестве С умножение элементов согласовано с правилом (9.6). Проверим, что эта операция умножения удовлетворяет требованиям 1', 2' и 3' определения 2 группы (см. и. 2 этого параграфа). !'.

Ассоциативность умножения. Составим два произведения а(Ьс) и (аЬ)с. Согласно правилу (9.6) имеем а(Ьс) = у'(а) ®Ь) у" (с)) = у"(а) г'(Ьс) = г'(аЬс), (аЬ)с = (1(а) у(Ь)) у(с) = ) (аЬ) у(с) = у(або). Сопоставляя эти соотношения, получим а(Ьс) = (аЬ)с. Следовательно, ассоциативность умножения элементов выполняется. 2'. Существование гдинииьд Обозначим символом е элемент Г'(е), где е — единица группы С: г = 1(е). Для любого элемента а множества С имеем, согласно правилу (9.6), ае = у(а) у(е) = у(ае) = у(а) = а. ') Под отображением у группы С иа множество С понимается такое соответствие между элементами множеств С и С, при котором каждому элементу а Е С ставится в соответствие лишь один элемент а Е С и каждый элемент а Е С является образом по крайней мере одного элемента нз С. Символически отображение С на С записывается с помощью соотношения (9.5)).

(гл. 9 254 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП Следовательно, элемент е действительно играет роль единицы. 3'. Существование обратного элемента. Обозначим символом а ' элемент )'(а '), где а ' — обратный элемент для элемента а в группе С. Имеем, согласно (9.б), аа ' = т(а) у(а ') = т(аа ') = у(е) = е. Следовательно, элемент а ' играет роль обратного элемента для элемента а,. Итак, для операции умножения элементов С выполнены требования 1', 2; 3' определения 2 группы.

Поэтому С вЂ” группа. Теорема доказана. Пусть Н вЂ” нормальный делитель группы С. Определим следующее отображение у группы С на множество С смежных классов по нормальному делителю Н: если а принадлежит С, то этому элементу поставим в соответствие тот класс смежности, которому принадлежит указанный элемент. Согласно свойству 3' смежных классов (см. предыдущий пункт) каждому элементу группы С при таком отображении отвечает только один класс, т.е.

налицо действительно отображение Т" группы С на множество классов смежности по нормальному делителю Н. Докажем следующую теорему. Теорема 9.5. Указанное выше отображение у' группы С на смежнгве классьг по нормальному делителю Н, при определении умножения классов смежности как подмножеств группы С, представляет собой гомоморфизм. Доказательство. В конце предыдущего пункта мы доказали утверждение о том, что если аН и ЬН вЂ” смежные классы, то произведение аНЬН этих классов как подмножеств С есть смежный класс (аЬ)Н. Следовательно, с помощью рассматриваемого отображения т произведению элементов аЬ ставится в соответствие смежный класс (аЬ)Н, равный произведению смежных классов аН и ЬН. Поэтому у' — гомоморфизм.

Теорема доказана. Следствие. Множество смежнгях классов группы С по нормальному делителю Н с операцией умножения этих классов как подмножеств С образует группу. Эта группа называется фактор-группой группы С по нормальному делителю Н и обозначается символом С/Н. Справедливость следствия вытекает из теоремы 9.4. Замечание. Очевидно, отображение Т" группы С на множество смежных классов по нормальному делителю Н представляет собой гомоморфизм этой группы на фактор-группу СУН. Рассмотрим следующий пример. Пусть Н" — и-мерное линейное координатное пространство, которое, как отмечалось в примере 3 п.2 этого параграфа, является абелевой (т.е. коммутативной) группой относительно сложения элементов (напомним, что точками х этого пространства являются упорядоченные совокупности из и вещественных чисел (хп .,., л„), причем сложение элементов (хп ..., х„) и (уи ..., у„) производится по правилу (а~ + уы ..., х„+ у„)).

255 ОСНОВНЫЕ СВОИСтви ГРУПП По определению прямого произведения, Й" представляет собой прямое произведение одномерных пространств: и 1 1 1 Й =Й(1(ХЙ х...хЙ(„!. Так как, например, Й1и представляет собой абелеву подгруппу, то, очевидно, Й( — нормальный делитель группы Й". Смежным (и! классом элемента а из Й" служит прямая, проходящая через точку а параллельно прямой Й'„, а фактор-группа Й",(Й'„! изоморфна (п — !)-мерному подпространству Й" Й" ' = Й(11 ! х Й(12! х ... х Й(1и 1р (9.7) Отметим, что обозначение фактор-группы Й",(Й'„! Определенным образом объясняется с помощью соотношения Й" (Й( ! — — Й(Л х Й(з! х ... х Й( (,(Й( ! — — Й(,! х Й(з! х ...

х Й( (9.8) которое следует из (9.7). Отметим, что в формуле (9,8) последний знак равенства нужно рассматривать как нзоморфизм между соответствующими группами. Мы доказали, что по нормальному делителю Н определяется гомоморфизм группы С на фактор-группу С(Н. Справедливо обратное утверждение: если задан гомоморфизм группы С на множество С, то по этому гомоморфизму определяется такой нормальный делитель Н, что группа С ') и фактор-группа С(Н изоморфны. Докажем две теоремы, относящиеся к этому утверждению. Теорема 9.6. Лусть 7" — гомоморфизм группы С на С, и пусть Н вЂ” множество тех элементов группы С, которые при гомоморфизме Г отображаются в элемент 7"(е), где е — единица группы С. Тогда Н вЂ” нормальный делитель группы С.

Доказательство. Достаточно доказать, что Н подгруппа гругщы С и каждый левый смежный класс по этой подгруппе является одновременно и правым смежным классом. Убедимся, во-первых, что Н вЂ” подгруппа группы С. Для этого следует доказать, что если а С Н и Ь Е Н, то аЬ е Н, а также что если абН,тона 'ЕН. (!усть а С Н и Ь С Н. Так как Г" — гомоморфизм, то 7(аЬ) = = ((а) ((Ь) = Г(е) 7(е). По 7" (е) играет роль единицы в группе С (см.

теорему 9.4). Поэтому 7(е)7(е) = 7(е), т. е. 7(аЬ) = 7(е). Следовательно, а6 Е Н. Далее пусть а е Н, т.е. 7" (а) = 7"(е~. Тогда если а ' -- обратный элемент для а, то аа ' = е, т.е. аа 6 Н. Так как 7 — гомоморфизм, то 7(е) = 7(аа ) = 7(а) )(а 1) = 7(е) 7(а ) = 7(а ). Поэтому 7(а ) = Г(е) и, следовательно, а Е Н. ') Согласно теореме 9.4 гомоморфный образ группы представляет собой группу. (гл. 9 255 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП Докажем теперь, что каждый левый смежный класс является одновременно и правым смежным классом.

Пусть а произвольный элемент группы С. Докажем, что множество А элементов группы С, отображающихся при гомоморфизме 7 в элемент Г'(а), есть одновременно левый и правый смежные классы аН и На. Этим и будет завершено доказательство теоремы. Пусть а' е А. Рассмотрим уравнение ') (9.9) ах = и. Так как 7" — гомоморфизм и 7'(а') = Г"(а), то из этого уравнения получаем Г(ах) = Г(а) Г(х) = 7(а') = Г(а), т. е, 7(х) = Г'(е).

Поэтому х е Н. Гто тогда, соглзсно (9.9), а' = ах, т. е. и' е аН. Обращаясь далее к уравнению ха = а' и проводя аналогичные рассуждения, мы убедимся, что х е Н. По тогда а' = ха, т. е. а' е На. Таким образом, А = аН = На. Теорема доказана. Теорема 9.7 (теорема о гомоморфизмах групп). Пусть 7 — гомоморфизм группы С на С и Н вЂ” тот нормальный делитель группы С, элементам которого соответствует при гомоморфизме Г единица группы С з) . Тогда группа С и фактор-группа С/Н изоморфны.

Доказательство. Установим взаимно однозначное соответствие между элементами группы С и смежными классами по нормальному делителю Н: элементу а группы С поставим в соответствие тот смежный класс, который с помощью 7" отображается в а. Очевидно, что это соответствие взаимно однозначно, ибо, согласно свойству 3' смежных классов (см. и. 4 этого параграфа), эти классы не пересекаются. Если определить умножение этих классов как подмножеств группы С и воспользоваться утверждением, доказанным в конце предыдущего пункта, то легко видеть, что установленное только что взаимно однозначное соответствие есть изоморфизм.