В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра, страница 58

Для нее используешься обозначение Ет(п). Выделяется еще одна подгруппа группы Е(и). В эту подгруппу входят преобразования, определитель матрицы которых положителен. Эта подгруппа обозначается Б+ (и) и называется собственнои группой Лоренца. Собственные преобразования Лоренца, которые принадлежат подгруппе ЬТ (и), также образуют подгруппу. Ее часто назГявают группой Лоренца и обозначают символом I Т (и). В заключение этого пункта мы отметим, что галуппи Лоренца, в отличие от ортогональных групп, некомпактны ).

') В п.2 й4 гл.8 для пространства Минковского Е~(ез( указано, как разделяется конус Т на связные компоненты Т и Т , и дается физическая интерпретация этих компонент ) В п.З этого параграфа было введено понятие сходимости элементов в группу Сй(и) в и-мерном евклидовом пространстве и связанное с понятием сходимости понятие компактной группы. й2) 265 ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИН Для примера докажем некомпактность группы Лэ (2). В п.З 24 гл.8 мы полностью описали эту группу. Напомним, что если в Е(1, введена система координат (л, р) так, что квадрат интервала задается формулой а = х — р (9.25) то преобразования Лоренца из группы Ьэ (2) пространства Е~, 6 задаются формулами ' в, (9.26) у!-У' Рассмотрим в плоскости (м, у) вектор х с координатами (О, 1). По формуле (9.26) этот вектор перейдет в вектор хз с координатами г1- Ф 7! -У Обратимся теперь к последовательности преобразований Лоренца (9.26), определяемой значениями Д„из соотношения ! — П~ = —, п=1,2, ...

Согласно (9.27) и (9.28) вектор х перейдет при действии указанной последовательности преобразований Лоренца в следующую последовательность векторов (х„) с координатами и.- ~3а у! лэ (9.28) ( — и — 1, ). (9.29) Таким образом, из бесконечной последовательности преобразований Лоренца в группе Гз(2), определенной соотношениями (9.26), для значений )э из равенств (9.28) нельзя выделить сходящуюся последовательность (напомним, что последовательность элементов А„ группы называется сходящейся к элементу А, если для любого х последовательность (А„х) сходится к Ах), ибо последовательность (9.29) неограниченная. Геометрическая иллюстрация некомпактности группы Г,т(2) заключается в следующем. Со1ласно (9.25) окружность единичного радиуса в псевдоевклидовой плоскости будет гиперболой лз — уа = 1, являющейся некомпактным множеством.

При действии рассмотренной выше последова- Этн понятия легко переносятся на случай группы в произвольном конечномерном линейном пространстве К Сначала вводится понятие сходимости точек в 1У (например, можно выбрать в 1У систему координат и рассматривать сходимость последовательности векторов (х ) как схадимость последовательностей координат этих векторов).

Г1осле этого в полной аналогии с определением сходимости в случае группь1 сэй(п) в евклидовом пространстве вводится понятие сходимости в группе, заданной в линейном пространстве, и определяется понятие компактной группы в таком пространстве. (гл. 9 26б ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП тельности преобразований из группы 1.Т(2) заданная точка на этой окружности преобразуется в бесконечно большую последовательность точек на указанной выше гиперболе, а из бесконечно большой последовательности точек нельзя выделить сходящуюся последовательность.

7. Унитарные группы. В этом пункте мы обратимся к комплексному линейному пространству. В полной аналогии с п.2 этого параграфа можно рассматривать группы линейных преобразований такого пространства. Так как комплексное число определяется двумя вещественными числами (действительной и мнимой частью), то полная линейная группа СТ,(п) преобразований и-мерного комплексного линейного пространства изоморфна полной линейной группе преобразований вещественного 2п-мерного пространства СТ,(2п) (вместо этого символа часто пишут С! (2гь, й), подчеркивая тем самым, что речь идет о группе преобразований вещественного пространства).

В полной линейной группе преобразований комплексного евклидова пространства по аналогии с вещественным евклидовым пространством рассматриваются так называемые унитарные группы 77 (и), являющиеся аналогом ортогональных групп (напомним, что в 97 гл. 5 унитарные преобразования (унитарные операторы) определялись как линейные преобразования, сохраняющие скалярное произведение; таким же образом в вещественном случае определялись и ортогональные преобразования).

Как и в вещественном случае, в группе ст(и) унитарных преобразований выделяется подгруппа аргу(п), для которой определители унитарных преобразований равны единице. ф 3. Представления групп В предыдущем параграфе мы рассматривали группы линейных преобразований линейного пространства. Таким образом, линейные преобразования исследовались с точки зрения их групповых свойств. При этом не игнорируются геометрические и другие свойства линейных преобразований. В этом параграфе нас будет интересовать в определенном смысле обратный вопрос — в какой мере свойства абстрактно заданной группы могут быть охарактеризованы посредством групп линейных преобразований. Один из способов решения этого вопроса заключается в гомоморфном (и в частности, изоморфном) отображении абстрактной группы на подгруппу (или на всю группу) линейных преобразований.

Таким образом, возникает понятие представления данной группы с помощью подгруппы группы линейных преобразований ') . Изучение различных представлений данной группы позволяет выявить важные свойства группы, нужные для различных приложений. ') Конечно, можно рассматривать н более общий вопрос о представлении данной группы путем отображения ее на какую-либо группу преобразований. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП 267 Во многих разделах физики (кристаллография, теория относительности, квантовая механика и т.д.) требуется построение представлений различных групп (конечных и дискретных подгрупп группы С((3), групп 0(3), ( (3), (( (3), И( (3) и т.

д.). Эти построения выходят далеко за рамки начальных понятий теории групп и не могут рассматриваться в данном руководстве. Мы ограничимся некоторыми понятиями, используемыми в теории представлений, и примерами. 1. Линейные представления групп. Терминология. Определение. Линейным предсгпавлением группы С в конечно- мерном евклндовом пространстве Е" называется такое отображение Г', посредством которого каждому элементу а этой группы ставится в соответствие линейное преобразование Т, пространства Е" так, что для любых а| и аз из С выполняется соотношение Т1„„1 = Т, Т„,.

Таким образом, линейное представление группы С в коиечномерном евклидовом пространстве Е™ есть гомоморфизм этой группы на некоторое подмножество линейных преобразований этого пространства. Используется следующая терминология: пространство Е" называется пространством представления, размерность и этого пространства называется размерностью представления, базис в пространстве Е" называется базисом представления. Заметим, что гомоморфный образ ((С) группы С также называется представлением этой группы в пространстве представлений.

В дальнейшем для краткости и-мерные линейные представления группы мы будем называть просто представлениями этой группы. Для обозначения представления группы С используется символ Р(С); различные представления данной группы отмечаются индексом (например, Р1"1(С)). Символом Р1"1(у) будем обозначать линейное преобразование (линейный оператор), отвечающее элементу у е С в представлении Рбй(С). Тривиальным представлением группы С называется гомоморфное отображение С в единичный элемент группы С((п). Если отображение Г группы С на подгруппу СЬ(п) является изоморфизмом, то представление называется точным.

Очевидно, что не у всякой группы есть точное п-мерное представление для заданного п. Например, у группы О(10), конечно, не может быть точного одномерного представления (это следует, в частности, из того, что группа О(1) абелева, а группа 0(10) — не абелева). Отметим, что при гомоморфном отображении ( группы С в СЕ(п) получающееся представление группы изоморфно фактор-группе С(кегп (', где кегп ( — так называемое ядро гомоморфизма (', т.

е. то множество элементов С, которое при гомоморфизме Г отображается в единицу группы С(,(п). 2. Матрицы линейных представлений. Эквивалентные представления. Рассмотрим представление Р1Р1(С) группы С. В этом представлении каждому элементу у из С отвечает линейное преобра- (гл. 9 268 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП зование Р~"~ (8.). Матрицу этого линейного преобразования в базисе представления Р~Р~ (С) мы будем обозначать О~и~,'(8) или О„~ (8.). В зависимости от выбора базиса в пространстве представлений будет меняться и матрица Р,~~ (8.), отвечающая элементу а.

Естественно поэтому возникает вопрос об эквивалентньгх представлениях группы в одном и том же пространстве. Сформулируем определение эквивалентности представлений. Определение. Представления Р'т~ (С) и Р~нд (С) группы С в одном н том же пространстве Е" называются эквивалентными, если существует такое невырожденное линейное преобразование С пространства Е", что для каждого элемента а е С справедливо соотношение Рбч~ (8.) = С 'О~"'-'~ (д) С. Понятие эквивалентности играет важную роль в теории представлений, главным образом в перечислении и классификации представлений. Выбор базиса в пространстве представлений важен еще и потому, что в каком-либо базисе матрицы, отвечаюгцие элементам группы, могут иметь стандартный, достаточно простой вид, который позволяет сделать важные заключения об исследуемом представлении.