12-13 (Лунёва), страница 2

Т.е. частоты всех трёх волн одинаковые. Обозначим эту частоту .Теперь зафиксируем какой-то момент времени t0. Тогда в любой точке границы (для любого значения x) выполняется равенство:E01 X cos    k1 X x   t0  1   E03 X cos    k3 X x   t0  3    E02 X cos    k2 X x   t0  2   .Так как величина x является параметром, то волновые числа k1X, k2X, k3X будут являться аналогом угловой скорости вращения векторов E01 , E02 , E03 на амплитудно-векторной диаграмме.Следовательно, равенство E01  E03  E02 возможно только в случае, когда k1X = k2X = k3X.ИзH1n1n2k1Y1 3H3Z=следуетk2Xk1 sin 1  k2 sin  2 .

Т.к. k1 k3E1k1X1 n1nи k2  2  2 ,v1cv2cто угол падения и угол преломления связаны соотно-E3шением:n1 sin 1  n2 sin  2ZE22соотношениеXИзk1X=k3X(закон Снеллиуса).следуетk1 sin 1  k3 sin 3 . Т.к. падающая и отражённая волныраспространяются в одной среде, тоH2Zk2соотношение:k1  k3 , откуда1  3 - угол отражения равен углу падения.Найдём соотношения между величинами напря-жённостей электрического поля всех трёх волн. Предположим, что векторы напряжённостейэлектрического и магнитного полей в падающей, прошедшей и отражённой волнах в некоторый6Семестр 3.

Лекции 12-13момент времени имеют направления, указанные на рисунке. Тогда E1   E1 cos 1 ,E1 sin 1 , 0  ,E2   E2 cos  2 ,E2 sin  2 , 0  и E3   E3 cos 1 ,  E3 sin 1 , 0  .Условие E1 X  E3 X  E2 X примет вид:E01 cos 1 cos  t   k1 X x   1   E03 cos 1 cos  t   k1 X x   3   E02 cos  2 cos  t   k2 X x   2  .Из условия: 1  E1Y  E3Y    2 E2Y получаем равенство:E01 sin 1 cos  t   k1 X x   1   E03 sin 1 cos  t   k1 X x   3  2E02 sin  2 cos  t   k 2 X x   2  .1Получаем систему из двух уравнений: E01 cos 1 cos  t   k1 X x   1   E03 cos 1 cos  t   k1 X x   3   E02 cos  2 cos  t   k2 X x   2 .2EsincostkxEsincostkxEsincostkx11X10311X30222X2 011Из закона преломления: n1 sin 1  n2 sin  2 следует, что уравнения выполняются в случае нормального падения волны на границу раздела диэлектриков: 1  0 .Предположим, что 1  0 .

Первое уравнение умножаем на2sin  2 , а второе - на cos  21и, вычитая из первого уравнения второе, получаем:E01  2 sin  2 cos 1  sin 1 cos  2  cos  t   k1 X x   1   1. 2 E03  sin  2 cos 1  sin 1 cos  2  cos  t   k1 X x   3   0 1Преобразуем это уравнение  2 2 E01  sin  2 cos 1  sin 1 cos  2  cos  1   E03  sin  2 cos 1  sin 1 cos  2  cos  3   cos  t   k1 X x   1  1   E01  2 sin  2 cos 1  sin 1 cos  2  sin  1   E03  2 sin  2 cos 1  sin 1 cos  2  sin  3   sin  t   k1 X x    0 1  1В этом уравнении коэффициенты при cos  t   k1X x   и sin  t   k1X x   не зависят от времени.

Поэтому они должны быть равными нулю. РавенстваE01  2 sin  2 cos 1  sin 1 cos  2  cos  1   E03  2 sin  2 cos 1  sin 1 cos  2  cos  3   0 , и 1 1E03  2 sin  2 cos 1  sin 1 cos  2  sin  3   E01  2 sin  2 cos 1  sin 1 cos  2  sin  1   0 1 1выполняются одновременно при cos  1   cos  3  и sin  1   sin  3  .7Семестр 3.

Лекции 12-13Перепишем эти условия в виде sin  3  cos  1   cos  3  sin  1   0 и получим, чтоsin  3  1   0 , т.е. начальные фазы падающей и отражённой волн либо равны, либо отличаются друг от друга на . Поэтомуcos  1 sin  1  1 (либо 1 ). Тогда можно записать:cos  3 sin  3  2 sin  2 cos 1  sin 1 cos  2   cos  1   .E03   E01  1 2  cos  3   sin  2 cos 1  sin 1 cos  2  1Для оптически прозрачных сред:   1 , поэтому n   .

С учётом n1 sin 1  n2 sin  2 , sin 1  0можно провести некоторые преобразования и получить следующее соотношение:E03   E01tg  1   2   cos  1  .tg  1   2   cos  3  Величины амплитуд Е01 и Е03 положительные.Т.к. 1  /2 и 2  /2, то 1+2  , поэтому tg (1+2)  0.Следовательно, в случае 12  0, (т.е. когда tg (12)  0) должно бытьcos 1  1 cos 3 фаза отражённой волны отличается от фазы падающей волны на .В этом случае 1  2, поэтомуsin 1 n2  1 , т.е.

волна отражается от оптически болееsin  2 n1плотной среды.Случаю 12 < 0 соответствует отражение от оптически менее плотной среды ифаза отражённой волны совпадает с фазой падающей волны.Возможен случай, когда нет отражённой волны: Е03= 0. Это возможно либо приtg(12)=0, т.е. 1 = 2 - волна не преломляется, либо при tg(1+2)→ +, т.е.

1+2 =/2 волновые векторы преломлённого луча и отражённого луча взаимно перпендикулярны.Тогда равенство Е03=0 равносильноn2cos 1  cos  2  0 . Но  2   1 , поэтомуn12n2cos 1  sin 1 . Следовательно, если тангенс угла падения равен относительному показаn1телю преломления двух сред:tg  B n2 n21 ,n1то при отражении света от границы между ними нет волны, плоскость поляризации которой совпадает с плоскостью падения.

Этот угол называется углом Брюстера.8Семестр 3. Лекции 12-13Дальнейшее решение приводит к выражению:E02  E01 cos  1  2 cos 1 sin  2.cos   2  1  sin   2  1   cos  2  Величины амплитуд Е01 и Е02 положительные.Т.к. 1/2 и 2/2, то 1+2, поэтому sin(1+2) 0 и cos(21) 0. Следовательно, должно бытьcos  1  1 , т.е.

фазы прошедшей и падающей волн совпадают.cos  2 2) Рассмотрим случай, когда в падающей волне вектор E1   0, 0,E1  параллелен границе,а вектор H1 лежит в плоскости (XY), т.е. H1   H1 X ,H1Y , 0  . Волна поляризована в плоскости,перпендикулярной плоскости падения.Так как на границе должны выполняться условия: E1t  E3t  E2t и H1t  H 3t  H 3t , тоE3 X  E2 X и E1  E3 Z  E2 Z , H 3Z  H 2 Z и H1 X  H 3 X  H 2 X .Кроме того, на границе выполняются условия: D1n  D3n  D2 n и B1n  B3n  B2 n ,поэтому 1 E3Y   2 E2Y , 1  H1Y  H 3Y    2 H 2Y .Координаты E2X, E3X, E2Y, E3Y, H2Z, H3Z, не связаны никакими уравнениями с параметрами падающей волны.

Поэтому их можно не рассматривать, т.е. считать равными нулю. Следовательно, прошедшая и отражённая волны являются линейно-поляризованными, т.к.E2   0, 0,E2  , E3   0, 0,E3  , H 2   H 2 X ,H 2Y , 0  , H 3   H 3 X ,H 3Y , 0  .Результаты решения для этого случая сформулируем следующим образом.Законы преломления остаются прежними: 3  1 , n1 sin 1  n2 sin  2 .E03   E10sin  1   2   cos  1  sin  1   2   cos  3  Т.к.

1  /2 и 2  /2, то 1+2  , поэтому tg(1+2)  0.Следовательно, в случае 12  0, (т.е. когда sin(12)  0) должно бытьcos  1  1 - фаза отражённой волны отличается от фазы падающей волны на .cos  2 В этом случае 1  2, поэтомуsin 1 n2  1 , т.е. волна отражается от оптически болееsin  2 n1плотной среды.Случаю 12 < 0 соответствует отражение от оптически менее плотной среды ифаза отражённой волны совпадает с фазой падающей волны.9Семестр 3. Лекции 12-13E02  E10Тогда2 sin  2 cos 1  cos  1  sin   2  1   cos  2  cos  1  1 , т.е. фазы преломлённой и падающей волн - одинаковые.cos  2 В итоге, закон преломления можно сформулировать следующим образом.

Волновыевекторы всех трёх волн лежат в одной плоскости падения. Угол падения равен углу отражения, угол преломления связан с углом отражения соотношениемn1 sin 1  n2 sin  2 .Фазы падающей и прошедшей волн одинаковые. Фаза отра-пржённой волны отличается от фазы падающей волны на  приотражении от оптически более плотной среды.900Падающая волна, отражённая и преломлённая волныполяризованы одинаково. Но если волна, поляризованная вплоскости падения, падает под углом Брюстера: tg  B n2 n21 , то отражённая волна отn1сутствует.Явление полного внутреннего отражения.Из соотношения n1 sin 1  n2 sin  2 следует, что при падении света из оптически болееплотной на оптически менее плотную среду: n1 > n2 , т.е.

когда относительный показательпреломления со стороны падающего луча меньше единицы:n2 1 , существует такое значениеn1угла падения 1 , для которого угол преломления  2 равен 900.sin  ПР n2.n1Этот угол 1 называется предельным углом падения. При дальнейшем увеличении угла падения угол преломления не изменяется и остаётся равным 900. Если угол падения больше или равен предельному углу, то луч преломлённой волны направлен вдоль границы раздела. Следовательно, в этом случае волна, прошедшая во вторую среду, отсутствует (фаза отражённойволны совпадает с фазой падающей волны).

Это явление называется полным внутренним отражением.Явление полного внутреннего отражения широко применяется в науке и технике.10Семестр 3. Лекции 12-13Например, в оптоволоконных кабелях показатели преломления материалов, из которых изготовлены внутренняя и граничная области, подобраны так, чтобы свет, распространяющийсявнутри, полностью отражался от внешних границ.