11 (982534)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семестр 3. Лекции 11Лекция 11. Электромагнитные волны.Волновое уравнение для электромагнитного поля, его общее решение. Распространениеэлектромагнитных волн. Энергия и импульс электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга.Теорема Пойнтинга.Рассмотрим уравнения Максвелла в вакууме в условиях отсутствия зарядов и токов.При  = 0,j  0 ,  = 1,  = 1 уравнения в дифференциальной форме примут вид:divD  0 ,rotE  divB  0 ,rotH B,tD.tD  0 E , B  0 H и получаем систему уравненийУчитываем материальные уравнения div E  0rotE   0Ht div H  0rotH   0EtНачинаем преобразования уравнений (2) и (4):,(1),(2),(3).(4)2 HrotE   0 2 , откудаtt E 2 Hrot    0 2 .t t (5)E 1 rotH , то равенство (5) примет вид:t 0Т.к.

из уравнения (4) следует, что12 Hrot  rotH    0 2t 0rot rotH   0 02 Ht 2или.    grad  div  H   H ,Но, как известно из лекции № 10 rot rot H(6)поэтому с учётом (3),уравнение (6) равносильно уравнению12 HH  2 . 0 0t(7)1Семестр 3. Лекции 11Аналогичные преобразования можно провести и для вектораE : из (2) следует:H1  rotE ,t0из (4) следует:    rot  Ht   rot   1 rotE    1 rot  rotE  .2 E 0 2 rot Htt00    grad  div  E   E  E , поэтомуУчитывая (1), получаем rot rot E12 EE  2 . 0 0t(8)Полученные уравнения (7) и (8) имеют вид волнового уравнения – они описываютраспространение плоских электромагнитных волн. Сразу можно сказать, что фазовая скорость электромагнитной волны в вакууме равна c 1 3 108 м/с и совпадает со зна 0 0чением скорости света в вакууме.При распространении электромагнитных волн в среде с постоянными значениями  и ,выражение для фазовой скорости примет вид: v 1cc , где величина n  0  0 nназывается показателем преломления среды.Замечание.

Предположение о постоянстве значений  и  приводит к расхождению с опытными значениями показателя преломления. Например, для воды   81 и  1, что даёт расчётное значение n  9. Однако экспериментально определено значение n 1,5. Несовпадение объясняется возможной зависимостью  и  от частоты и других параметров волны.Волновое уравнение является линейным, в том смысле, что любая линейная комбинациярешений тоже является решением. Отсюда, как известно из предыдущего семестра, следуетпринцип суперпозиции для волновых полей – наложение волновых полей является волновым полем. Поэтому выделяют «простейшие» волновые поля – поля (или волны), соответствующие определённым частотам. Такие «простейшие» волны, определённая частота которых постоянная, называются монохроматическими.Пример.

Электромагнитная волна, частоты колебаний векторов в которой равны 1000 Гц и 2000Гц является суперпозицией двух монохроматических волн с частотами 1000 Гц и 2000 Гц.Запишем решения волновых уравнений (7) и (8) в декартовых координатах. Они имеютвид:2Семестр 3. Лекции 11 2  2 H X 2H X 2H X  2H Xv 222 xyzt 2   2 H 2 HY  2 HY   2 HY2Y,v 2y 2z 2 t 2  x  2 H2H Z 2H Z  2H ZZv 2 y 2z 2 t 2  x 2 2   2 EX  2 EX  2 EX   2 EXv 222 xyzt 2   2 E 2 EY  2 EY   2 EY2Y.v  2 y 2z 2  t 2  x  2 E 2 EZ  2 EZ   2 EZZv 2 y 2z 2  t 2  x 2Эти уравнения описывают распространение плоских волн.

Пример записи решения для первыхуравнений каждой из систем: k ,r     ,H X  H 0 X sin H tHHE X  E0 X sin E t k ,r     ,EH(индекс «Е» соответствует параметрам напряжённости электрического поля, а «Н» - магнитного), где в соответствующей волне k , r kx x ky y zk , z r   x , y , z- радиус-вектор точки,где находится волна, а для координат волнового вектора k   k x ,k y ,k z  справедливо соотношение:k  k  k x2  k y2  k z2 .vЗнак «-» соответствует «убегающей» волне, а знак «+» - набегающей.Обратим внимание на тот факт, что волновые уравнения для каждой из координат векторов E и H независимы друг от друга, поэтому общее решение можно рассматривать как суперпозицию решений для координат векторов.При этом решения волновых уравнений согласованы.

Т.е. определённому решению одного из волновых уравнений для какой-то координаты вектора напряжённости электрическогополя соответствует определённое решение одного из волновых уравнений для координат вектора напряжённости магнитного поля, и наоборот.Поэтому можно искать решения, соответствующие, например, вектору E   E X ,EY ,EZ  .Но согласно принципу суперпозиции волновых полей, решение, соответствующее векторуE   E X ,EY ,EZ  , можно найти как суперпозицию решений, соответствующих векторамE1   E X , 0, 0  , E2   0,EY , 0  , E3   0, 0,EZ  .Аналогично, можно искать решения для вектора напряжённости магнитного поляH   H X ,H Y ,H Z  .Пример.

Найдем решения для случая, когда волна движется вдоль оси z, а вектор напряжённости электрического поля имеет вид: E  ( EX ,0, EZ ) , где составляющие вектора E зависят толь-3Семестр 3. Лекции 11ко от z. Волна в этом случае является суперпозицией волновых полей векторов E1   E X , 0, 0  иE3   0, 0,EZ  .

Система волновых уравнений в декартовых координатах примет вид: 2  2 EX  2 EXv z 2  t 2.22 v 2  EZ   EZ z 2t 2Так как мы будем искать решения в виде волны, то предположим, что в рассматриваемой области пространства нет постоянных во времени электрического и магнитного полей. Т.е., еслипри решении получается постоянное значение какой-то составляющей векторов E или H , тоэто значение можно считать равным нулю. Из уравнения (1): div E  0 следует:EZ 0 , откуда следует, что EZ не зависит отzкоординат, но, возможно, зависит от времени. Но эта проекция EZ должна также удовлетво- 2 EZ  2 EZрять волновому уравнению: v.

Поэтому EZ  const - т.е. поле постоянное, тогдаz 2t 22EZ  0 .Из уравнения (2): rotE   0eXxEXeYy0H, с учётом EZ  0 получим:teZHH Z  H X  0 eX  Y eY eZ  , тогда остаются равенства:ztt t0H XE XH YE XH Z 0,  0,  0.tztytПроекцияHXв соответствии с первым равенством последних соотношений не зависит отвремени, но, так как она должна являться решением волнового уравнения 2 H X 2 H X 2 H Xv2 22xyz 2 2H X,2tто H X  const , поэтому H X  0 .Искомые составляющие векторов E и H зависят только от z, следовательно, должнобыть4H ZE X 0 и, по аналогии, H Z  0 . 0 , поэтому из третьего равенства следуетtyСеместр 3. Лекции 11 Из уравнения (3): div H  0 следует:EH Yс 0 .

Из уравнения (4): rotH   0tyучётом H X  0 , H Z  0 , EZ  0 и EY =0 получим:eXx0что даёт соотношениеeYyHYeZE  0 X eX ,zt0H YE 0 X . Получаем систему уравнений:ztH Y E X z   0 t, H Y   E X0 ztоткуда можно опять получить волновые уравненияv2 2 HY  2 HYz 2t 2иv2 2 EX  2 EX.z 2t 2Следовательно, вектору напряжённости электрического поля E1   E X , 0, 0  соответствует вектор напряжённости магнитного поля H 2   0,H Y , 0  .Поэтому вектору E2   0,EY , 0  будет соответствовать вектор H1   H X , 0, 0  .Но векторамE3   0, 0,EZ иH 3   0, 0,H Z  не соответствует никакая плоскаяэлектромагнитная волна, распространяющая вдоль оси Z.Заключения по результатам примера.1) Плоская электромагнитная волна является поперечной.Действительно, из примера следует, что продольные составляющие (вдоль направлениядвижения волны - оси Z) векторов напряжённостей электрического и магнитного полей равнынулю EZ  0 и H Z  0 .Векторы E  ( EX , 0, 0) и H   0,H Y , 0  направлены перпендикулярно друг другу и перпендикулярно направлению движения волны.

Если направление движения волны вдоль оси Zзадать волновым вектором k   0,0,k  , то можно сказать что тройка векторов E,H ,k яв-ляется правой.2) Колебания напряжённостей электрического и магнитного полей в любой точке плоскойволны происходят с одинаковой фазой.Действительно, пусть решения волновых уравнений имеют вид:5Семестр 3. Лекции 11E X  E0 sin  E t k E z   E  ,Тогда, например, из равенстваH Y  H 0 sin  H t k H z   H  .E XH Y  0ztследует, чтоk E E0 cos  E t k E z   E    0H H 0 cos  H t k H z   H  .Это равенство возможно, только если фазы волн равны с точностью до .

Откуда следует, чтоE  H , т.е. колебания происходят с одинаковой частотой, и, так как фазовые скоростиодинаковые, то равны и волновые числа: k E  k H .ИзH0 H0 kE0HравенстваE0 k E E0  0 H H 0амплитудследуетсоотношение:E 11, поэтомуE0 . Но фазовая скорость волны (в вакууме) v  c H 0 0 0 0 0E0  0 E0 .00При распространении плоской поляризованной электромагнитной волны в среде спостоянными значениями  и  амплитуды колебаний электрической и магнитной компонент связаны соотношением:H0  0E .0 0Отношение амплитуд напряжённостей электрического и магнитного полей называетсяволновым сопротивлением среды Z 0 E00. Единица измерения Ом.H00EXkYH6ZСеместр 3.

Лекции 11Для вакуума (=1, =1) Z 0 0 4 10-7  36 109  120  377 Ом.0Объёмная плотность энергии электромагнитного поля w в однородной среде равнасумме объёмных плотностей энергии электрического и магнитного полей:w  wЭ  wМ .Из соотношения амплитуд следует, что объёмные плотности энергии электрического имагнитного полей в плоской волне равны друг другу. Действительно,2 H 2  0  0  0 E 2wM  0E  wЭ .22   0 2Таким образом, энергия плоской гармонической электромагнитной волны равномернораспределена на электрическую и магнитную части. По аналогии с МКТ, иногда говорят,что плоская электромагнитная волна обладает двумя степенями свободы.Поэтому w  wЭ  wМ   0 H 2   0 E 2 ,w  0 E02 sin 2  t kz    или0 E021  cos  2  t kz     ,2объёмная плотность энергии в плоской электромагнитной волне тоже является плоской волной,но с удвоенной частотой.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций