Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963), страница 7

0,323 Ряд Фурье функции ~(х) в точке хе сходится к — (г'(хе+ 0)+1(х — О)), 1 если в некотором промежутке (хе — а, хэ+Й) с центром в этой точке функция ~(х) имеет ограниченное изменение. (гКордан-Дяркхле.) Ф П) 528 Определение функции о ограниченным ияменением. Пусть функция ) (х) определена на некотором отрезке [а, Ь] где а ( Ь.

Разобьем этот отрезок произвольным образом на части с помощью точек деления. а=хе(х,(х ... (х„,(х„=Ь я образуем сумму У ~г(хл) — г(х г)1. л=! 31 0.3 аУ|УНКЦИОНАЛЪНЪ|В РЯДЫ Различным способам деления отрезка [а, 6] (т. е. различному выбору точек деления х ) соответствуют, вообще говоря, различные суммы.

Если эти суммы в их совокупности ограничены сверху, то |сверят что функция 1(х) на отрезке )а, Ь] имеет ограничеанос изме)|ение (или ограничен ную вариа)1ию). Точную верх нюю г рань этих сумм называют полным изменением (или полной еириаиией) функции 1 (х) на отрезке (а, Ь]. Ф Ш 91 0.324 Пусть функция 1(х) кусочно непрерывна на отрезке [а, 6] и в каждо отрезке непрерывности имеет кусочно непрерывную производяую Тогда в каждой точке х)) отрезка (а, Ь] рнд Фурье для функции 1(х) сходится к — У (хо+ 0) + 1(х)) — ОЦ. 1 0.325 Функцию 11х), определенную в промежутке (О, 1), можно разложить е ряд по косину сам вида ао "я~ — + )' а) сов— А=| где аь = — ~ 1(8) сов — а1.

2 Г йяг о О 326 Функцию |'(х), определенную в промежутке (О, 1), можно разложить в ряд по сину сам вида 00 )уях 1. ~~)~ Ьдв1п— )).—. | где | 2. 6,= — ~ ~(1) з)п — ",'|И. з Признаки сходи.'мости для рядов 0.325 1. и О.ЗЖ 1. аналогичны п1 |- знакам сходимости для ряда 0.320 1. (см. 0.321 — 0.324). 0.327 К о эффи ц ие н ты Фу р ь е а~ и 6„(определяемые формулами 0 320 2. и О 320 3.) абсо|потпо интегрируемой фу|п|ции стремятся к нулю при 1| — э со.

Для функции 1(х), интегрируемой с квадратом в промежутке ( — 1, 1), выполняется уравнение замкнутости ОО | — )~)-)- у)) — ~ )')х))у. )А. м. л у ) у) и) 7))) ь=) — ! 0.328 Пусть 1(х) и Ч) (х) — функции, интегрируемые с квадратом в промежутке ( — 1, 1), а аю Ьь и иь, ~„— их коэффициенты Фурье.

Для таких функпий выполняется обобщсниое )|равнение зами|утости (раве|ктао 11арсеваля) Ф П1 700 Примеры тригонометрических рядов см. 1.44, 1,45. з введвнив 0.33 Асим~тотические ряды Определение асимптотического разлозосенил. Расходящийся ряд )~ — „" — о представляет собой асимптотическое разложение функции 1(з) в данной области значений ага г, если выражение В (з) = го (1 (г) — о'„(г)1, где н о„(з)= ')'„—, удовлетворяет условию. 1(ш Л„(х)=0 при определенном п.

А>, о=а )о)-+оо Ф 11820 Расходящийся ряд. представляющий собой асимптотическое разде>кение некоторой функции, называется асимитотическим рядом. 0.331 Свойства асимптотическвх рядов: 1. Над асимптотичоскими рядами можно производить действия сложения, вычитания, умножения и возведения в степень, точно так же, как и над абсолютно сходящимися рядами„ряды, полученные в результате этих действий, будут гакже асимптотическими. 2. Два асимптотическпх ряда можно делить друг на друга при единственном условии, что первый член Ао долитоля не равняется нулю.

Ряд, полученный при делопии, будет также асимптотическим. Ф11823 — 825 3. Асвмптотический ряд можно почлекно инте г р и рова т ь, и полученный ряд будет также асимптогическим. Дифференцирование же асимптогического ряда, вообще говоря, недопустимо. Ф 11 824 4 Одно и то >ке асимптотическое разложение может представлять собой разные функции. С дру1ои стороны, данная функция может быть только единственным способом разложена в асимптотический ряд УВ 1208 0.4 НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 0.41 Дифференцирование опредслепного интеграла по параметру о.о1о ' ~ >~*, )о*=-у<оо), )"",,' — яж > Г~''~- Ща ооо>> + 1(х, а)ах. о>Со) Ф 11680 0.330 Среди расходящихся рядов можно особо выделить обширный класс рядов, называемых асимптотическими или полу сходящимисяя.

11осмотря на то, что эти ряды расходятся, значения функций, которые опи представляют мо~ ут быть вычислены с большой точностью, если взять сумму надлежащего числа членов этих рядов. У зннкоч е ре дую щи х с я асимптотических рядов наибольшая точность получается при обрыве ряда на том члене, который предшествует члену наименьшему по абсолютной величине; в этом случае пог решность (по своей абсолютной величине) пе превышает абсолютной величины первого из отброшенных члевов (сравни 0.227 3 ). 4симптотические ряды имеюг очень много свойств, аналогичных свойствам сходящихся рядов, и играют поэтому большую роль в анализе.

Асимптотическое разложение функции обозначается так.. Пз) Х А 0.$ некОтОРые ФОРмРлы диФФеРеыциАльнОГО исчисления 33 0.411 В частности: а 1. — „~ ~(х)Ох=7(х). а ' —:.5 *'*=-ц'> 0.42 11ропзводная ю-го порядка от произведении (Правило Лейбница) пусть и и о — дифференцируемые и раз функции От х. тогда или, 'символически, а~ (ин) ( + )(и) Ф1272 0.43 Производная и-го порядка от сложной функции 0.430 Если ~(х) =Р(у) н у=~р(х), то 1. — ~ (х) — †, Р (у) + †, Р (у) + †, Р (у) + ... + †, Р (у), где (7 — у — — у — у + у — у —..+( 1) Ь, Иа д и Иа и т а()г — 1) в Лт' и-1 и-, «"У и Ыха 1 ),(ха 2( ° агхи аха А (7361), Гу 1, 75 причем знак ',~~ дол;кен быть распространен на все решения в целых поло- жвтельпых числах уравнения (+ 27 + 36 -(-... + И = и, а т = (+ ) + Ь+ .. ...

+й. Гу1,77 0.431 1 ( — 1)" БР(И =.—..Р'"'( —.')+,"*. — ", Р'" "~ —.)+ (л — 1) (л — 2] л (и — 1),ча-з) р' 1 + ааа-в 2! (~ а )+ А (7362,1) а а 2 (-1)- — „'.. — —,'."СС-.:)+(--1)С(,)(-:) + +(и — 1)(п — 2)( ) ~ — ) +(и — 1) (и — 2) (и — 3)("~( — ) + А (7362.2) 3 Ч'вблиаи интегРалов Иа(иа) ~~и / и ~ Еи Ын го ~ и~ ~Ри На аа г(хн Дхи + ~ 1 ( <~ж Дхи-г + ~ 2 ) а~та ~(ха и + ~' и ~ «(аи Ыа то Н"и +~.3 ) Их" Ыха и + '+ ггхн 1,3 — 1. А тРИРОнометРические н гипеРБОлические ФРнкции 37 !.217 е"»+е ~ 1 2 ~~д 1 ев» ~ — ~ * ~-~ е«+й~ «=1 (сравни 1.421 3.).

А(6707.1) 2. = — +2х Я ( — 1)", „, (сравни 1.422 3.). А(6707.2) е'~ — е «=1 1,22 Функциональные соотношения !.221 1. а" = е " ". 1 а!ае໠— а1оес» — Х !.222 1. е" = сЬ х+ БЬ х. 2 Е'"= СОВХ+ 1'В1ПХ. !.223 е — е'"=(а — Ь) хехр [ — (а+ Ь) х~ П [1+ 4и ' ~ МО216 «-1 !.23 Ряды показательных функций 1.231 ~ а«»= — „[а) ! и х <О или 0<а < 1 и х> О]. «=о 1.232 1. ьЬх=1+2 ~ ( — 1)" е — в«» [х >0], ОЭ 2. весЫх»»2 Х ( — 1)" е — 12"+'1 [х> 0].

А=О 3. совесЬ х = 2,~~~ е — 1в«+'1 «=0 [х) О]. 1.3 — 1.4 ТРИГОНОМЕТРИА!ЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1.30 Введение Тригонометрический и гиперболический синус связаны соотношениями: 1 1 вЬ х= —.Б(п 1х, вш х = —. БЬ1х. Тригонометрический и гиперболический косинусы связаны соотношениями: СЬх=сов1х, совх=сЬ1х. 1 Благодаря такой двойственности каждому соотношению, в которое входят тригонометрические функции, формально можно поставить в соответствие некоторое соотно1пение, в которое входят соответствующие гиперболические фупкцни, и наоборот, ка1кдочу соотношению, в когороо входят 1.

элемкнтАРнык Функции 1.31 Основнь»е функпиопальные соотношения 1.3И 1, ямх= — (е — е ); 2. яЬх= — (ех — е ); 2Г = — (яЬ )х. = — 1 яп ((х). 4, сЬ х = — (е" + е "); 2 соя х = —,(е'"+ е '"); 2 = сЬ1х. = соя (х. явх 1 6. 1Ь х = — = — 181х. си х с~пх 1 5. 1~х= = — $Ьех. геях ! 8. ссЬ х — — = — = юс1ды. сих 1 ъа х Й~х Соя х 7. сяих= = — =(с1Ь~х. мл х 1ех 1.312 1, соя х+я1п х= 1. 2 сЬ' х — яЫ» х = 1. 2 4 5 6 7 8 яп (х -1- у) = я1п х соя у -~ яш и соя х. яЬ (х -1- у) яЬ х сЬ у 1- яЬ у сЬ х. ягп (х + (у) = я(о х сЬ у +- ~ яЬ у соя х. яЬ (х 1- ~у) = яЬ х соя у -1- 1 я(п у сЬ х. соя(х + у) = сояхсояу+ я»пхягп у.

сЬ (х 1- у) = сЬ х сЬ у + яЬ х яЬ у. соя(х +- 1у) = сояхсЬ у+ !я(пхяЬ у. сЬ(х ~ )у)=сЬхсояу+ еяЬхя1пу, 1дх ~1еу 1 + 1,д х $,~ у 1Ь х ~- 1Ь у Ь (х + у) 1 + еь М 1~х~ 1ыу 1 ~ю Сдх1Ьу СЬх+ ~ С~у 1~,-~~Ьхфу' 10 1.314 1 1 я)пх ~ я(пу=2яш — (х ~ у) соя — (х ~ у). яЬх+ яЬу=2ЭЬ вЂ” (х ~ у) сЬ вЂ” (х ~ у). 1 1 1 1 *+ у=2 —,( +у) —,( — у). 1 1 сЬх+сЬу = 2сЬ вЂ” (х+у) сЬ вЂ”.(х — у).

4, гиперболические функции, формально можно поставить в соответствие некоторое соотношение, в которое входят тригонометрические функции. Во многих (однако ие во всех) случаях обе пары соотношений действительно имеют смысл. Идея двойственности соотношений проводится в приведенном ниже списке формул. Однако, в списке указаны не все вдвойники», имеющие смысл 1. элименхленые Фунннии соя'" 'х= „,, '~~ ~, )соя(2п — 2й — 1)х. 1 г2в — 1 й=е а-1 сЫ'" ' х = —,„, '«~ ( ) сЬ (2п — 2)с — 1) х.

Кр 56 (10,3) Частные случаи 1.321 1 яш' х = — ( — соя 2х + 1). я 2. яш* х = — ( — вш Зх -(- 3 я1п х) ! 4 3. яшах= — (соя4т — 4сов2х-(-3). Ы 1.322 1. вЬ'х = — (сЬ 2х — 1). 2 2. яЬ'х = — (яЬ Зх — 3 яЬ х). з 4 3. вЬ' т = — (сЬ 4х — 4 сЬ 2х + 3). 8 4. яЬ4 х = — (яЬ 5х — 5 яЬ Зх -( 10 яЬ х). 1 16 5. Ь" т= —, (сЬ6х — 6сЬ4х+ 15сЬ2х — 10). зг яЬ' х = —,, (яЬ 7х — 7 яЬ 5х+ 21 яЫ Зх — 35 яЬ х). 1.323 2 1 соя' к = — (сов 2х+ 1). 2 1 сов' х = — (соя Зх .+ 3 сов т). 4 2.

1 сов' х = — (соя 4х.+ 4 со 2х+ 3). 8 сов т = —, [соя 5х + о сов Зх + 10 соя х). ! г й 1 соя' т = —, (сов бх+ 6 соя 4х+ 15 сов 2х+ 10). 82 сов' л = — (сов 7х 4- 7 сов 5х -(- 21 сов Зх+ 35 соя х). ь4 4. в(п х = — (вп 5х — 5 я(р Зх+ 10яш х). в 1 16 1 5. яп" х= — ( — сов6х+6 соя 4т — 15 сов 2х+ 10). 82 1 6. ып' т = — ( — яш'7х+ 7 яш 5х — 21 яш Зх+ 35 я1п х). 64 ю д — 1 4 тРиГОноматРичаскиБ и ГипеРБОличаскиа ФУнкции 41 1.324 1.

сЬ~х = — (сЬ 2х+1). 2 2. сЬ' т = — (сЬ Зх+ 3 сЬ х). 1 З„сЬ~ х = — „(сЬ 4х+ 4 сЬ 2х + 3). 4. сЬ~х= — (сЬ5х+5сЬЗх+10сЬх). 16 5. сЬ' х = — (сЬ 6х+ 6 сЬ 4х+ 15 сЬ 2х+ 1()). 6. сЬ' т = — (сЬ 7х+ 7 ГЬ 5х + 21 сЬ Зх+ 35 сЬ х).

1 33 Выражение тригонометрических и гиперболических функций кратных аргументов (ду~) через степени этих фуыкции !.331 1. яа ах=псоа" 'хяпх — ( сов" ~хяпзх+~ ~1сов" ~хяп~х =япх (2" 'сок 'х — ( ~2" 'соа" 'х+ +( )2" 'сок" 'х ( ')2" 'сов" 'х+ ...~. А(3.175). "%) 2. ьЬпх=аЬх ~~~ ~2~ 1)вЬ хсЬ" "+' х; ("=,') ,Ь т ~ ( 1)~~а — ~ — 1) 2--~~-~ сЬ -~~-1 х / 3, соьпг=соа" т — ( )сов" ~хяп~х+( ~ соа" 4хяп'х —...; —.2" 'сов" х — — 2" ~соя" ~х+ -~- — ( ) 2" ' в" * — — ( ) 2" ' " '*.~.... А!3 О51 (-",) 4. сЬпх=,~' ("„)аЬ "хсЬ "х= 6) 2и ь с~ "х+п ~~>', ( — 1)„1 ~п — й — 1)2 -м-~ сЬ вЂ” их !.