Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963), страница 5

Таким образом, в вырин«внии з)васх мы будем считать, что к внешней функции зш прилоа)п х -) - соя х жен оператор возведения в квадрат. В выражении . — — мы будеи$' а)п х соя х считать, что к тригонометрическим функциям згп и соз приложен рацио- нальный оператор. Операторы мы таки«в будем различать по старшинству: 1. Многочлен (тем старше, чем выше вго степень). 2 Рациональный оператор. р 3. Алгебраический оператор (цо существу А«, где д > О и р — рацио-' нальные числа, твм старше, чем больше д). 4. Степенной оператор. Выражения с одинаковыми внешними и внутренними функциями рас- полагаются в порядке старшинства операторов, например так: 1 з1вх 31пхч созх ° та .

га з(пх, з1пхсозх, . =вес х, — =$дх,, зп«' х, в)п хсозх,,' ярах ' снах ' ашх — соя х ' Далее, осли в подынтвгральнов выражение входят две внешние функции «р (х) и «р,(х) (причем «р,(х) старше «р, (х)), над которыми произведена какая- либо из указанных операций, то соответствуинций интеграл ставится зк всеми интегралами, содоржащими одну только функцию «р«(х), в порядке старшинства «р (х). Так за тригонометрическими функциями следуют триго- нометрические и степенные функции (т. е.

«р (х) =х), далее идут тригонометрические и показательные, тригонометрические, показатвльпьи и степенпыв и т. д., тригонометрические и гиперболические и т. д. Интегралы, в которые входят две функции «р, (х) и «р (х), располагаютск в соответствующем разделе в порядке, зависящем только от старшей функции «р,(х).

Коли же порядок нескольких интегралов в зависимости только о« старшей функции совиадаот, то эти интегралы располагаются в порядкю, определяемом второй функцией. К указанньгм правилам общего характера прибавляются еще некоторы« частные сообра»кения, которые легко усмотретьнепосредственно в таблицах, 1 1 Например, функция сх, согласно сказанному, старше е', но 1пх и 1п — им«« 1 ют одно и то же старшинство, так как 1п — = — 1пх: в разделе «степенны« и алгебраические функции» из степенных функций вида (а+ Ьх)", (и+рх)' образуются многочлены, рациональные функции и даже степенные функ ции от степенных функций. *) При л натуральном отененная функция (а+Ьх)ч от двучлена а+Ьх есть много член; пря и целом отрицательном (а+Ьх)о является рациональной функцией; при « иррациональном степенная функция (а+Ьх)н не является даже алгебраичесый функцией.

О. ВВЕДЕНИЕ ОЛ КОНЕЧНЫЕ СУММЫ 0.11 Прогрессии 0.111 Арифметическая прогрессия. в-! ~~~~ (а+ кг) = —, [2а+(н — 1) г] =--(а+ 1) [! — последний член], »=о 0.112 Геометрическая прогрессия. в Х в (д — 1) ад »=! 0.113 Арифметике-геометрическая прогрессия. в †! ,Я (а+7вг)д»= ( ( ) )д + д( д . Жл(5) 1 — д (1 — д)" »=о О.$2 Суммы степеней натуральных чисел Ч 333 Ч 333 0.121 в 2 в =.,"'", + ~ с--', (,') вл -' + — ', (,') в, — -~ -', Д) вв - ~-... = »=! = — + — + —— д+1 2 12 720 по+! по дво-! д (д 1) (д 2) о д (д 1) (д 2) (д 3) (д 4) по-'+ 20 240 по — » †., [последний член содержит я или ав].

Ч 332 »-! а (а+1) (2ч+1) б в=! 3. ~ й'= ~" ("+" ]'. Ч ЗЗЗ п 4. '~~ 7ов = — и (и+ 1) (2н+ 1) (Зов+ Зя — 1). О. Веидении 5. Ч 333 Ч 333 Ч 333 О. 122 [Последний член содержит п или п~.] ~~~~ (2й-1) =па. ~~)~~ (2й — 1)в = — и (4и* — 1). 3 вата л ~~~~ ~(2й — 1)' = ие (2кР— 1). В 1 и '„Я~ й(й+1)'= (2 п(п+1)(п+2)(За+5).

й ~ й (пв — йв) = — д(д+ 1) (2пв — д* д). 1 а=~ Х И-й-(п+1)1 — 1. е А- (и+В)), Г е а ~' 1 И(а — )в)! Е и в+~ ~, 2 ~ а=~ 2 Жл (32а) Жл (32б) О. 123 0.124 ОЛ25 ОЛ26 ВЯ4 0.13 Суммы величин, обратных натуральным числам Ав Л й + + Зв ~~3 л(в+1)...(л+й — 1) в=~ 1=2 где 0.131 А = — х (1 — х) (2- х) (3 — х) ... (й — 1 — х) сЬ. 1 Г 1 А,= —, 1 Ав — —— 12 1 "в=Я) ~ Жл (59) А (1876) ~ йв — (2 и (п+ 1) (2п +Ьъ — 1). «-$ '~~~ й~ — и(и+ 1)(2п+ 1)(Зп~+ бпе — За+ 1).

= — и'(и+ 1)'(Зп~+ 6п' — и' — 4п+ 2). 24 в=1 ~~~~ (2й — 1)я = — пч+~ — Г ~ ~2я — 1Ввпч-1 — Ч+~ а'.1~ — —,©~ -'р — 11в, 1 кд 6 ! Конечнь!е суммы Жл(71а) и 0.182 з Х й! — 1 4 ь т 2и+1 2а (в+1) Жл (1841) ОЛ 8З Суммы произведений величив, обратных натуральяым числам ОЛ4 0.141 1. Х 1 в (р+(Й вЂ” 1) д) (р-!-ь!)) р(р+пд) ГК111(64)и п (2р+и7+у) 2р (р+д) (р+ид) [р)-(а+1) у) ГК1И(65) и Х 1 1 1 (р+И вЂ” 1)Ч)(р+)Ь~) ".

(р+()+!) 7) (!+1)в)р(р+ )...(р-~-Ь)» Ф вЂ” ! (р+в)) (р+(и+1) !))... (Р+(л+!) д) 3 А 1856 и 1 ~ [1-+ Ф вЂ” 1) Ч! (1+ Ф вЂ” 1) Ч-)- р) В=! и ю 1 . ГКШ(66) и р ( с ю 1+()с — 1)д ~ 1+(!! — 1)Ч+р 1 «=» Жл (157) Х (й+-2) ! 3 0.142 (в -)-2).' ОЛ51 0.152 Кр 62 (59.Ц Н 2 (С-!-!Ни).+1н2+ 8, + а4, -1 В~ (2З вЂ” Ц В» ~в=! ~~ \ 1 — (р-+Ф вЂ” 1) Ч! (р+)Ч)! р =(/ -(-1) !)) ~=! ОЛ5 Суммы биномнальвых коэффициентов (и — натуральное число) Кр64(70 1) Кр 62(58.1) Кр62(58 1) Кр 64 (70.2) з з числовыв ряды и евскопвчнын мгоизаидвния за+! З.,'» ( 1) ~~+' '=О.

»ьа 4. "~ гс("„) = Кр 64 (72.3) Кр 04 (72.4) 0.2 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕПИЯ 0.21 Сяодимость числовых рядов Ряд Х а» ~г+и»+и»+... »=( называется абсалюгяно сходящимся, если сходится ряд 00 0.212 ~ 1 и» 1 = 1 и !+ ~ и. ~ + 1 лз !+..., 0.211 составленный нз абсолютных значений (модулей) его членов. Если же ряд 0.211 сходится, а ряд 0 212 расходится, то ряд 0.211 называетс» услозг»о сходтцимсл. Всякий абсолютно сходящийся ряд сходпглся. 0.22 Признака сходииости д.221 Пусть 1 11ш ~ и ( " = у. Если при етом д =' 1 то ряд 0.211 сходится абсолютно; если же я) 1, то ряд 0.211 расходится. (Коши.) 0.222 Пусть Если прн этом д с.

~, то ряд 0.211 сходится абсолютно- если же гг ~ 1, то ряд' 0.211 расходится. Если — "» — ' стремятся к 1, остго~ о»сь больше и» единицы, то ряд 0.211 расходится. (Даламбер.) 0.223 Пусть 11 ш й ~ ~ ~ — 1 ~ = д. е9(е») У(й) Если прн этом д с" 1, то ряд ~~', ).(Й) сходится; если же я э 1, та этот »=г ряд расходнтсн.

(Е р и а к о в.) Если при згои д > 1, то ряд 0.211 сходигся абсолютно; если же д < 1, ге ряд 0.211 расходится. (Ра або.) 0.224 Пусгь ) (х) — положительная, убывающая функция, и пусть при гг натуральных 20 0 Ввидениж 0.225 Пусть где р~~ 1, а ~оь~ ограничены, т. е. ~о~~ меньше яекоторого М, которое не зависит от й. Если при этом д> 1, то ряд 0.211 сходятся абсолютно, есле же д (1, то этот ряд расходится. (Г ау с с.) 0.226 Пусть функция ~(х), определенная прп .г>д>1, непрерывна, положительна и монотонно убывает. При выполнении этих условий ряд '«~, ~(й] сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл ~ ~(х)сЬ.

(Инте1 ральньгй признак Когпи.) 0.227 Пусть все члены последовательности и„и„, и„положв тельны; е таком случае ряд 1, ~~~~ ~( — 1)~" иц — и> — и,+ и,— ь=~ называется знакочередуницимсл (или знакопеременвым). Если члены знакочерсдуюшегося ряде монотонно убывают по абсолют- ной величине я стремятся к нулю, т. е. если 2. и . < и„и 11ши„=О, а со то ряд 0.227 1. сходится При этом остаток ряда ОО СО и 3.

~~'~ ( — 1)~ "'~ иь= ~ ~~~ ( — 1)"" иа — ~~', ( — 1)~+'иа ~ с и„.. «=а+2 а=1 а=4 (1 1 е и б н и ц.) 0.228 Если ряд Х .=о,+ Ь+...+и„+ сходится, а числа иа образуют монотонную и ограниченную последовательность, т. е. если для некоторого числа М и для всех й ~ иь~ (ЛХ, от ряд 2.

Х и~Ра = иР1+ паз+ - - ° 1 иаоа+ - ° . й=! сходится. (А б е л ь.) Ф 11 354 0.229 Если частичные суммы ряда 0.228 1 в совокупности ограничены, а числа и„образуют монотонную последовательность, стремящуюся к нулю, т. е. если ~,~~ пд ~ < М ~п = 1, 2, 3, ... ~ и 11ш и„= О, ь ~ й-хо то ряд 0.228 2. сходится. (Д и р и х л е.) Ф 11 355 21 О В 41ИСЛОВЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 0.23 — 0.24 Примеры числовых рмдов 0.231 Прогрессии 1. ~ а4'= —, [~Ч~< 11. «=а 2. ')' (а+ Йг) д" = + 1 — д (1 — д)1 [~ д~ ( 11 (сравни 0.113). 0.232 0.233 Р = 1+ ~+ ЗР + ° ° = О(Р) [П" Р > 11 1 1 1 а 1 ~~~~ ( — 1)" ' — „= (1 — 2' ") ~ (р) [йе р ) 01 а=1 2«п-1 в«п Х а = (2п)! ~~а»1. а-1 ОО а+1 1 (2«и 1 — 1) в«и — — ~в,~. «=1 1 (2«и — 1) я«п Х (2й — 1)«и 2 ° (2«)! /В а-1 ОО Х вЂ” 1 а+1 1 а«и ! (2й 1)зп.

! 2«п а(2д)1 ~ ап! ° УВП44 Ф 11 721 Жл(165) Жл (184Ь) Жл (18411) С:О 1. Х( — 1) а+! 1 в« й«12 а=! 2. 1 в« (2й — 1)1 8 а-1 3 ° ( — ')' С .. (2Ь(1)1-~- а=а у ( — 1)" ' ~-! (2й — Ц4 32 а=! СО тС4 5. (2а — 1)4 У(! Э 158и Э 163 Ф П 482 Э 163 Э 163 1 ~ ( — 1)а+' — „=!п 2 (сравни 1.511). «=1 а+! 1 ! 2.,», ( — 1) 2, 1 — 1 — 2 ~ (4« — 1) (4),+1) 4 (сравнв 1.643).

а=1 «=1 22 о, ввкдкник — — 1н 2.. 32 — Зд* 64 а4+ ЗОВ* — 384 768 л ! з )) (щр 1) — 2 ()н 3 — 1) СО Х З вЂ” 1 — — — 3+ 2 1в 3+21н 2. Бр 51и 2 3 Вр ~51и Бртд 52, 'А (6913.3) Бр„52 Брт~ 52 А(6917,3), Бр 52 0.237 А (6917.2), Бр 52 2. (сравни 0.133). А(6916 1) (т — целое число).

А (6916.2) ГК 111 (93, 6.,'» ( 1)лФ! 5!тл (27! — 1)л 1536 ОО 7- Х ( 1) ())+1)*= л=! 1 0.235 Я„=,'» (4„1,„, й=! 1 н! — 8 2' т 16 Х /с 1 (47!! — 1)! 8 л=! 1 3 (4~ ! 1)! —— 2 — 2 1и 2. Д ! 127~! 1 ~ „( 4, 1),—— 2!н2. 1 1 Х (2й — 1) (27!+1) 2 1 ! '-) (47! — 1) (47!+1) 2 л=! 3 Х (7! — 1) (4+1) 4 Ф 2 Х ! (!в+ й) (п! — 4) В=1, й+е Х ( 1)л -1 (т — Ц (т-)- л) й=!, й+и! ОЭ 1 1 * Х (27! — 1) 2)! (2й+ 1) 2 «=! '(л! — четное число).