Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963), страница 4

Изменен и способ нумерации формул. Все формулы, определения и теоремы разбиты па разделы, которые занумерованы. Принцип нумерации имеет некоторое сходство с десятичной системой классификации и легко может быть. выяснен из оглавления. В оглавлении указаны только более крупные разделы, номера которых содержат одну, дзе или три цифры.

Самые мелкие разделы книги содержат четыре цифры. В эти разделы входят одна нли несколько формул (теорт»м или определений), камера которых напечатаны светлым птрифтом, Цифра «пуль» забронирована за разделами, носящими общий характер: за введениями, определениями и т. п. Первой главе книги, пРедислОВие к чвтвкгтОМР издАнию включающей ряд теорем общего характера и носящей несколько вводный характер, также присвоен нулевой номер. Нововведением в этом издании являются ссылки, сделанные в конце формул и указывающие на литературу, из которой эата формула взята*).

Я старался делать ссылки, в первую очередь, па советские издания и особенно на оригинальные, во вторую очередь, на иностранные книги и, наконоц, в третью очередь, на справочники. Ссылки на журнальную литературу отсутствуют. Формула, взятая из какой-либо книги, иногда видоизмепялась. В этом случае и конце библиографической ссылки ставилась буква и («изменено») В частности, буква и может означать исправление замеченной опечатки. Н. Градштейн ПРЕДИСа1ОВИЕ 1« ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ При подготовке четвертого издания И.

С. Градвггойн задумал значительное расширение справочника. Смерть помешала ему реализовать свои замыслы полностью. Им были составлены новые таблицы интегралов от элементарных функций и собраны некоторые материалы для составлении таблиц интегралов от специальных функций. Издательство поручило нам подготовить к печати оставшуюся от И. С. Градштейна рукопись, дополнив ее недостающими разделами.

При вьшолненин этой работы мы старались следовать плану рукописи и предыдущего издания н сохранили, во всяком случае, их главные особенности: порядок следования формул я ссылки па источники. Из предыдущего издания в книгу включены без изменений разделы, касающиеся сумм, рядов, произведений н элементарных функций. Остальные разделы подвергались переработке. Особенно сильно расширены таблицы определенных интегралов от элементарных и специальных фушщяй. Появились разделы, например интегралы от функций Матье, функций Струне, функций Ломмеля и ряда других функций, которых и старом издании не было совсем. Вообще, в четвертом издании справочника число рассматриваемых специальных функций яо сравнению с третьим изданием увеличилось.

В связи с этим главы, относящиеся к специальным функциям, дополнены соответствующими разделами. Большинство определений специальных функций, принятых в предыдущем издании, сохранено. На другие определения мы переходили лишь иногда, следуя источникам, содержащим наиболее богатый материал по интегралам от соответствующих специальных функций. Изменены также некоторые обозначения. Имевшаяся в третьем издании глава, посвященная интегральным преобразованиям, из четвертого издания исключона. Ее материал размещен в других частях справочника. Мы выражаем глубокую признательность Л. Ф. Лапке, который внимательно прочитал рукопись и сделал целый ряд полезных замечаний.

Ю. Геронил»ус, М. Цейтлин *) Ъ"на»атель литературы, на которую имеются ссылки, помещен на стр. 1099 — ИОО. После шифра, указывающего книгу, в библиографических ссылках стоят числа. Числа, не заключенные нн н какие скобки, оаначают страницы; чегла н круглых скобнах— номера формул, цифры в нвадратньхх снобиах — номера таблиц. О ПОРЯДКЕ СЛЕДОВАНИЯ ФОРМУЛ Вопрос о целесообразном порядке следования формул, особенно в таком отделе, как определенные интегралы, оказался весьма сложным.

Естественно приходит мысль об установлении некоторого порядка, аналогичного словарному. Однако простое установлепие такого порядка в формулах интегрального исчисления почти невозможно. Действительно, в любой формуле ь ~(х) с~х, где ~(х) — нечетная функция. Тогда мы такой интеграл опускали. Приведем пример (К 26 на стр. 159 второго издания): 4 (сЪц х — 1)Р 1 Л 1п фд х Ых = — — созес рп. ь1в» ж Р а Естественная подстановка с1дх — 1 = и; с ее помощью получим 0 0 и~ ' 1п (1+ и) Ыи = ~ созес рп. Р (2) Этого интеграла непосредственно в справочнике пе было. Его можно было получить нз других более сложных формул, имевшихся в справочнике. Далее Л'Ж~ 59 и 60 являются частными видами формулы Хо 26 на стр. 159. Все эти интегралы в новом издании опущены, Вместо них имеется фор- можно сделать целый ряд подстановок вида х=ф~) и получить таким образом ряд «синонимов» данной формулы.

Надо сказать, что обилием таких «синонимов» и сложных по виду формул грешат как таблица определенных интегралов В1егепз йе Наап'а, так и первые издания данного справочника. Мы старались в настоягцем издании оставить только наиболее простые из «формул-синонимов». О простоте формулы мы судили в основном по простоте аргументов «внешних» функций, входящих в подынтегральное выражение. Где это было можно, мы сложную формулу заменяли более простой Иногда при этом несколько более сложных формул приводятся к одной более простой. Тогда мы оставляли только эту более простую формулу. Иногда, в результате таких упрощающих подстановок, мы приходили к интегралу, который можно вычислить, пользуясь формулами отдела 2 и формулой Ньютона — Лейбница, или к интегралу, имеющему вид а О ПОРЯДКВ СЛНДОВАБИЯ ЮОРМРЛ мула (2) и формула, получающаяся из интеграла (1) пря с1дх = о. Второй пример (№ 24 на стр.

172 второго издания) л 2 1 ~1п(~двх+с18Рх)1пйдхЫх=0. о Подстановка 1дх= и дает подстановке Далее следуют специальные функции: 8. Эллиптические интегралы. 9. Эллиптические функции. 10. Интегральный логарифм, интегральная показательная функция, интегральный синус и интегральный косинус. 11.

Интегралы вероятности и интегралы Френеля. 12. Гамма-фуннция я родственные ей функции. 13. Цилиндрические функции. 14. Функции Матье. 15. Шаровые функции. 16. Ортогональные многочлены. 17 Гипергеометрические функции. 18 Вырожденные гипергеометрические функции. 19. Функции параболического цилиндра. 20. Функции Мейера и Мак-Роберта. 21.

Дзета-функция Римана. В таблицах зти функции располагаются в порядке старшинства, причем внешняя функция принимается во внимание в первую очередь чем старше ()ункция, тем дальше ставится соответствующая формула. Предположим, что в несколько выражений входит одна и та же внешняя функция; например, » выражениях в1п е", в(п х, з1п 1п х внешняя функция — синус — общая. Такие 1в(ив+и е) 1в и 1+и* о Полагаем далее о= 1п и, Тогда 1 = ~ — 1п (е"'+ е "") со — — ~ и 1+»»" ) 2 сй и йо, Ое — ОО Подынтегральная функция нечетна в, следовательно, интеграл равен нулю. Итак, раньше, чем искать интеграл в таблицах, подынтегральное выра- аение следует упростить и притом так, чтобы возможно более простыми ока- зались аргументы («внутренние функции») у функций, входящих в подынте- гральное выражение. Функции упорядочиваются по старшинству следующим образом.

Сначала идут злементарные функции; 1. Функция г(х)=х. 2. Показательная функция, 3. Гиперболические функции. 4. Тригонометрические функции. 5. Логарифмическая функция. 6. Обратньге гиперболические функции (В формулах, содержащих определенные интегралы, они заменены соответствующими логарифмами.) 7.

Обратные тригонометрические функции. О ПОРЯДКЕ СЛЕДОВАНИЯ ФОРМ»'Л выражения располагаются в порядке впутренпих функций. Например, ука- занные три функции расположатся и таком порядке зря х, з)па, з)п1нх. В приведенном нами списке отсутствуют следующие функции: много- член, рациональная, алгебраическая и степенная функции. Встречающаяся в таблицах определенных интегралов алгебраическая функция сводится обычно к конечной комбинации корней рациопальпой степепи, и поэтому мы можем для классификации наших формул условно считать степенную функцию обобщением алгебраической, а следовательно, и рациональной фупкции е). Все указанные функции мы будем отличать от перечисленных выше и будем рассматривать как нвкоторыв операторы.