Методичка по ФНП, страница 5

е. расположен экстремум. Здесь A == –6 < 0, поэтому M2 — точка максимума.Для точки M3 имеемA  12 xx  1  6; C  6 yy  2  12;B  0;  AC  B 2    6   12  0   72  0.Так как Δ < 0, то экстремума нет.Для точки M4 имеемA  12 xx 1 6; C  6 yy  2  12; B  0;  AC  B 2  6    12   0   72  0.Так как Δ < 0, то экстремума нет.Теперь вычислим значения функции z  2 x3  y3  6 x  12 y  3в точках экстремума M 1 1; 2  и M 2   1;  2  . В результате получимzmax  z  M 2   z   1;  2   2  1   2   6  1  12  2   3  23;33zmin  z  M 1   z 1; 2   2  1   2   6  1  12  2  3   17.33Пример 2. Найти экстремум функции трех переменныхu  z 3  3x 2  y 2  2 xy  8 x  27 z  12.Решение. Находим частные производные первого порядкаu 6 x  2 y  8;xu 2 y  2 x;yu 3 z 2  27.zПриравняем их нулю и получим систему для определения стационарных точек40 u x  06 x  2 y  8  0 x  2, u 0  2 y  2 x  0  y  2, y 2 z   3.3 z  27  0 u0 zТаким образом, заданная функция имеет две стационарныеточки:M 1  2; 2; 3M 2  2; 2; – 3 .Исследуем на экстремум первую стационарную точкуM1  2; 2; 3 , воспользовавшись достаточными условиями экстремума.

Для этого вычислим частные производные второго порядкав точке М1:  2u  2   6;  x  M1  2u  2   2;  y  M1  2u    2,  x y  M1  2u  2   6z  z  M1  2u   0;  x z  M1M1  18;  2u   0.  y z  M1Значения этих частных производных в точке М1 являются коэффициентами d 2u  M1  квадратичной формы от переменныхdx, dy, dz.Матрица этой квадратичной формы имеет вид 6 2 0 G   2 2 0 . 00 18 Ее главные миноры411  6  0;6 22  8  0;2 22 0 3   2 2 0  144  0.00 186Согласно критерию Сильвестра, d 2uM1— положительноопределенная квадратичная форма от переменных dx, dy, dz.

Следовательно, в точке М1 функция имеет локальный минимум (см.достаточные условия (21)). Вычислим этот минимум:umin= 27 + 12 + 4 – 8 – 16 – 81 + 12 = 55 – 105 = –50.ИсследуемM 2  2; 2; 3 .наэкстремумвторуюстационарнуюточкуМатрица квадратичной формы d 2u  M 2  имеет вид 6 2 0 G   2 20 . 00  18 Ее главные миноры1  6  0;63   202 2206 2 8  0;2 200   144  0. 18Знакочередование главных миноров отлично от (21) и (22),значит, в точке М2 функция не имеет локального экстремума,т. е. d 2uM2не является знакоопределенной квадратичной фор-мой от dx, dy, dz. Нетрудно видеть, что эта квадратичная форма— знакопеременная.

В самом деле, если положить 2ud 2u M 2  2  M 2  dx 2 dx  0, dy  dz  0,тополучимx42 6dx 2  0, а если положить dx  dy  0, dz  0, то получим 2u M 2  dz 2   18dz 2  0. Следовательно, в точке М2z 2функция не имеет локального экстремума.d 2uM2 11. ВАРИАНТЫ ТИПОВОГО РАСЧЕТАЗадача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее инаименьшее значения функции f  x, y в области определенияфункции g  x, y  .f  x, y№ вар.2g  x, y 21x yx2x2  y 24  x2  4 y 23x yx2  y2 1  1 x2  2y  y24ye x1  x 2  y 2  2 xy5x2  4 y 24  x2  y26xy7x  2   y  181   x  3  y 22arcsin  x  y  arccos  x  12x22arcsin  x  y   arccos x1  x2  y2  29x  y2x yarcsin  x  y  arccos  x  110y  ln xarcsin y  arccos  x  211x yx2  y2 1  1  x2  2x  y212y  ex2  x2  y2  x2  y243f  x, y№ вар.13 x  22  4y22  x2  y2  x2  y 214y2x31  x 2  y 2  arcsin y15y  x28  x2  4 y 2  x2  4 y 216x2  y2y1  x 2   y  317y 2  x24  4 x2  y218x yx2  y 2  1  1  x2  2 x  y 219ye x1  x 2  y 2  2 xy204x 2  y 24  x2  y221x 2   y  12arcsin  x  y   arccos x22 x  2 2  y 2arcsin  x  y   arccos y2344g  x, y y21  x2  y 2  22x  y224yxarcsin  x  y  arccos  x  125y  ln xarccos y  arcsin  x  226x yx2  y 2  1  1  x2  2 y  y 227y  ex2  x2  y 2  x 2  y 2284 x 2   y  229y3x21  x 2  y 2  arcsin x30x  y28  4 x2  y 2  4 x2  y 222  x2  y 2  x2  y 2Задача 2.

Для заданной функции неявно найти dz в вар.z z№ 1—15;,в вар. № 16—30.x y№вар.Найти dz№вар.1 x  y  z  e zx z y16 F  ,   0y x2 x 2 e2 y  z 2 e2 x  y 2 e2 z  0yz17 F xz, e  023 x  yz  2 z  arctgx0y4 z  2 ln  x  y  z   01819z z,x yНайтиF  x  y  z, 2 x  3 y  4 z   0F  4 x  3 y, z  x   0222225y3  ze x z20 F  xy, yz , zx   06xy y ln  x  z   0z21 x2  z3  f  x  y  07 5 x3  2 z 2  xy  zy  10 y  8  022 F sin xy, cos zx   08 tg  xz   sin  yx   ctg  yz   023 F ln x, ln y , ln z   0zx9 3cos 5 x  3 y  8 z   5 x  3 y  8 z 24 F ln xy, e  0xy2210 5 x3 y  3 z 2 y  7 xyz  2 x 2 z  4  0 25 F e , x  z  011 arctg3x zxyyz26 F zx, ln x 2  y 2F arctg  xz  ,  012 x 2  3 yz  arctg  xy   z 2 x  02327 F x  y , ln  2 x  3 y   013 e xy  z 2  3 xyz  02814 xy  zy  ln  xz  5 y   0 2x 029 F  z  xy,x  y 15 ze x  ye z  xe yy30 F  z, ln   0xx y 045Задача 3.

Найти дифференциал второго порядка для функциитрех переменных f  x, y, z  в точке M 1 и дифференциал третьегопорядка для функции двух переменных g  x, y  в точке M 2 .№вар.f  x, y , z g  x, y M1M21x 2 cos 2 y  3ln z   1   2; ; 12sin 3x  2 y   x 3 y82x3 cos z  y 2 ln x  2 1 1; ; 2 4y2 ln x  2x2 y3arctg x ln y  3  z2 x  4 0; e; 1445ln z2  y  cos x sin y  5  ; 0; 2  y sin 2 x  3 xy 226e 2 xyz  tg x cos y  57xy  x sin y cos z  6  1; ; 4 411; 412e 2 x  4 y  3 x5 y13cos 5 y  2x  3 y3 x5xz y 2  ln 1  z 3  4   ; ; 12sin 2 y cos x  xy 611; 1; 2x3 y13 3e y  3 x8sin  xy   x 2 y 3 z 4  611 ; 1;  1 2 y 3 x 4  3x 2 ln y29z 3  tg3 x  ln y   7 ; 2;  110 cosy12x12  ; 0 9 x 4 sin 2 y1 1 ; 4 81; 4 ; 13    ; 131  ; 131; e1  ; 4 3 23  1; ; 0  sin y cos3x  6x y  y  ;  3y ln xe z  13x11 zx 4  e yz x  513 2  2; 2;  ln  x  y   x y22; 112 y sin x tg z  3 xz  4 1  ; 2;  2 x  3 y  x  3 y 444 2 2; 3213 cos z ln y  ln y  x  3 1; 3; 346x 3 y 2  e x 5 y 11; 5№вар.f  x, y , z g  x, y M1114 arcsin  x  1 y  x y 3 z 4M21 1 ; 2 41 1 1 y4  ; ; 2 ln  2 x y 42 8x1 1  ;  ; 1 2 y3 y 2 cos x  ln  3 x 316 ln 3  x  6xy cos z  21;  2; cos4x sin 2 y  4x17 arctg z ln x  y 2  x2  11;  2; 3 y4 x18 y 2 log 2 x  x ctg z  3112 ;  2;  ln  x  y   y 3 sin3x2415 sin1 e xyz  6x121 ln  y  x2 ; 1y1321 1y19 y arccos x  x 2 y ln z  4   ; 2; e  2ln  3x 5 y2 2x2yx20 sin x  z  e  221 x13 yz 3 cos xe yz  222 z arcsin x  y 2 sin z  52 4223 3x y z  ln 1  z  224e2 z  sin x cos y sin z  425 e yz  2 cos17x26 z log 3 x  y12 zx622 y27 z sin x  1  zx e  8 ;  441; 2 11; 21 2 ; 2 311;  ; 0 cos 2 y  5x  y3 x 432; 11 1 2 21 1 3 ; ;  y sin y  x y 22 22 1; 21  y2 3 0;  ;  6x y  ln  2 2x 1 1  ;  2 3 11  ; 2; e  3x2 y  2x2 y 321  1;  2  3 ; ;  sin2x cos y / 2  y ln x3 6 61;   1 1  131 ; 3 ; 3 y 3 cos2 x  x1 y 22 ; 21 3; 4; 2x2 y1  ; 1311; 0;  2 y2 y sin x  ln  x13 2y3x3  ;1347№вар.f  x, y , z  3; 1; 3e3 y  x  xy3 2 2; 3sin z zx cos y  6y  1; ;  4x2 cos2 y  3x4 y3  1; 3  133 ; ; 1 x 3 ln y 2  2x2 y 24 41  1; 2z29M2 ln z 2  5  9xy28g  x, y M12330 cos x sin y z  3  2Задача 4.

Показать, что функция z  z ( x, y ) удовлетворяетданному дифференциальному уравнению; f — произвольнаядифференцируемая функция.№ вар.48Функция z  z  x, y Дифференциальное уравнениеzzy0xyz  f  y x1x23 yzz 4x0xyz  f x2  y3 23e xzz y 0xyz  f e x  ln y4x5zz  y ln y 0xyz  f e x ln y6zz 3 yx 20xyz  f x3  ln y7ey8 x tg y 9xz z0x yzz 3x 20xyzz30xyzz 2  y ln y 0xy ey z f  x z  f x3  e yz  f x3 cos yz  f x 2 ln y№ вар.Функция z  z  x, y Дифференциальное уравнениеzzy0xy10x112x12zzy0xy132x14x152x163 xy 217zz 6x2 y0xy182e y19cos y z z0x yzz sin 2 y 0xyzz 2y0xyzz  y ln y 0xyz z0x yzz3 x0xyzz cos x 0xyzxz  f  xy z fxe y ex z f  yz  f  x tg y  y z f  2x z fx ln yz  f ln x  y 3z fy  x3z  f x3 2  eyz  f sin x  sin y z0yz fy xzzy0xyz fx  ln y20x212 x224 xy23x242  x tg y yz z0x yzz30xyz z0x yz  f y2  xx cos yz  f x3e yz f49№ вар.Функция z  z  x, y Дифференциальное уравнение25zz ex y0xy262e y x27zz cos 2 y0xy282x29x302 y2z z0x yx  eyz  f ex  e yz fz  f  x  tg y zzy0xy z  f xy 2zzy0xyz  f ln x  ln y  3z  f  x 2  y3 zz x0xyЗадача 5.

Проверить, является ли данная дифференциальнаяформа полным дифференциалом некоторой функции, если да,найти ее.№ вар.xyа)1x2  1Дифференциальная форма2dx  2 ye  y  x 2  1 dyб) x 2  x cos ydx  yxdx2б)  x  x  e dx  x  y  x  dyа) cos  y  x  dx  sin  x  y  dyа) 2 xydx  ye y  x 2  e y dyy223450141 б) 4 x3 1  y 5  dx   2 y cos y 2  y 5 x 4  dy5а) 7 x 6 1  cos 2 y dx  x 7 sin 2 y  2 y dyб) x5  y ln ydx  x  y 2 ydy№ вар.Дифференциальная форма2а) e y xdx  x 2  y ydy56б) x sin y 1  2 cos ydx   y 3  dy 2 cos y 3а)xe y dx  2 xy 5 e y dy21б) 2 x  cos 2 y dx   x sin 2 y   dyyа) 2 x y  cos 2 x  1 dx  x 27б) ctg ydx  x2 sin y8а)  cos 2 x   x ysin 2 yy  1 dyctg y  dy2 y cos 2 x 1 1  2  dy sin 2 x  dx  y 2y y y y 2  1 dx  cos x 2  y dyб) ln x а) x3  y cos xdx  x y 2  1 dy9101 1  67cosyx dyб)  x 7 y  cos x  dx   2 7yysin2а) 6 x 2 cos y  sin y 2 dx  2 x3 sin y  2 yx cos y 2  1 dy2б) y x 2  1dx  e  y xdyа) x 2  e y11б)2 ydx   13 x y  ye3 y2x  dyy yy 1  ysin   dx   cos  sin  2  dyxx xx y xy2251№ вар.Дифференциальная формаа) x5 1 121y321 3 6dxyx  1 dy32ydx  222x y 1 yxyб)ex y13а)cos 2 y e xdy x y x 2  y 2 222yexdx   2  sin y cos 2 y e xy22 dyб) x 7 1  cos 2 y dx  cos xy 2 dy142а) 2 xye x  y 2 dx   y 1  y 2б) x cos ydx 12 cos yа) cos 2 y  x xdx 15162 e x  2 xy  dy1 2x dyyx2 y  dyy 2  1  11y2 2 y x3  y  dydx   2 cos  yy 2 x3  y2 x3  yy tg ydx  2 y  x 2 dy1 2а)  x  cos x dx  x ln ydyyб)  3x 5 x 6  152323x2 y 2б) x 17x 2 dy sin yб) 2 x y 2  1dx   2 yа)32 sin y cos y  dycos ydx   x6  1№ вар.Дифференциальная форма 1x7181 1y  cos  x   dx  y 3 x 7 dyа) б)211  x  1 3 e y dx   e y 3 x  1  2  dy3y ln y а) 2x3 y  y 2 x dx  y 3  x xdy19 x  121б) 2  x  1 3 y  1dx   2 1  y 3  y  12 3а)2333 x20 ydx   cos y x 12 2 sin yб) sin  xy  ydx x 2  y 2 dx а)2132x  1  dyxdyy122 x  y2ydy2 x  1 cos y dx    x 2  x  sin y б)22 dy dy2y 1  ln y  11   y21 2 y x  x e y2 edx1а)  2 x 2 y 1 y  dy2б) tg ye x dx  x 2 ydy23 1 1а) cos y 2  x dx   e y 2  cos y 2  x 2 y  dy y2б) ye x  y 2 x dx  y x dy53№ вар.Дифференциальная форма7а) x tg 3 ydx 241cos 2 3yx 8 dy1 ln y  1 dyб) 5 x ln ydx 3 2 y ln y  24x1y2y2 2 yee dx 2 x  3 dy32x  3 2 y  1 2а)25 y dx  sin 5 x  y  dyб) x 2 y 2  1dx  sin x 2  y dyа) y 2 x32623y2б) 2e y dx  3 1 yy 52 2 xy e  10 xy e  dy5 y12x dyа) 2 2 y  1  2 cos  2 x  1 dx  32 y  1  2 y 227б)cos ydyx6  1 sin y x6  1dyа)dx   sin y 2x  y 1x128б)354yy2  1 dyy2  1 4x  1e y dy  3 y  x  1 3 dyа)  x  1294 y2 3y  1 dx   x  135y  1 dyyб) 3x cos x  x  y sin x dx   y2  12332 cos x  dy№ вар.Дифференциальная формаа)30б)Задача33 42x  1  1 ydx  y 2  x 3  x  dy42 2 ye ydx  2x2  1 1 eyxy6.В2 x 2  1  dyАточкенайтипроизводнуюфункцииu  f  x, y, z  в направлении вектора АВ, а также ее максимальноезначение.