Методичка по ФНП, страница 2

Поэтомувычисление частных производных проводится по обычным правилам дифференцирования функции одной переменной.Рассмотрим примеры для функций двух переменных z = f  x, y  и трех переменных u  g  x, y, z  .Пример 1. Найти частные производные от функции z =cos y  sin x  .Решение.

Вычисляя частную производную по переменной x,рассматриваем z   sin x видаu , u   uгдеu  sin xcos yикак сложную степенную функцию  cos y.Так как производная1u , а y = const, тоz cos y (sin x)cos y 1 cos x.xПри нахождении частной производной по переменной y заданную функцию рассматриваем как показательную вида a u , где8 a  sin x и u  cos y.

В этом случае a u   a u ln au , а x = const,тогдаzcos y  sin x ln  sin x   sin y  .yПример 2. Найти значение частной производной функцииyz  arctg в точке M 0 1; 2  .xРешение. Найдем сначала все частные производные заданнойфункции в произвольной точке M  x; y  :zx1y21 2x y 2 xzyy, 2x  y21 1x 22y x x  y21 2xи подставим в них координаты точки M 0 1; 2  :zxM02 ,5zyM01 .5Пример 3. Найти частные производные от функцииu  2 y x  3y2 3 z2 .Решение. Имеем функцию трех независимых переменныхu  u  x; y; z  .

Найдем ее три частные производные:yu1 2y0,x2 xxu 2 x  6 y 3 z2 ,yu2 12 y2 0  3y2 z 3  3 .z3zПример 4. Доказать, что функция z  y 2 sin x 2  y 2творяет уравнению y 2удовле-zz xy  2 xz.xy9Решение. Задана функция двух переменных z  f  x, y  . Найдем ее частные производныеz y 2 cos x 2  y 2 2 x,xz 2 y sin x 2  y 2  y 2 cos x 2  y 2  2 y  .yПодставим их в левую часть данного соотношения и упростимего:y 2 y 2 cos x 2  y 2 2 x  xy 2 y sin x 2  y 2  y 2 cos x 2  y 2  2 y   y 4 2 x cos x 2  y 2  2 xy 2 sin x 2  y 2  2 xy 4 cos x 2  y 2  2 xy 2 sin x 2  y 2  2 xz.Что и требовалось доказать.3.

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ.ГРАДИЕНТПонятие производной по направлению l является обобщением понятия частной производной для случая n  3.Пусть функция u  f  x, y, z  определена в некоторой окрестности точки M  x; y; z   3 и задан вектор l. Тогда единичныйlвектор l 0     cos , cos , cos   , где ,  и  — направляющиеlкосинусы вектора l.Всем аргументам придадим приращения так, чтобы векторприращения l   x, y, z  был параллелен заданному вектору10направления l. При этом  x  l cos , y  l cos ,  z  l cos ,где l  x 2  y 2  z 2 — произвольное скалярное приращение. Точка  x   x, y  y, z   z  должна находиться в окрестности точки М.Определение. Приращением функции u  x, y, z  в направul ленииlвточкеМназываетсявеличина f  x  l cos , y  l cos , z  l cos    f  x, y, z  ; так как x, y, zзафиксированы, то приращение ul является функцией одной переменной  l.Определение.

Производной функции u  f  x, y, z  в направлении l в точке М называется предел (если он существует и конечен) отношения приращения этой функции ul в направлении l вточке М к приращению l при l  0 :uu lim l .l l 0 lЭта производная зависит от направления l , т. е. от углов, ,  , и вычисляется по формулеu uuucos   cos  cos .l xyz(1)Производная по направлению вектора l представляет собойскорость изменения значения функции f в точке М в направлениивектора l .Определение.

Градиентом функции нескольких переменныхназывается вектор, координатами которого являются соответствующие частные производные данной функции:u  u  u   u u u grad u ijk  ;;.xyz x y z 11uИз формулы (1) видно, чтоесть скалярное произведениеlgrad u и единичного вектора l 0   cos , cos , cos   в направле u grad u , l0 .нии l , т. е.lОтсюда производная функции по направлению l равна проекции вектора градиента этой функции на это направление l :u Прl grad u .lСледовательно, производная функции по направлению вектора lпринимает свое наибольшее значение в данной точке, если вектор lсовпадает по направлению с вектором градиента функции в этойточке: l  grad u. При этом максимальное значение производнойпо направлению l равно модулю градиента функции:22max2 u uuu M   grad u  M           .l x   y   z (2)Известно, что градиент функции трех переменных перпендикулярен поверхности уровня этой функции, проходящей через соответствующую точку.Пример 1.

Вычислить производную функции трех переменxных u  ln x 2  yz  arctg  1   e xy в точке A(1; 0;1) в направлеzнии вектора AB, если точка В имеет координаты 1; 2;  1 , а также наибольшую скорость возрастания данной функции в точкеA(1; 0;1).Решение. Найдем координаты вектора AB и его направляющие косинусы, а также частные производные функции в точке А:AB  (2; 2;  2),12cos  2 22  2    2 2222 313;2cos   2 2    2    2 2u2x 2x x  yzuxA2  1 12  2    2 222cos  22222 322 313;13;1 xyxe  arctg  1   e xy y zx z1  1  z121 0 1  1  121e0  arctg 1  1 e0 0  2  1  3;uzx 2 arctg 1   e xy x zy x  yzuyA1 120uy 2z x  yzuzA x  xy  2 e x  z 1  1  z0 12 arctg 1  1 e0  1  1;01211  1  12 1 e0  1.1Подставляя в формулу производной по направлению (1)найденные значения, получимulA 1 1,  1  3333  grad u  A   3i  j  k .  311113Наибольшая скорость изменения функции в данной точкеопределяется формулой (2):maxu grad u  A  l 32  12   12 11.4.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ,ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХОпределение. Функция y  f  x1 , x2 , ..., xn  называется непре-рывной в точке x0  x10 , x20 , ..., xn0 , если она определена в некото- рой окрестности этой точки и lim0 f  x   f x 0 .x xДля непрерывных функций нескольких переменных вернытеоремы об их свойствах, аналогичные соответствующим теоремам одномерного анализа.Определение.

Функция y  f  x  называется дифференцируемой в точке x 0 , если ее полное приращение может быть представлено в видеy  A1 x1  A2  x2  ...  An  xn  1  x1 , ...,  xn   x1   2   x1 , ...,  xn   x2   n  x1 , ...,  xn  xn ,где A1, A2 ,..., An — константы, не зависящие от  x, 1   x1,...,  xn  ,..., n   x1,...,  xn   xn—бесконечномалые приx= ( x1 ,...,  xn )  0.Определение.

Главная часть приращения, линейная относительно приращения независимых переменных функции в даннойточке, называется полным дифференциаломdy  A1 x1  A2  x2  ...  An xn .14К необходимым условиям дифференцируемости относят дветеоремы.Теорема. Если функция y  f  x1 , ..., xn  дифференцируема вточке x 0 , то она непрерывна в этой точке.Теорема. Если функция y  f  x1 , ..., xn  дифференцируема вточке x 0 , то она имеет все частные производные в этой точке,причем   A.y x 0ixiОтсюдаdy nyyyydx1 dx2  ... dxn  dxi .x1x2xni 1 xi(3)Пример 1.

Найти полный дифференциал функции трех переменныхuy2 xz  ln  x  y  z  .xРешение. Найдем частные производные заданной функции:y2 1u 2 2xxz1;x x  y  zu1z2u 2 y1;yx x  y  zx1.z x  y  zИз формулы (3) получаем полный дифференциал функциитрех переменных y2 1du    2  x2 2yz11 dx   dy x x  y  z  x x  y  z 12x1 dz.z  x  y  z  15Пример 2. Найти значение полного дифференциала функциитрех переменных u  x 2 y sin  xyz  в точке M 0 1; 2;   .Решение. Найдем частные производные функции u = u  x; y; z  :u 2 xy sin  xyz   x 2 y 2 z cos  xyz  ,xu x 2 sin  xyz   x3 yz cos  xyz  ,yu x 3 y 2 cos  xyz  .zЗначения частных производных в точке M 0 1; 2;  uxM0 4,uyM0 2,uzM0 4.Полный дифференциал функции в точке M0 имеет видdu  4dx  2dy  4dz.5.

ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫВЫСШИХ ПОРЯДКОВЧастные производные функции нескольких переменных такжеявляются функциями нескольких переменных.Определение. Частной производной второго порядка функциинескольких переменных y  f  x1 , ..., xn  по переменной xi называется частная производная по этой переменной от частной произf:воднойxif xi xi 162 f  f .2xi  xi xiОпределение. Смешанной производной второго порядкафункции нескольких переменных y  f  x1 , ..., xn  по переменнымxi , x j называется частная производная по j-й переменной от частной производной функции по i-й переменной:f xi x j 2 fxi x j x j f xi.Например, если дана функция двух переменных z  f  x, y  ,то она имеет следующие частные производные второго порядка:2 f 2 f 2 f 2 f,,,.x 2 y 2 yx xyФункция трех переменных u  f  x, y, z  имеет девять частных производных второго порядка:2 f 2 f 2 f 2 f 2 f 2 f 2 f 2 f 2 f,,,,,,,,.x 2 y 2 z 2 yx xy yz zy zx xzОпределение.

Частной производной m-го порядка функциинескольких переменных называется частная производная от еечастной производной (m – 1)-го порядка.Теорема. Смешанные производные одного и того же порядкапо одному и тому же набору аргументов равны в M  x1 , ..., xn  ,т. е. не зависят от порядка дифференцирования, если они непрерывны в этой точке.Определение. Дифференциалом второго порядка называетсядифференциал от первого дифференциала d  dy  , взятый при фик-сированных значениях dxk  k  1...

n  функции y  f  x1 , ..., xn  : n y n n 2 yd 2 y  d  dy   d  dxi   dxi dx j . i 1 xi i 1 j 1 xi x j(4)Видим, что второй дифференциал представляет собой квадратичную форму дифференциалов dx1 , dx2 , ..., dxn независимых аргументов, а коэффициенты этой квадратичной формы образуют17симметричную матрицу Гессе в случае непрерывности смешанныхпроизводных: 2 fG  xi x j , i  1, n; j  1, n.Аналогично определяют и дифференциалы более высоких порядков. При этом d m y  d d m 1 y .m Доказано, что d m y  dx1 dx2  ... dxn  y. Этаx2xn x1символическая запись обозначает возведение в степень m выражения в скобках, а затем под знак  m подводится функцияy  f  x1 , ..., xn  .Для функции двух переменных z  f  x, y  имеем2 z 22 z2 z 2dx2dxdydy ;xyx 2y 2(5)3 z 33 z3 z3 z 322dx3dxdy3dxdydy ;x3x 2 yxy 2y 3(6)d2z d3z Для функции трех переменных u  f  x, y, z  имеемd 2u  2u 2 2u 2udx2dxdy2dxdz xyxzx 22 2u 2u 2udzdy  2 dy 2  2 dz 2 .zyyz(7)yПример 1.

Найти d 2u , если u  e xy  arctg .zРешение. Найдем частные производные второго порядка ивоспользуемся формулой (7):18u ye xy ;xuzu xe xy y y 22 y  zz11 11 1z xe xy  2;z  y2y zz 2 2u y 2 e xy ;x 2y; 2z  y2 2u2 yz x 2 e xy 2yz2  y2 2u2 zy2zz2  y2;22; 2u e xy  xye xy  e xy 1  xy  ;xy 2u 0.xz 2u z 2  y 2  2 z  zy2  z2;22yzz2  y2z2  y2Значит,2 yzd u  y e dx   x 2 e xy z2  y222 xy222zy dy 2 +z2  y22dz 2 y2  z2xy+2 e 1  xy  dxdy dydz  .222z yx2.yРешение. Найдем частные производные третьего порядка ивоспользуемся формулой (6):Пример 2. Найти d 3 z в точке M 0  ;1 , если z  e y sin x 2xz e y cos x  ;xyzx2 e y sin x  2 ;yy192 z2 x2yesinx;y 2y32 z2 e y sin x  ;2yx2 z2x e y cos x  2 ;xyy3 z e y cos x;x36 x23 zyesinx;y4y 323 z e y sin x  2 ;2yx y2x3 z e y cos x  3 .2xyyЗначения частных производных третьего порядка в точкеM 0  ;13 zx3M0 e;3 zy 3M03 zxy 2M06 2;43 zx 2 yM0 2; e  2.Следовательно,2 d 3 z  e y cos xdx3  3  e y sin x  2  dx 2 dy y 4x 6 x2 3  e y cos x  3  dxdy 2   e y sin x  4y y 3 dy .Значение дифференциала третьего порядка в точке M 0  ;1d3z20M0 e dx3  2 dx 2 dy   e  2  dxdy 2 3 2 3dy .26.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИРассмотрим для наглядности функцию трех переменныхu = f (x, y, z), заданную на открытом множестве G  3 (n-мерныйслучай рассматривается аналогично).Теорема. Пусть функции x, y, z дифференцируемы в точке t0 ,а функция и — в соответствующей точке u0   x  t0  , y  t0  , z  t0     x0 , y0 , z0  . Тогда сложная функция u  u  t  дифференцируемав точке t0 , а ее производная в этой точке существует и вычисляется по формулеdu f dx f dy f dz.dt x dt y dt z dt(8)Если t совпадает с одним из аргументов, например с х, т.