Методичка по ФНП, страница 3

е.u  f  x, y  x  , z  x   , то полная производная функции f по хdf du f f dy f dz.dx dx x y dx z dx(9)Если функции x, y, z зависят не от одного, а от несколькихпеременных, например, от двух: x  x  t , v  , y  y  t , v  , z  z  t , v  ,то, фиксируя сначала v, а потом t, на основании формулы (4) получим u f x f t  x t  y u  f x  f v x v yy ft zy fv zz,tz.v(10)Для сложной функции двух переменных z  f  x, y  , гдеx    u , v  , y    u, v  , система упрощается:21 z z x z u  x u  y z  z x  z v x v yПример 1.

Найти производнуюy,uy.v(11)dzсложной функции z  xy 3 ,dtгде x  t , y  cos t 2 .Решение.dz z dx z dy1 y3 3 xy 2 2t sin t 2 .dt x dt y dt2 tВыразим x и y через t, получимdz cos3 t 2cos3 t 2 3 t 3 2cos 2 t 2 sin t 2  3 t 3 cos t 2 sin 2t 2 .dt2 t2 tdzdxПример 2. Найти производнуюсложной функции2x1 xz  arctg , где y  e  .yРешение.

Полная производнаяdz  z  z dzdx  x  y dydzвычисляется по формуле (9):dx1 112x yx21 21 2yy x  1 x  22 1  x    2 e y 2 x 1  x  ey 2y  x2y 2  x21 x 2.zzсложной функции,иuvзаданной в виде z  x  x 2 sin y , где x  u 2  v 3 ; y  uv.Пример 3. Найти производные22Решение. В данном случае промежуточные переменные x и yявляются дифференцируемыми функциями независимых переменных u и v, поэтому воспользуемся формулами (11)z z x z y,u x u y uz z x z y.v x v y vНаходим частные производные от функции z по промежуточным переменным x и y, частные производные от функции x и y понезависимым переменным u и v:z 1  2 x  sin y ,xz x  x 2 cos y,yx 3v 2 ,vx 2u ,uy v,uy u.vТогда частные производные сложной функцииz 1  2 x  sin y 2u  x  x 2 cos yv u2 2u 1  2u 2  2v 3 sin  uv   v u 2  v3  u 2  v3  cos  uv  ;z 1  2 x  sin y3v 2  x  x 2 cos yu v2 3v 2 1  2u 2  2v 3 sin  uv   u u 2  v3  u 2  v3  cos  uv  .Пример 4.

Найти производныеzzот функции, заданиxyной в виде z  eu  2 v , где u  cos x; v  3 x  y 2 .Решение. Здесь, наоборот, промежуточные переменные u и vявляются дифференцируемыми функциями независимых переменных x и y, поэтому формулы (11) следует записать в видеz z u z v,x u x v xz z u z v.y u y v y23По аналогии с решением примера 3 найдем частные производные от функции z по промежуточным переменным u и v, частныепроизводные от функций u и v по независимым переменным x и y:z eu  2 v ,uu  sin x,xz  2e u  2 v ,vu 0,yv 3,xv 2 y.yОкончательно получимz eu  2 v sin x  2eu  2 v 3  eu  2 v  sin x  6  x ecos x 6 x  2 y  sin x  6  ;22z eu  2v 0  2eu  2v 2 y   4 yeu  2 v   4 yecos x 6 x  2 y .y7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИТеорема.

Пусть уравнение F  x1 , ..., xn , y   0 определяет не-явно заданную функцию y  f  x1 , ..., xn  и выполнены следующие условия:1) сама функция F и ее частные производные непрерывны вокрестности точки M  x1 , ..., xn , y  ;2) F  M   0, Fy  M   0.Тогда функция y  f  x1 , ..., xn  имеет в точке М все частныепроизводные, которые находят по следующим формулам:Fxy 1, x1FyFxFxyy  2 , ..., 3. x2 x3FyFyРассмотрим случай двух переменных. Дана F (x, y, z) = 0 иz = f (x, y). Тогда при выполнении всех условий, изложенных выше,24Fz x,xFzFyz .yFz(12)Пример 1. Найти частные производные функции z = z(x, y),заданной неявно уравнением x 2  y 2  z 2  xy  xz  1  0 в точкеM(1, 0, 2).Решение.

Обозначив левую часть этого уравнения черезF(x, y, z):F  x, y, z   x 2  y 2  z 2  xy  xz  1,найдем частные производные функции F(x, y, z):Fx  x, y, z   2 x  y  z , Fy  x, y, z   2 y  x, Fz  x, y, z    2 z  x.Теперь по формулам (12) найдем частные производные неявной функции z(x, y):FM z2x  y  zM    xx2 z  xFz  M F M z2y  xM    yy2 z  xFz  M MM2 1  0  2 4 ,2  2  132  0 11 .2  2  13Пример 2. Функция z задана неявно уравнениемzzx y.иF  ;   0.

Найтиx  yz zРешение. Введем новые переменные u и v. Положимuxy; v F  u; v   0.zzНайдем частные производные, а затем используем формулы(12):F u F v1F u F v1 Fu ; Fy  Fv ;Fx zu x v xu y v yzFz F u F v x  y  Fu   2   Fv   2  ;u z v z z  z 251FuzFuzz;xyxFu  yFvx F   F u 2v 2zz1FvzFvzz.x F  x  F  yxFu  yFvu 2v 2zzz задана неявно уравнениемzz.F arctg xz ; 3 x  y  0.

Найтииx  yРешение. Введем новые переменные u и v. ПоложимПримерФункция3.u  arctg xz; v Fx x  y  F  u; v   0;z1F u F v; Fu Fv22u x v x1   xz 3 3  x  yFy 1F u F v; Fv2u y v y3 3  x  yFz zx3FuxF u F v Fu;2u z v z1   xz z1   xz 2Fu Fv13 3  x  yx1   xz Fv1222Fv 1   xz 3 3  x  yz.2xy x 33  x  y FFuu21   xz 26Fv 1   xz z ;x F  x 3 3  x  y 2u22Пример 4.

Найти полный дифференциал функции z(x, y), неявно заданной уравнениемxy 2  y xz  cos z  0.yРешение. Обозначив левую часть этого уравнения черезF(x; y; z), найдем частные производные функции F(x; y; z):F  x; y; z   xy 2  y xz  cos z;yFx  y 2  zy xz ln y;Fy  2 xy  xzy xz 1  sin Fz  xy xz ln y  sin z  z    ;y   y2 z 1 .y yТеперь по формулам (12) найдем частные производные неявной функции z(x, y):F   x; y; z z xFz  x; y; z xy 2  zy xz ln y1y xz x ln y  sin yzy;z z2 xy  xzy xz 1  sin   2Fy  x; y; z z yy .yFz  x; y; z z1y xz x ln y  sin  y yПолный дифференциал находим по формулеdz zzdx dy  xyy 2  zy xz ln y1y xz x ln y  sin yzydx 27z z2 xy  xzy xz 1  sin   2 y  y dy.z1y xz x ln y  sin  y y8.

НАХОЖДЕНИЕ ФУНКЦИИПО ЕЕ ПОЛНОМУ ДИФФЕРЕНЦИАЛУВыражение P  x, y  dx  Q  x, y  dy называют дифференциальной формой.Определение. Дифференциальная форма называется полнымдифференциалом, если существует такая функция двух переменных U  x, y  , чтоdU  P  x, y  dx  Q  x, y  dy.Для того чтобы дифференциальная форма(13)P  x, y  dx Q  x, y  dy была полным дифференциалом некоторой функцииU  x, y  , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условиеQ P.yx(14)Пусть дифференциальная форма является полным дифференциалом, тогдаdU uudx dy  P  x, y  dx  Q  x, y  dy.xy(15)Функция U  x, y  может быть найдена следующим образом.U P  x, y  . Интегрируем это выраxжение по х при фиксированном y (y = const):1. Из (15) следует, что28U  x, y  y  const P  x, y  dx    y .(16)Поскольку мы интегрировали по переменной х при фиксированном y, произвольная постоянная   y  будет функцией от y.2.

Неизвестная функция   y  определяется из условияU Q  x, y  ;yy  P  x, y  dx     y   Q  x, y  y y  y   Q  x, y  y  P  x, y  dx .Интегрируя это уравнение, получаем   y      y  dy  C.Подставив   y  в уравнение (16), получим функцию U  x, y  .Очевидно, что искомая функция определена с точностью до произвольной аддитивной постоянной.

Нам достаточно выбрать однуиз функций полученного семейства, например, при С = 0.Пример 1. Проверить, является ли данная дифференциальнаяформа 2 x cos 2 y dx  2 y  x 2 sin 2 y dy полным дифференциаломнекоторой функции, если да, найти ее.Решение. Убедимся в том, что заданная форма является полным дифференциалом:P  x; y   2 x cos 2 y; Q  x; y   2 y  x 2 sin 2 y;P2 x cos 2 y  2 x 2cos y   sin y    2 x sin 2 y;y yQ2 y  x 2 sin 2 y   2 x sin 2 y.x xУсловие (14) выполняется.29Найдем функцию U  x; y  , полный дифференциал которойdU  U x dx  U y dy был бы равен левой части заданного уравнения. В нашем случаеU x  P  x; y   2 x cos 2 y,U y  Q  x; y   2 y  x 2 sin 2 y.Проинтегрируем первое соотношение по переменной x, считаяy фиксированной.