Методичка по ФНП

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаИ.Г. Зорина, Т.И. Лапшенкова,А.Л. СунчалинаФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХМетодические указанияк выполнению типового расчетаМоскваИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана20131УДК 517.9ББК 22.161Ф94Рецензент И.Л. ПокровскийФ94Функции нескольких переменных: метод. указания к выполнению типового расчета / И.

Г. Зорина, Т. И. Лапшенкова, А. Л. Сунчалина ; под ред. И. О. Янова. М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,2013. — 61, [3] с.: ил.ISBN 978-5-7038-3677-4Приведены краткие теоретические сведения по теме «Функциинескольких переменных», разобрано большое число детально решенных типовых примеров, которые предполагают глубокое понимание теоретического материала. Приведены задачи типовогорасчета.Для самостоятельной работы студентов, изучающих функциинескольких переменных.Рекомендовано Учебно-методической комиссией Научно-учебного комплекса «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э. Баумана.УДК 517.9ББК 22.161ISBN 978-5-7038-3677-42© МГТУ им.

Н.Э. Баумана, 2013ВВЕДЕНИЕРаздел математического анализа «Функции нескольких переменных», который более точно можно назвать «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных», является продолжением раздела «Дифференциальное исчисление (функцииодной переменной)» и служит фундаментом при изучении последующих частей математического анализа, таких как «Кратныеинтегралы», «Численные методы», «Уравнения математическойфизики» и др.

Кроме того, некоторые задачи раздела «Функциинескольких переменных» могут найти непосредственное применение на практике, например, поиск экстремума функции нескольких переменных, интерполирование функций по методунаименьших квадратов и интерполирование сплайнами, вариационное исчисление и т.

д.1. ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХОпределение. Скалярной функцией векторного аргументаназывают закон f, по которому каждой точке X   x1 ,..., xn  некоторого множества D из n-мерного вещественного арифметическогопространства  n поставлено в соответствие единственное вещественное число y  f X . Функцию y  f  x1 ,..., xn  , где f : D  , также называют функцией n переменных, или функциейнескольких переменных (ФНП).Множество D называют областью определения ФНП, а множество E   y y  f  x1 ,..., xn  ,  x1 ,..., xn   D — областью значе3ний ФНП.

Если ФНП задана формулой, то можно найти ее естественнуюобластьопределения,состоящуюизвсехX   x1 ,..., xn  , для которых определена f X , т. е. справедлива формула, задающая эту функцию, так как в нее входят только известные элементарные функции, введенные для одной переменной. Используя известные области допустимых значений этихэлементарных функций, получаем область определения ФНП впространстве  n , записанную в виде системы неравенств. Изобразить эту область можно на плоскости для n  2 или в обычномтрехмерном пространстве для n  3.Пример 1. Найти область определения функции z =1 x 1 y.ln  x  y Решение.

Запишем систему ограничений x  1, y  1, x  y  0, x  y  1.Изобразим эту систему на плоскости.Для этого заменим все неравенства наравенства, по полученным уравнениямпостроим соответствующие линии, затем с помощью пробных точек установим, где лежит искомая область D(рис. 1).Линии, входящие в область D, изобразим сплошными линиями, а не входящие — пунктирными. Точки А(1; 0)Рис. 1и В(0; 1) — точки разрыва, отрезок АВцеликом состоит из точек разрыва и называется линией разрыва.Определение. Графиком функции f : D   называется множество Г 4 x , ..., x , y   1nn 1  x1 , ..., xn   D, y  f  x1 , ..., xn  .График Г описывает множество точек в (n + 1)-мерном пространстве, координаты которых удовлетворяют уравнению у = f  x1 , x2 , ..., xn  .

Графиком функции двух переменных, т. е.z  f  x, y  ,2является поверхность. Например, для функции2z  x  y — это параболоид вращения с осью вращения OZ.Существует и другой способ графической интерпретацииФНП.Определение. Пусть дана функция n-переменных у = f (x1, x2,…, xn). Множество x , x , ..., x   D  12nnf  x1, x2 , ..., xn   constназывается поверхностью уровня.Для функции двух переменных z  f  x, y  получаем линииуровня Г C  x, y  f  x, y   C, C  E  .Каждая из этих линий представляет собой кривую на плоскости XOY, лежащую в области D, во всех точках которой функцияz  f  x, y  имеет постоянное значение С. Линии уровня ГС можнополучить из графика функции Г путем сечения его плоскостямиz = C, проецируя полученные линии пересечения на плоскостьXOY.

По линиям уровня на плоскости, наоборот, можно представить себе график функции в пространстве, если каждую линиюуровня ГС на плоскости z  0 поднять на С единиц, т. е. расположить ее на плоскости z = C. Таким образом, можно изобразить любую поверхность в пространстве в виде семейства линий уровня наплоскости. Это используется, например, в географических картахдля изображения рельефа местности.Рассмотрим функцию z  x 2  y 2 .

Линии уровня для этойфункции — окружности x 2  y 2  C  C  0  с центром в началекоординат и радиусамиC . Если каждую окружность радиусомC поднять на С (по оси OZ), то можно представить себе параболоид вращения, т. е. график исходной функции.Для функции трех переменных u  f  x, y, z  получаем поверхности уровня Г C  x, y, z  f  x, y, z   C , C  E  .Например,функция u  x  y  z имеет поверхности уровня x  y  z  C ,5C  . Они представляют собой параллельные плоскости, отсекающие от осей координат одинаковые отрезки, равные С.

Еслиизобразить эти плоскости и указать на каждой значение С, т. е. u(u = C), то можно получить какое-то представление о распределении физического параметра u (например, температуры) по всемупространству как о функции трех переменных.Пример 2. Используя линии уровня, найти минимальное имаксимальное значения функции z  x 2  y 2 в области определения функции g  x, y   arcsin  x  2   arccosy.2Решение. Линии уровня функции z  x 2  y 2 есть окружностиx 2  y 2  C  C  0  .

Запишем область допустимых значений дру x  2  1, 1  x  3,или гой функции:  y2  y  2. 2 1Получим прямоугольник со сторонами x  1, x  3, y  2,y  2, причем границы входят в область D. Изобразим эту областьи линии уровня для С = 0 и С = 1 на плоскости (рис. 2).Рис. 2Линии уровня С = 1 касаются границы области D и соответствуют минимальному значению функции zmin = 1, так как меньшиезначения не входят в область D. На рис. 2 пунктиром показана ли6ния уровня, соответствующая С < 1 (z < 1). Она не пересекается собластью, поэтому не существует значения z < 1, т.

е. минимумфункции в области D zmin = 1. Для определения zmax надо найти линию уровня с максимальным С, которая пересекает область D хотябы в одной точке, а любая линия уровня, соответствующая большему значению С, не пересекает область D. Такой линией уровняявляется x 2  y 2  13, т. е. окружность радиусом 13. Радиус равен длине ОА или ОВ.

Координаты точки А(3; 2), отсюда ОА = 32  22  13, zmax  13. Этот максимум достигается в точкеА(3; 2) или В(3; –2). Минимум zmin = 1 достигается в точке (1; 0).2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕПусть внутренняя точка M   x1 , ..., xn  принадлежит областиD   n задания функции y  f  x1 , ..., xn  .Если всем аргументам придать произвольные приращенияx1 , x2 , ..., xn так, чтобы точка  x1  x1 , x2  x2 , ..., xn  xn оставалась в области задания функции, то величина y  f  x1   x1 ,.., xi   xi ,..., xn   xn   f  x1 , .., xi , ..., xn получитназвание полного приращения или просто приращения функцииy  f  x1 ,.., xn  в точке M   x1 , ..., xn  .Зафиксируем все аргументы, кроме одного, например,xi  i  1 n  , и аргументу xi придадим произвольное приращение xi так, чтобы точка X   x1 , .., xi  xi , ..., xn  находилась в области задания этой функции.Величинаy xi  f  x1 , ..., xi   xi , ..., xn  Определение. f  x1 , ..., xi , ..., xn  называется частным приращением функциинескольких переменных по xi .Если же всем аргументам придать произвольные приращенияx1 , x2 , ...,  xn так, чтобы точка  x1  x1, x2   x2 , ..., xn   xn  оста7валась в области задания функции, то полным приращением или просто приращением функции y  f  x1, ..., xn  в точке M   x1 , ..., xn называетсявеличина f  x1 , ..., xi , ..., xn  .y  f  x1  x1 , ..., xi   xi , ..., xn   xn  Определение.

Частной производной функции y  f  x1 , ..., xn в точке M  x1 , ..., xn  по аргументу xi называется предел (если онсуществует и конечен) отношения частного приращения y xiфункции в точке М к соответствующему приращению  xi аргуy xiy lim.мента в этой точке при xi  0 :xi xi 0  xiyf, y xi , f xi .применяют также обозначенияxixiПомимоВидим, что частная производная по аргументу xi представляетсобой обыкновенную производную функции одной переменной xiпри фиксированных значениях остальных переменных.