Методичка по ФНП, страница 4

При этом постоянная интегрирования можетзависеть от y, т. е. появляется неизвестная функция y:U 222  2 x cos y  dx  x cos y    y .Дифференцируя это равенство по переменной y и подставляяво второе соотношение U y  2 y  x 2 sin 2 y, найдем сначала   y  ,а затем и   y  :x2cos 2 y    y y 2 y  x 2 sin 2 y  x 2 2cos y   sin y     y   2 y  x 2 sin 2 y   x 2 sin 2 y    y   2 y  x 2 sin 2 y    y   2 y    y   y 2  C0 ,где положим C0 = 0.Следовательно, искомая функция U  x; y   x 2 cos 2 y  y 2 .9. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬИ НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИКасательной плоскостью кповерхности в точкеM 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) называют плоскость, содержащую все касательныек кривым, проведенным на поверхности через точку M 0 .30Нормалью к поверхности в точке M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) называютпрямую, проходящую через точку касания M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) и перпендикулярную касательной плоскости.Определение. Касательная плоскость к поверхности S в точкеM 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) — это плоскость, проходящая через точку M 0 ихарактеризующаяся тем свойством, что расстояние от этой плоскости до переменной точки M поверхности S при M  M0 являетсябесконечно малой более высокого порядка малости по сравнениюс расстоянием M 0 M .Если поверхность задана уравнением F ( x; y; z )  0, т.

е. является поверхностью уровня (С = 0) функции трех переменныхF ( x; y; z ), проходящей через данную точку М0, то из свойств градиента известно, что эта поверхность в точке перпендикулярнаградиенту grad F  M 0  , который будет нормальным вектором искомой касательной плоскости. Используя координаты нормального вектора и координаты точки, запишем уравнение касательнойплоскости в точке M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) к поверхности: F  F  F   y  y0     x  x0     z  z0   0, x M 0 z M 0 y M 0(17) F  F  F где  , , — значения частных производных x M 0  y M 0  z M 0в точке M 0 , т.

е. числа; x, y, z — текущие координаты точки касательной плоскости.Нормаль определяется уравнениями прямой, проходящей через точку M 0 параллельно вектору grad F  M 0  ,x  x0y  y0z  z0, F  F  F  x M 0  y M z M 00(18)где x, y, z — текущие координаты точки нормали.31Если уравнение поверхности задано в явном виде z  f ( x; y ), z z,  1 и уравнение касато F  f  x, y   z  0, gradF   , x yтельной плоскости в точке M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) (17) принимает вид z z   x  x0     x M 0 y M z  z0    y  y0  ,(19)0а уравнение нормали (18) —x  x0y  y0z  z0.z1  z    x M 0  y M0(20)Замечание.

В некоторых точках поверхности (они называются особыми) может не существовать касательной плоскости. В таких точкахкасательные могут не лежать в одной плоскости или их не существует.Например, z x 2  y 2 — коническая поверхность. Вершина ее являет-ся особой точкой.

Касательной плоскости к поверхности в этой точке несуществует.Пример 1. Найти уравнения касательной плоскости и нормалик поверхности z  ln x 2  y 2 в точке M 0 1; 0; 0  .Решение. Уравнение поверхности задано в явном виде, поэтому следует воспользоваться формулами (19) и (20).Найдем частные производные2xz,x x2  y 22yzy x 2  y 2и их значения в точке M 0 1; 0; 0  : z  z    2  1  2,    0. x M0 y M0Подставляя в формулы (19) и (20) координаты точки M 0 инайденные значения частных производных в этой точке, получимуравнение касательной плоскости322  x  1  0  y  0   1 z  0   0  2 x  z  2  0и уравнение нормали к заданной поверхностиx 1 yz .20 1Пример 2. Найти уравнение такой нормали к поверхностиx 2  z 2  2 x  4 y  1  0, x  2 y  z  1  0,которая параллельна прямой  3 x  5 y  5 z  7  0.Решение.

Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Найдем ее направляющий вектор, как векторное произведение нормальных векторов этих плоскостей:  i j k    s  n1  n2  1 2  1  5i  2 j  k .3  5 5В силу того, что прямая параллельна нормали, ее направляющий вектор s служит и направляющим вектором n нормали.Пусть искомая нормаль проходит через точку M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ),принадлежащую поверхности F  x; y; z   x 2  z 2  2 x  4 y  1  0.Вычислив значения частных производных в точке M 0 F    2x  2 x M 0M0 F  2 x0  2,   4, y M 0 F   2 z z M 0M0  2 z0 ,найдем координаты направляющего вектора нормали n  2 x0  2; 4;  2 z0 .Так как вектор n коллинеарен вектору s , то их соответствующие координаты пропорциональны, т.

е.332 x0  24  2 z0,512отсюда находим x0   4, z0  1. Осталось определить ординатуточки M 0 . Так как точка M 0 принадлежит поверхности, ее координаты удовлетворяют уравнению поверхности F  x; y; z   0.Подставляя x0   4, z0  1 в уравнение поверхности, найдем16  1  8  4 y0  1  0  4 y0   24  y0   6.Таким образом, M 0   4;  6;1 .Используя координаты направляющего вектора нормали s иточки M 0 , запишем канонические уравнения искомой нормали:x  4 y  6 z 1.512Пример 3. Составить уравнение такой касательной плоскостик эллипсоиду x 2  2 y 2  z 2  10, которая параллельна плоскостиx  y  z  1.Решение. Запишем уравнение заданной поверхности в видеF  x; y; z   x 2  2 y 2  z 2  10  0.Частные производные от функции F  x; y; z  по переменнымx, y, zF 2 x,xF 4 y,yF 2 z.zПусть M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) — точка касания, в которой касательная плоскость параллельна плоскости x  y  z  1.

Найдем зна- F  F чения производных в этой точке:    2x0 ,    4 y0 , x M0 y M0 F   2 z0 . z M 034Получим нормальный вектор касательной плоскости, которыйбудет коллинеарен нормальному вектору данной плоскости (1, –1, 1),отсюда2 x0 4 y0 2 z0 x0   2 y0 ,111z0   2 y0 .Так как точка M 0 лежит на эллипсоиде x 2  2 y 2  z 2  10, тоее координаты удовлетворяют уравнению этой поверхности. Подставляя сюда x0   2 y0 и z0   2 y0 , найдем у0:  2 y0 2 2 y02    2 y0   10  10 y02  10  y0   1,2отсюда x0   2, z0   2.Таким образом, существуют две точки M 01  2;  1; 2  иМ02(–2; 1; –2), через которые могут быть проведены касательныеплоскости, параллельные плоскости x  y  z  1. Используя координаты нормального вектора данной плоскости (1, –1, 1) и координаты точек M01 и M02, запишем уравнения обеих касательныхплоскостей:1 x  2     1 y  1  1 z  2   0  x  y  z  5  0,1 x  2     1 y  1  1 z  2   0  x  y  z  5  0.10.

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХПусть f  f  x1 , x2 , ..., xn  — функция n переменных, определенная на множестве D  R n , а M 0 — внутренняя точка множества D.Определение. Точка M 0 называется точкой локальногомаксимума (минимума) функции f, если существует такая проко35лотая окрестность этой точки, что для любой точкиM  x1 , x2 , ..., xn  из этой окрестности выполняется неравенствоf (M 0 )  f (M ) f (M 0 ) f ( M )  . Причем равенство возможнотолько в случае M  M 0 . Точки локального максимума и минимума функции называют точками локального экстремума функции.Теорема (необходимые условия экстремума ФНП).

Пустьфункция y  f  x  имеет локальный экстремум в точке x 0 . Тогдаfi  1, n в точке x 0 , xif 0x  0 i  1, n .то они все обращаются в нуль в этой точке: xiНапомним, что второй дифференциал функции y = f  x1 , x2 , ..., xn  представляет собой квадратичную форму отдифференциалов независимых переменных с матрицей Гессеn n2 fd 2 y  d 2 f  dxi dx j .i 1 j 1  xi  x jТочки, в которых все частные производные первого порядкаравны нулю, называют стационарными.Теорема (достаточное условие локального экстремумаФНП).

Пусть функция y  f  x  имеет в n-мерной областиесли существуют частные производные D   n все непрерывные частные производные до второго поряд-ка включительно. И пусть x 0  x10 , x20 , ..., xn0— стационарнаяточка этой функции. Тогда если квадратичная форма, определяемая матрицей Гессе данной функции, в стационарной точке х0 является знакоопределенной, то функция в ней имеет экстремум:  максимум, если d 2 y x 0  0, и минимум, если d 2 y x 0  0.В случае функции u = f (x; y; z) трех независимых переменныхвведем следующие обозначения частных производных в стационарной точке M 0 :36  2u   2u   2u aa;; 2 2 2   a33 ;1122 x M 0 y M 0 z M 0  2u   a12  a21 ;  x y  M 0  2u   2u   a13  a31 ;   a23  a32 ;  x z  M 0  y z  M 01  a11 ;2 a11 a12a21 a22a11 a12 a13; 3  a21 a22 a23 .a31 a32 a33Достаточные условия наличия экстремума в стационарнойточке для функции u = f (x; y; z) трех независимых переменныхможно сформулировать следующим образом.Пусть M 0 — стационарная точка функции u = f (x; y; z).

Тогда  2u 2 M0 x  2uGM  x y 0 2  u  x z M 0 2u x y 2uy 2 2u y zM0M0M02 uM0  y z2 uM z 2 0  2u x zM0— матрица, составленная из вторых частных производных функции в точке M0.Если все угловые (главные) миноры1 матрицы G положительны:Δ1 > 0; Δ2 > 0; Δ3 > 0,(21)то в точке M 0 — минимум (локальный)._____________1Угловым минором порядка k квадратной матрицы называют минор, образованный ее первыми k строками и первыми k столбцами. Эти миноры часто называют главными.37Если знаки угловых миноров матрицы чередуются, причемпервый минор отрицательный:Δ1 < 0; Δ2 > 0; Δ3 < 0,(22)то в точке M 0 — максимум (локальный).Достаточные условия отсутствия экстремума в стационарной точке функции n переменных. Функция n переменных неимеет экстремума в стационарной точке, когда для матрицы Гесса, составленной из вторых частных производных функции в этойточке выполнено хотя бы одно из условий:а) один из главных миноров четного порядка — отрицательный;б) два угловых минора нечетного порядка имеют разные знаки.В случае функции двух переменных достаточные условия экстремума формулируются следующим образом.

Пусть M 0 ( x0 ; y0 ) —стационарная точка функции z  f ( x; y ), причем эта функциядважды дифференцируема в некоторой окрестности точки M 0 и всеее вторые частные производные непрерывны в точке M 0 . Исследуем ее по знаку определителя, составленного из вторых частных производных функции z  f ( x; y ) :где2 zx2M02 zx22 z x y A;M0M02 z x yM02 z x y2 zy 2 B;M0A B AC  B 2 ,B CM02 zy 2M0 C.Если Δ > 0, то функция f (x; y) имеет в точке M 0 экстремум:минимум при A > 0 (C > 0) и максимум при A < 0 (C < 0).Если Δ < 0, то в точке M 0 экстремума нет.Если Δ = 0, то для решения вопроса о наличии или отсутствииэкстремума в точке M 0 требуется дальнейшее исследование,например, по знаку приращения функции Δƒ вблизи этой точки.38Пример 1.

Найти экстремум функции двух переменныхz  2 x3  y 3  6 x  12 y  3.Решение. Находим частные производные первого порядкаz 6 x 2  6,xz 3 y 2  12.yПриравняем их нулю и получим систему для определения стационарных точек: z2  x  0, x   1,6 x  6  0,  z 2 y   2.  0,3 y  12  0, yТаким образом, заданная функция имеет четыре стационарныеточки:M 1 1; 2  , M 2   1;  2  , M 3   1; 2  , M 4 1;  2  .Далее исследуем стационарные точки M1, M2, M3 и M4 по знакуопределителя Δ, составленного из частных производных второгопорядка:2 z A  12 x,x22 z C  6 y,y 22 z B  0. x yДля точки M1 получимA  12 xx 1 6; C  6 yy  2  12;B  0;Δ = AC – B2 = 72 > 0.Так как Δ > 0, то в точке M1 находится экстремум, а посколькуA = 6 > 0, то M1 — точка минимума.Для точки M2 имеемA  12 xx  1  6; C  6 yy  2  12; B  0;  AC  B 2    6   12   0  72  0.39В точке M2 также Δ > 0, т.