Диссертация (Рождение глюонов при взаимодействии двух или трех реджеонов в КХД в формализме эффективного действия), страница 4

 ìóëüòèðåäæåâñêîé êèíåìà-òèêå äëÿ ðåàëüíîãî ãëþîíà â öåíòðàëüíîé îáëàñòè âûïîëíÿåòñÿK+ =√s ≈ K+0 >> p+ ≈ k+ >> ki+ ≈ 0,√s >> p− ∼ ki− >> k− = −K−0 ≈ 0,K⊥0 = −k⊥ ∼ p⊥ ∼ ki⊥ <<ãäåK0- èìïóëüñ ñíàðÿäà ïîñëå ðàññåÿíèÿ, àêèíåìàòèêå2.2222k 2 ≈ k⊥, ki ≈ ki⊥ .Ýôôåêòèâíàÿ R√s,K− = 0,K⊥ = 0,k = K − K0(2.1)ïåðåäàííûé èìïóëüñ.  ýòîéÊâàðêè ñ÷èòàåì áåçìàññîâûìè.→RRRPâåðøèíàÀìïëèòóäà ðîæäåíèÿ ãëþîíà èç âåðøèíû R→RRRP ñ îäíîêðàòíûì âçàèìîäåéñòâèåìêâàðêà-ñíàðÿäà ñîîòâåòñòâóåò äèàãðàììå, èçîáðàæåííîé íà Ðèñ.2.1. Ïîëíàÿ ýôôåêòèâ- 20 K′Kkpk3k2k1Ðèñ. 2.1: Äèàãðàììà ñ îäèíàðíûì âçàèìîäåéñòâèåì ñî ñíàðÿäîìíàÿ âåðøèíà R→RRRP åñòü ñóììà íåñêîëüêèõ âêëàäîâ, ïîêàçàííûõ íà Ðèñ. 2.2.

Êâàðêèè ðåàëüíûé ãëþîí èçîáðàæåíû ïðÿìûìè ëèíèÿìè, à ðåäæåîíû - âîëíèñòûìè ëèíèÿìè.Âåðøèíà äîëæíà áûòü ñèììåòðèçîâàííîé ïî îòíîøåíèþ ê òðåì âûõîäÿùèì ðåäæåîíàì.Âñå äèàãðàììû â ýòîì è ïîñëåäóþùèõ ðàçäåëàõ ñîäåðæàò îáùèé ìíîæèòåëü, ïðîèñõîäÿùèé îò òðåõ ðåäæåîííûõ ïðîïàãàòîðîâ. Ýòîò ìíîæèòåëü2228/(k1⊥k2⊥k3⊥)â äàëüíåéøåìáóäåò îïóñêàòüñÿ.2.2.1Äèàãðàììà 1Äèàãðàììà 1 íà ðèñ. 2.2 åñòü ñâåðòêà äâóõ âåðøèí P→RP âåðøèí ñ âåðøèíîé Ëèïàòîâà1.2 è äâóìÿ ïðîïàãàòîðàìè âèðòóàëüíûõ ãëþîíîâ. Âåðøèíà P→RP áûëà íàéäåíà ðàíåå âðàáîòå [15]. Äëÿ íàøåãî ñëó÷àÿVP →RP =Çäåñük32 + + gf b3 ad +− 2p+ gµσ + (p + 2k3 )µ n++(p−k)n+n n ,3 σ µσ2p+ µ σr = k − k1 − k2 = p + k3 . Òàê ÷òî r+ = p+ = k+è(2.2)r− = −k1− − k2− .

Äëÿ ãëþîííûõ ïðî-ïàãàòîðîâ âûáèðàåì ôåéíìàíîâñêóþ êàëèáðîâêó. Òàêèì îáðàçîì, äèàãðàììà îêàçûâàåòñÿ 21 123kkpkpk3k2k1pk3k24k1k3k2k15kkppk3k2k1k3k2k1Ðèñ. 2.2: Äèàãðàììû R→RRRP ýôôåêòèâíîé âåðøèíûðàâíîéD1 =Èñïîëüçóÿ∗µgf b3 ad k32 + + ++·− 2p+ gµσ + (p + 2k3 )µ nσ + (p − k3 )σ nµ +n n2p+ µ σgf b2 dc−i···(k − k1 − k2 )2 + i02k22 + + +n n− 2r+ gσλ + (r + 2k2 )σ n++(r−k)n+2 λ σλr+ σ λ−igf bb1 c···(k − k1 )2 + i02 2 2 k1k+kλ + k1λ +− k1− nλ +− k+ n−λ =k+k1−g 3 f bb1 c f cb2 d f db3 a·((k − k1 )2 + i0)((k − k1 − k2 )2 + i0)2k+ k⊥2∗∗∗−k+ (k1 + p + k2 + k3 ) +· (p + k2 + k3 ) .k1−(ki ) = (ki )⊥ , i = 1, 2, 3è(p) = 0,(2.3)îêîí÷àòåëüíî íàõîäèì2g 3 f bb1 c f cb2 d f db3 ak+ k⊥2∗D1 =−k+ (k )⊥ +· (k − k1 ) ,((k − k1 )2 + i0)((k − k1 − k2 )2 + i0)k1−ïëþñ ïåðåñòàíîâêè âñåõ òðåõ âûõîäÿùèõ ðåäæåîíîâ.(2.4) 22 2.2.2Äèàãðàììû 2 è 3Ñõîäíûå äèàãðàììû 2 è 3 íà ðèñ. 2.2 ðàçëè÷àþòñÿ òåì ÷òî äèàãðàììà 2 èñïîëüçóåò ñòàíäàðòíóþ ÷åòâåðíóþ ÊÕÄ âåðøèíó R→RRP , à äèàãðàììà 3 ñîäåðæèò èíäóöèðîâàííóþâåðøèíó R→RRP.

Âêëàäû ýòèõ äâóõ âåðøèí òàêæå áûëè íàéäåíà ðàíåå â ðàáîòå 2 −2 −nσig 2 bb1 c cb2 d 2k⊥+bb2 c cb1 d 2k⊥ nσ+f f− nσ + f f− nσ ,4r− k1−r− k2−ãäår− = −k1− − k2− .[15]:(2.5)Ó÷èòûâàÿ äàëüíåéøóþ ñèììåòðèçàöèþ ïî ðåäæåîíàì äîñòàòî÷íîâçÿòü òîëüêî ïåðâûé ÷ëåí â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ.Ñâîðà÷èâàÿ âåðøèíó P→RP èç (2.2), ãëþîííûé ïðîïàãàòîð è âûðàæåíèå (2.5), íàõîäèìgf b3 ad k32 + + +− 2p+ gµσ + (p + 2k3 )µ n++(p−k)n+n n3σσµ2p+ µ σ2 −2k⊥nσ−iig 2 bb1 c cb2 d+−×f f− nσ·(k − k1 − k2 )2 + i0 4(k1 + k2 )− k1−D2+3 = ∗µ ·=−2.2.32 ∗g 3 f bb1 c f cb2 d f db3 ak⊥( , k − k1 − k2 )⊥·.2(k − k1 − k2 ) + i0k1− (k1− + k2− )(2.6)Äèàãðàììà 4 äèàãðàììó 4 íà ðèñ.

2.2 âõîäèò íîâàÿ âåðøèíà P→RRP. Íóæíûé ÷ëåí â ëàãðàíæèàíå ýôôåêòèâíîãî äåéñòâèÿ ïðîèñõîäèò îò ÷åòûðåõ-ãëþîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ÊÕÄ ïðèñäâèãåV →V +A−g2g2tr ([V+ , A− ][V+ , A− ]) + · · · = − f cb2 d f db3 a V+a V+c Ab−2 Ab−3 + · · ·48(2.7)è ãåíåðèðóåò âåðøèíóVP →RRPg 2 cb2 d db3 a+f f+ f cb3 d f db2 a n+= −iµ nλ4(2.8)ñ ó÷åòîì ñèììåòðèçàöèè ïî ïåðåñòàíîâêàì ãëþîíîâ è ðåäæåîíîâ (îòìåòèì, ÷òî ñëàãàåìîå< A− A− Vµ Vλ >îòñóòñòâóåò â èíäóöèðîâàííîé ÷àñòè (1.5)).∗Çàìåòèì, ÷òî â êàëèáðîâêå +ïðîèçâåäåíèå= 0 äèàãðàììà 4 íå äàåò âêëàäà, ïîñêîëüêó îíà ñîäåðæèò∗ n+ = 0:−igf bb1 c−ig 2 cb2 d db3 a+f f+ f cb3 d f db2 a n+n·µ λ4(k − k1 )2 + i02 2 2 k1k+× kλ + k1λ +− k1− nλ +− k+ n−λ .k+k1−D4 = ∗µ ·(2.9) 23 2.2.4Äèàãðàììà 5 äèàãðàììå 5 íà ðèñ.

2.2 èñïîëüçóåòñÿ èíäóöèðîâàííàÿ âåðøèíà R→RRRPD5 =< Ab+ (k)V−a (p)Ab−1 (k1 )Ab−2 (k2 )Ab−3 (k3 ) >,Îíà ïðîèñõîäèò îò ÷ëåíà ëèíåéíîãî ïî(2.10)V− ÷àñòè ïëîòíîñòè ëàãðàíæèàíà èíäóöèðîâàííîãîäåéñòâèÿ−g 3 tr(A+ ∂⊥2 (V + A)− ∂−−1 (V + A)− ∂−−1 (V + A)− ∂−−1 (V + A)− )(2.11)èç ïëîòíîñòè ëàãðàíæèàíà (1.5) ýôôåêòèâíîé òåîðèè. Óäîáíî îáîçíà÷èòü èìïóëüñè öâåòîâîé èíäåêñb 4 = a.Òîãäà èíäóöèðîâàííàÿ âåðøèíà îêàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîéïî îòíîøåíèþ ê îäíîâðåìåííîé ïåðåñòàíîâêå èìïóëüñîâââåäåìP123 ,k4 = pk1,2,3,4è öâåòîâb1,2,3,4 .Òàêæåêîòîðîå îçíà÷àåò äîïîëíèòåëüíûå âêëàäû, ïîëó÷àåìûå âñåìè âîçìîæíûìèïåðåñòàíîâêàìè (1,2,3). Íàõîäèì 24 ÷ëåíà âèäàtr(tb tb1 tb2 tb3 tb4 )tr(tb tb1 tb2 tb3 tb4 )=−.(k2− + k3− + k4− )(k3− + k4− )k4−k1− (k3− + k4− )k4−(2.12)Äàëüíåéøèå âû÷èñëåíèÿ âûïîëíÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî, íî òðåáóþò äîâîëüíî ãðîìîçäêèõ ïðåîáðàçîâàíèé öâåòíûõ ìíîæèòåëåé. Îòñûëàÿ ÷èòàòåëÿ ê ïðèëîæåíèþ â îðèãèíàëüíîé ðàáîòå[18] ìû ïðèâîäèì çäåñü òîëüêî îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàòD5ind = g 3ãäåP123 ,(∗ p)⊥ 2 f bb1 c f cb2 d f db3 ak+ P123 ,p2⊥ ⊥ k1− (k1− + k2− )(2.13)êàê è áûëî óêàçàíî âûøå, îçíà÷àåò äîïîëíèòåëüíûå âêëàäû, ïîëó÷àåìûå âñåìèâîçìîæíûìè ïåðåñòàíîâêàìè (1,2,3).2.2.5Ïîëíàÿ âåðøèíà R→RRRPÍåñêîëüêî ïðåîáðàçóÿ ïîëó÷åííûå ÷àñòè âåðøèíû R→RRRP ìû èìååìD1 = −g 3 f b3 ad f b2 dc f bb1 c8[(k − k1 )2 + i0][(k − k1 − k2 )2 + i0](4p2+ (−2r − 4k2 − p − 2k3 )µ + p+ n+µ (k2 + k3 − 3p)(k + k1 )+ 2k1+2222 +p+ nµ (−k2 − 2k3 + p + 2k2 p − 2k2 k3 ) + p+ nµ− k1− +k+ 2k− k+ (2p+ (−2r − 4k2 − p − 2k3 )µ + 4p2+ n−µ+k1−+222p+ n+µ (−3r + k2 + 4k3 )− + 2nµ (−k2 − 2k3 + p + 2k2 p − 2k2 k3 ))).×àñòü, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðèñ.

2.2.2 è ðèñ. 2.2.3,(2.14) 24 D2+3 =2 −24p+ k⊥nµg 3 f b3 ad f b2 dc f bb1 c4k⊥(p + 2k3 )µ−−28[(k − k1 − k2 ) + i0] (k1 + k2 )− k1−(k1 + k2 )− k1−2 +2 +2(p − k3 )− k⊥nµ4k32 k⊥nµ−+ p+ n+µ .(k1 + k2 )− k1−p+ (k1 + k2 )− k1−(2.15)×àñòü, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðèñ. 2.2.4−ig 2 cb2 d db3 a+D4 =f f+ f cb3 d f db2 a n+µ nλ4gf bb1 c−i·×(k − k1 )2 + i02 2 2k1kkλ + k1λ +− k1− n+− k+ n−λ +λ =k+k1−2 +2k⊥nµg 3 f b3 ad f b2 dc f bb1 c+−pn+µ8[(k − k1 )2 + i0]k1−(2.16)è2 −D5 = −ig 3 k⊥nµÏîëíàÿ âåðøèíà2.2.6VR→RRRPåñòü ñóììàÏîïåðå÷íîñòü âåðøèíûÑâîðà÷èâàÿ âåðøèíóVR→RRRPi f b3 ad f b2 dc f bb1 c.2p− k1− (k2− + k1− )(2.17)D1 + D2+3 + D4 + D5VR→RRRPñ èìïóëüñîì èñïóùåííîãî ãëþîíàg 3 f b3 ad f b2 dc f bb1 c(D1 p) =8[(k − k1 )2 + i0][(k − k1 − k2 )2 + i0]22k⊥p+− p2+k1−pµ ,ìû íàõîäèì:(k − k1 )2 + (k − k1 − k2 )2 ,(2.18)g 3 f b3 ad f b2 dc f bb1 c(D2+3+4 p) =8[(k − k1 )2 + i0][(k − k1 − k2 )2 + i0]n 2k 2 po2−2k⊥p+⊥ +222+ p+ (k − k1 ) ++ p+ (k − k1 − k2 )2 ,k1−k1−(2.19)24k⊥p+g 3 f b3 ad f b2 dc f bb1 c(k − k1 )2 .228[(k − k1 ) + i0][(k − k1 − k2 ) + i0] k1−(2.20)(D5 p) = −Ñóììà ýòèõ âûðàæåíèé ðàâíà íóëþ, ÷òî è äîêàçûâàåò ïîïåðå÷íîñòü âåðøèíû.

25 Ïîëíàÿ ýôôåêòèâíàÿ R→RRRP âåðøèíà â àêñèàëüíîé êàëèáðîâêå2.2.7 àêñèàëüíîé êàëèáðîâêå, ñóììèðóÿ âêëàäû âñåõ äèàãðàìì íà ðèñ. 2.2 íàõîäèì(k)((k − k1 + i0)((k − k1 − k2 )2 + i0)2· (k − k1 )k⊥+k+2((k − k1 ) + i0)((k − k1 − k2 )2 + i0)k1−22· (k − k1 − k2 )(p)k⊥k⊥+ 2 ·−(k − k1 − k2 )2 + i0)(k1− + k2− )k1−p⊥ k1− (k1− + k2− )3 bb1 c cb2 d db3 aVR→RRRP = g fff2× −k+)2ïëþñ åùå 5 ÷ëåíîâ ïåðåñòàâëåííûìè èíäåêñàìè 1,2,3 â èìïóëüñàõk1,2,3è öâåòàõ(2.21)b1,2,3 .Óäîáíî ïåðåïèñàòü ýòî âûðàæåíèå, ðàçäåëÿÿ ôåéíìàíîâñêèå ïîëþñà è ïîëþñà ïî ïðîäîëüíûì èìïóëüñàì â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ.

Èìååì1k+1=+,((k − k1 )2 + i0)k1−(k − k1 )2⊥ ((k − k1 )2 + i0) (k − k1 )2⊥ k1−1k+=((k − k1 − k2 )2 + i0)(k1− + k2− )(k − k1 − k2 )2⊥ ((k − k1 − k2 )2 + i0)1+.(k − k1 − k2 )2⊥ (k1− + k2− )(2.22)Ñ ïîìîùüþ ýòèõ òîæäåñòâ âêëàä â àìïëèòóäó îò âåðøèíû R→RRRP ìîæåò áûòü çàïèñàíàâ âèäå ñóììû òð¼õ ÷ëåíîâ:ÇäåñüA1 = g 4 γ+ tb f bb1 c f cb2 d f db3 a (WI + QI + RI ) + P123 .(2.23)2k+B(p, k3 + k2 , k1 ),WI =((k − k1 )2 + i0)((k − k1 − k2 )2 + i0)(2.24)QI = −k+ B(p, k3 , k2 ),k1− ((k − k1 − k2 )2 + i0)RI =(2.25)L(p, k3 ).k1− (k1− + k2− )(2.26)Ìû çàïèøåì (2.23) â âèäå(1)(2)(3)A1 = A1 + A1 + A1 ,ãäå(1)A1åñòü ÷ëåí ñ(2)WI , A1åñòü ÷ëåí ñQIè(3)A1åñòü ÷ëåí ñ(2.27)RI .Äëÿ äàëüíåéøåãî èñïîëüçîâàíèÿ ïîëåçíî ïðåäñòàâèòü öâåòîâîé ìíîæèòåëü (2.23) ââèäå1tb f bb1 c f cb2 d f db3 a = [tb1 , tc ]f cb2 d f db3 a = −[tb1 , [tb2 , td ]]f db3 ai= (tb2 td tb1 + tb1 td tb2 − td tb2 tb1 − tb1 tb2 td )f db3 a .(2.28) 26 K′KpK′Kpk3k2k1k3k2k1Ðèñ.

2.3: Äâóêðàòíîå âçàèìîäåéñòâèå ñî ñíàðÿäîì è ãëþîí, èñïóùåííûé èç âåðøèíû R→RRP.2.3Äâóêðàòíîå âçàèìîäåéñòâèå ñî ñíàðÿäîìÂêëàä îò äâóêðàòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ñî ñíàðÿäîì ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé: èñïóñêàíèåãëþîíà èç âåðøèíû R→RRP, Ðèñ. 2.3, è èç âåðøèíû R→RP, Ðèñ.

2.4.K′KpK′Kpk3k2k1k3k2k1Ðèñ. 2.4: Äâóêðàòíîå âçàèìîäåéñòâèå ñî ñíàðÿäîì è ãëþîí, èñïóùåííûé èç âåðøèíû R→RP.2.3.1Èñïóñêàíèå ãëþîíà èç âåðøèíû R→RRPÂåðøèíà R→RRP áûëà ïîñòðîåíà ðàíåå â ðàáîòå [15]2 cb2 d db3 aVR→RRP = ig f, ãäåP23fL(p, k3 )k+ B(p, k3 , k2 )−+(k − k1 )2⊥ + P232(k − k1 − k2 ) + i0k2−(2.29)îçíà÷àåò âêëàä, ïîëó÷àåìûé ïåðåñòàíîâêîé (2,3). Ââèäó ñèììåòðèè ïî èíäåêñàì2,3 îêîí÷àòåëüíàÿ ñèììåòðèçàöèÿ âêëàäà îò Ðèñ. 2.3 äîëæíà ïðîâîäèòüñÿ òîëüêî äëÿöèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâêè èíäåêñîâ 1,2,3.

27 Ïðè ïîñòðîåíèè àìïëèòóäû, êàê îáñóæäàëîñü â ðàáîòå [16], èç òðåáîâàíèÿ ëîêàëüíîñòèýôôåêòèâíîãî äåéñòâèÿ ïî áûñòðîòå ñëåäóåò, ÷òî â ïðîïàãàòîðàõ ïåðåðàññåèâàþùåãîñÿêâàðêà íåîáõîäèìî îñòàâèòü òîëüêî ÷àñòè, ïðîïîðöèîíàëüíûåδ -ôóíêöèÿì.Ýòî îçíà÷àåòçàìåíóK+K+≈2(K − k1 ) + i0−K+ k1− + (K − k1 )2⊥ + i0≈1K+= −P− iπδ(k1− ) → −iπδ(k1− )−K+ k1− + i0k1−è òàêèì æå îáðàçîìK+0→ −iπδ(k1− ).(K 0 + k1 )2 + i0(2.30)(2.31)Ïîìèìî ïðîïàãàòîðà ôåðìèîííûå ÷àñòè îáåèõ äèàãðàìì íà Ðèñ.

2.3 ñîäåðæàò îáùèéèìïóëüñíûé ìíîæèòåëü(ig)2γ+−i 2γ+γ+i(K̂ − kˆ1 )= −ig 2 (K+ − k1+ ) ≈g K+ γ+ .2222Äîìíîæåííûé íà ïðîïàãàòîð âûõîäÿùåãî ðåäæåîíàèç (2.29) íàõîäèì îêîí÷àòåëüíûé ìíîæèòåëü−2i/(k − k1 )2⊥è ìíîæèòåëü−g 2 K+ γ+ .(2.32)(k − k1 )2⊥Ðàçëè÷èå ìåæäó äâóìÿ äèàãðàììàìè ñâîäèòñÿ òîëüêî ê öâåòîâîìó ìíîæèòåëþ, ðàâíîìótc tb1 f cb2 d f db3 a = −i[tb2 , td ]tb1 f db3 a = −if db3 a (tb2 td tb1 − td tb2 tb1 )(2.33)äëÿ ïåðâîé äèàãðàììû ètb1 tc f cb2 d f db3 a = −itb1 [tb2 , td ]f db3 a = −if db3 a (tb1 tb2 td − tb1 td tb2 )(2.34)äëÿ âòîðîé.Ó÷èòûâàÿ âñå ìíîæèòåëè è ñèììåòðèçàöèþ ïî îòíîøåíèþ ê âûõîäÿùèì ðåäæåîíàì,íàõîäèì îêîí÷àòåëüíîå âûðàæåíèå äëÿ àìïëèòóäû ñ èñïóñêàíèåì ãëþîíà èç âåðøèíûR→RRP:(1)AR→RRP = g 4 γ+ f db3 a (tb2 td tb1 − td tb2 tb1 + tb1 tb2 td − tb1 td tb2 )L(p, k3 )k+ B(p, k3 , k2 )−(−iπδ(k1− )) + P123 .×(k − k1 − k2 )2 + i0k2−(2.35)Äëÿ äàëüíåéøåãî ìû çàïèøåì ýòî âûðàæåíèå â âèäå(1)(1)(2)AR→RRP = A2 + A2 ,(2.36)ãäå ïåðâûé è âòîðîé ÷ëåíû ïðîèñõîäÿò îò ïåðâîãî è âòîðîãî ÷ëåíà â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõñîîòâåòñòâåííî.