Диссертация (Симметрия Вейля и антиинвариантная функция кратности)

Санкт-Петербургский Государственный УниверситетНа правах рукописиПостнова Ольга ВикторовнаСимметрия Вейля и антиинвариантнаяфункция кратности01.04.02 – Теоретическая физикаДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководительд. ф.-м. н., проф.Ляховский Владимир ДмитриевичСанкт-Петербург – 20172ОглавлениеВведение . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Глава 1.4Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1. Алгебры Каца-Муди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2. Квантовые группы . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Глава 2.Литературный обзор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1. Алгебраические методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2. Методы теории интегрируемых систем . . . . . . . . . . .

. . . 32Глава 3.Антиинвариантная функция кратности для фундамен­тальных модулей наименьшей размерности . . . . . . . . . . . 603.1. Общие замечания относительно предлагаемого метода . . . . . 603.2. Построение функции кратности для степеней фундаменталь­ных модулей наименьшей размерности . . . . . . . . . . . . . . 643.3. Свойства антиинвариантной функции кратности .

. . . . . . . 713.4. Доказательство для алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.5. Доказательство для алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.6. Область применимости алгоритма . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Глава 4.Антиинвариантная функция кратности для модулейпроизвольной размерности . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.1. Граф сингулярного элемента модуля и обобщенная (g, ) пира­мида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.2. Алгебра 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.3. Алгебра 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 1044.4. Алгебра 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10634.5. Tензорное произведение фундаментальных и векторныхмодулей алгебры 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.6. Тензорная степень произвольного модуля и мультиномиальныекоэффициенты . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.7. Связь обобщенных (g, ) - пирамид с путями Литтельманна икристаллическими графами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Глава 5.Антиинвариантная функция кратности для градуиро­ванных тензорных произведений . . . . . . . .

. . . . . . . . . . 1275.1. Гипотеза о градуированной антиинвариантной функции крат­ности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.2. Произведение Фейгина-Локтева для фундаментальньного мо­дуля алгебры 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.3. Произведение Фейгина-Локтева для векторного модуля алгеб­ры 2 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484ВведениеКонструкция тензорного произведения пространств широко использу­ется в теоретической физике для описания сложных систем в терминах ихболее простых подсистем.

В случае двух изолированных физических систем1 и 2 (которые, например, находятся настолько далеко, что их взаимодей­ствием можно пренебречь) пространства состояний каждой из систем ℰ1 иℰ2 рассматриваются независимо. Но, если предположить, что совокупностьэтих двух систем формирует одну физическую систему (такой подход необ­ходим, когда системы взаимодействуют друг с другом), тогда пространствосостояний такой системы будет представлять собой тензорное произведениепространств: ℰ = ℰ1 ⊗ ℰ2 , являющимся наиболее общим пространством, вкоторое можно билинейно отобразить оба исходных пространства. Для про­′извольного проcтранства и билинейного отображения ⊗ : ℰ1 × ℰ2 → существует единственное линейное отображение : ℰ1 ⊗ ℰ2 → такое, что′⊗ = · ⊗.Если частицы системы обладают внутренней степенью свободы, напри­мер, спином, то используя разложение тензорного произведения пространствпредставления алгебры симметрии на неприводимые, мы можем разложитьсостояния со многими степенями свободы на линейные комбинации произве­дений одночастичных состояний.Одной из важных моделей теории квантовых интегрируемых систем яв­ляется интегрируемая спиновая цепочка.

Пространство состояний такой си­стемы является тензорным произведением пространств состояний узлов це­⨂︀⨂︀ ⨂︀почки ℰ = ℰ1 ℰ2 · · · ℰ . Модель цепочки, в каждом из узлов которойможет находиться частица со спином, допускающим две различные ориента­ции, была первоначально введена Бете [68] в 1931 году, как простая кванто­вая одномерная модель ферромагнетика с взаимодействием ближайших со­5седей. Пространство ее состояний представляет собой C2⨂︀C2⨂︀···⨂︀C2 .Бете описал собственные вектора этой модели при помощи специальногоанзаца(подстановки), а также получил формулу, позволяющую определитьколичество собственных(бетевских) векторов. В процессе обобщения спино­вой цепочки Бете были открыты новые алгебраические структуры теорииинтегрируемых систем.

Модель спиновой цепочки Бете вошла в качестве изо­тропного, sl2 случая в анизотропную XYZ-модель магнетика Гейзенберга,а метод анзаца Бете был развит в работах по квантовому методу обратнойзадачи, предложенному Л.Д. Фаддеевым и Л.А. Тахтаджяном[70, 72], в ко­торых было разработано алгебраическое обобщение этого метода. Для описа­ния спектра рассматриваемой задачи была использована теория алгебр Ли,в частности, было показано, что в каждом из пространств C2 действует дву­мерное представление алгебры sl2 , а на всей цепочке - его тензорная степень.При помощи квантового метода обратной задачи стало возможным описаниеспектра спиновых цепочек в узлах которых действуют представления другихполупростых алгебр Ли.Актуальность работы.

В последние годы все большее количество за­дач теоретической физики решается при помощи методов теории интегри­руемых систем. Интегрируемые спиновые цепочки возникают в некоторыхрежимах квантовой хромодинамики, в AdS/CFT соответствии, теории кон­денсированного состояния. При изучении спектра спиновой цепочки важноиметь метод, позволяющий определить кратность вырождения собственногосостояния. В данной работе будет рассмотрена задача нахождения кратно­стей вырождения состояний спиновой цепочки, в узлах которой действуетпроизвольное представление полупростой алгебры Ли.

Эта задача тесно свя­зана с разложением тензорного произведения соответствующих модулей ал­гебры на неприводимые.С одной стороны, количество собственных подпространств гамильтониа­6на спиновой цепочки можно найти при помощи разложения тензорного произ­ведения пространств состояний на неприводимые, пользуясь методами, раз­работанными в теории алгебр Ли. Поскольку гамильтониан ℋ интегрируе­мой спиновой цепочки с узлами задается на тензорном произведении про­⨂︀ ⨂︀ ⨂︀странств состояний в узлах цепочки ℰ = ℰ1 ℰ2 · · · ℰ , то в случае,если он инвариантен по отношению к действию алгебры Ли g:[ℋ, ] = 0, ∈ gколичество собственных подпространств, отвечающих одному и тому же соб­ственному значению, совпадает с кратностью (, ) в разложении простран­ства ℰ состояний системы в прямую сумму неприводимых модулей алгеб­ры g: ℰ = ⊕ (, ) .С другой стороны, известно, что собственные вектора спиновой цепоч­ки параметризуются решениями системы алгебраических уравнений Бете [70,72].

В работах А.Н.Кириллова [78, 79] была доказана полнота состояний обоб­щенного магнетика Гейзенберга, параметризуемых числами, удовлетворяю­щими системе уравнений Бете(бетевских векторов). Позже в совместной ра­боте А.Н. Кирилловым и Н.Ю. Решетихиным [76], была получена фермион­ная формула, которая позволяла определять число таких состояний. Еслисистема бетевских векторов полна, то количество решений уравнений Бетебудет совпадать с количеством собственных подпространств данной моделии фермионная формула будет давать кратность в разложении тензорного про­изведения пространств состояний узлов цепочки на неприводимые.

После это­го было опубликовано множество работ, в которых кратность в разложениитензорного произведения модулей изучалась при помощи фермионных фор­мул. Б.Л. Фейгин и С.А. Локтев [18] предложили структуру градуированноготензорного произведения, что позволило различить эквивалентные неприво­димые представления в рассматриваемом разложении. М. Окадо, A.Шиллинг7и М.Шимозоно[62] использовали теорию кристаллических базисов для обоб­щения фермионной формулы на афинные алгебры. В серии работ Р. Кедемс Ф. Ди Франческо доказали[65, 66, 67] аналог формулы Кириллова-Решети­хина для случая произведения Фейгина-Локтева.

Однако, эти формулы до­статочно громоздки и вычисления кратностей вручную с их помощью можноосуществить только для простейших примеров.Цель диссертационной работы.Разработать простой метод подсчета кратностей в разложении тензор­ных степеней модулей полупростой алгебры Ли, позволяющий определятьколичество собственных векторов определенной длины в модели спиновойцепочки Бете и ее обобщениях, в частности для градуированных тензорныхпроизведений.Научная новизна. Введено понятие антиинвариантной относительнопреобразований группы Вейля функции кратности и сформулирован методее построения для фундаментальных модулей.

Предложен эффективный ал­горитм вычисления кратностей в разложении тензорной степеней модулейметодом сужения антиинвариантной функции кратности на главную камеруВейля. Введено понятие обобщенных (g, ) - пирамид, на основе которогосформулирован альтернативный алгоритм нахождения функции кратностидля произвольного модуля полупростой алгебры Ли.Теоретическая и практическая значимость. Результаты работымогут быть использованы для упрощения вычисления кратностей вырожде­ния собственных состояний спиновой цепочки, а также изучения их в термо­динамическом пределе.На защиту выносятся следующие основные результаты и по­ложения:• Введено понятие антиинвариантной относительно преобразований груп­8пы Вейля функции кратности и сформулирован метод вычисления крат­ностей неприводимых компонент для степеней фундаментального моду­ля алгебр серии , .• Проведено исследование асимптотических свойств полученных формулпри −→ ∞, исследования их максимумов, которые нельзя было осу­ществить для кратностей, полученных при помощи других методов.• Сформулирован метод обобщенных (g, ) - пирамид для разложениятензорных степеней произвольного модуля полупростой алгебры Ли иполучены кратности для -й тензорной степени векторного фундамен­тального модуля алгебры 2 , а также кратности неприводимых ком­понент для произведения фундаментальных и векторных модулейалгебры 1 .• Проведено обобщение метода (g, ) - пирамид для нахождения градуи­рованной функции кратности в разложении произведения Фейгина-Лок­тева фундаментальных модулей алгебры 1 .Апробация результатов работы.

Материалы диссертации были пред­ставлены на 5 международных конференциях: CQIS-2011 (24.01.2011-27.01.2011,Дубна), SQS-2011 (18.07.2011-23.07.2011, Дубна), QTS-7 (7.08.2011-13.08.2011,Прага), MQFT-2015(21.09.2015 - 25.09.2016, Санкт-Петербург), Теория пред­ставлений и математическая физика (23.05.2016-27.05.2016, Санкт-Петербург).Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 статей, рекомендо­ванных ВАК РФ и входящих в базы данных Web of Science и Scopus:1.

Kulish P.P., Lyakhovsky V.D., Postnova O.V., Multiplicity function fortensor powers - case, Journal of Physics: Conference Series, Volume343, 2012, 01207092. Kulish P.P., Lyakhovsky V.D., Postnova O.V., Tensor power decomposition case, Journal of Physics: Conference Series, Volume 343, 2012, 0120953.