Диссертация (Аналитико-численные методы исследования скрытых колебаний), страница 2

Ðàçâèòèå ýôôåêòèâíûõ àíàëèòèêî-÷èñëåííûõ ìåòîäîâàíàëèçà ðàçìåðíîñòè ñêðûòûõ è ñàìîâîçáóæäàþùèõñÿ àòòðàêòîðîâ äëÿïîëó÷åíèÿ îöåíîê è òî÷íûõ ôîðìóë ëÿïóíîâñêîé ðàçìåðíîñòè. Ïîñòðîåíèåíåëèíåéíûõ ìîäåëåé ñèñòåì ôàçîâîé àâòîïîäñòðîéêè ñèãíàëîâ äëÿ àíàëèçàóñòîé÷èâîñòè è ñóùåñòâîâàíèÿ â íèõ ñêðûòûõ êîëåáàíèé.Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ.Ìåòîäû ëîêàëèçàöèè ñêðûòûõ êîëåáàíèéâêëþ÷àþò â ñåáÿ ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí âî âðåìåííîìïðîñòðàíñòâå,ñïåöèàëüíûé àíàëîã ìåòîäà ãàðìîíè÷åñêîãî áàëàíñà äëÿêðèòè÷åñêîãî ñëó÷àÿ, ìåòîä ñèíòåçà ñöåíàðèåâ ðîæäåíèÿ ñêðûòûõ êîëåáàíèé,îñíîâàííûé íà ïðîäîëæèìîñòè ïî ïàðàìåòðó.Äëÿ îöåíêè ðàçìåðíîñòè ñàìîâîçáóæäàþùèõñÿ è ñêðûòûõ àòòðàêòîðîâïðèìåíÿëñÿ ïîäõîä, îñíîâàííûé íà èíâàðèàíòíîñòè ëÿïóíîâñêîé ðàçìåðíîñòèîòíîñèòåëüíî äèôôåîìîðôèçìîâ è íà èñïîëüçîâàíèè ïðè îöåíêå ðàçìåðíîñòèôóíêöèé Ëÿïóíîâà.Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé ôàçîâîé àâòîïîäñòðîéêè, àíàëèçà èõ óñòîé÷èâîñòèè ïîèñêà ñêðûòûõ êîëåáàíèé èñïîëüçîâàëèñü ñïåöèàëüíûé ìåòîä óñðåäíåíèÿ èàíàëèç ôàçîâîé ïëîñêîñòè.Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ, âûíîñèìûå íà çàùèòó:1.

Êîíöåïöèÿ ñêðûòûõ è ñàìîâîçáóæäàþùèõñÿ àòòðàêòîðîâ äèíàìè÷åñêèõñèñòåì.2. Àíàëèòèêî-÷èñëåííûå ìåòîäû ëîêàëèçàöèÿ ñêðûòûõ àòòðàêòîðîâ âôóíäàìåíòàëüíûõ ïðîáëåìàõ è ôèçè÷åñêèõ ìîäåëÿõ.9 http://www.math.spbu.ru/user/leonov/publications/2009-PhysCon-Leonov-plenary-hidden-\oscillations.pdf#page=2193. Ìåòîäû îöåíêè è âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêîé ðàçìåðíîñòè àòòðàêòîðîâäèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.4. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ñèñòåì ôàçîâîé àâòîïîäñòðîéêè â ïðîñòðàíñòâåôàç ñèãíàëîâ.5. ÐåøåíèåïðîáëåìûïðîñêàëüçûâàíèÿÃàðäíåðàäëÿîïðåäåëåíèÿìàòåìàòè÷åñêèõïîëîñûìîäåëåéçàõâàòàñèñòåìáåçôàçîâîéàâòîïîäñòðîéêè â ïðîñòðàíñòâå ôàç ñèãíàëîâ.6. Êîìïëåêñ ïðîãðàìì äëÿ àíàëèçà ñêðûòûõ è ñàìîâîçáóæäàþùèõñÿàòòðàêòîðîâ.Íàó÷íàÿ íîâèçíà. Ïóíêòû 1-6 , ïåðå÷èñëåííûå â ïîëîæåíèÿõ, âûíîñèìûõíà çàùèòó, ÿâëÿþòñÿ íîâûìè è ïîëó÷åíû àâòîðîì ñàìîñòîÿòåëüíî.Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü.Òåîðåòè÷åñêàÿ èïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â ñîçäàíèè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåéñèñòåì ôàçîâîé àâòîïîäñòðîéêè â ïðîñòðàíñòâå ôàç ñèãíàëîâ; â ðàçðàáîòêåàíàëèòèêî-÷èñëåííûõìåòîäîâ,ïîçâîëÿþùèõýôôåêòèâíîèññëåäîâàòüñêðûòûå êîëåáàíèÿ êàê ïðè ðåøåíèè ôóíäàìåíòàëüíûõ ïðîáëåì, òàê èïðè àíàëèçå ïðèêëàäíûõ äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé.Äîñòîâåðíîñòüîáåñïå÷èâàåòñÿïîëó÷åííûõñòðîãèìâðàáîòåèñïîëüçîâàíèåìòåîðåòè÷åñêèõìàòåìàòè÷åñêîãîðåçóëüòàòîâàïïàðàòàèïîäòâåðæäàåòñÿ ñðàâíåíèåì ñ ðàíåå èçâåñòíûìè ðåçóëüòàòàìè.Àïðîáàöèÿ ðàáîòû.Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ðàáîòû äîêëàäûâàëèñü íàïðèãëàøåííûõ ïëåíàðíûõ è îáçîðíûõ äîêëàäàõ ðîññèéñêèõ è ìåæäóíàðîäíûõêîíôåðåíöèé: X Int.

Workshop on Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems (Russia, 2008), Physics and Control (Italy, 2009), 3rd Int. Conferenceon Dynamics, Vibration and Control (China, 2010), IFAC 18th World Congress(Italy, 2011), IEEE 5th Int. Workshop on Chaos-Fractals Theories and Applications (China, 2012), Int. Conference on Dynamical Systems and Applications(Ukraine, 2012), Nostradamus (Czech Republic, 2013), 19th IFAC World Congress(South Africa, 2014), 2nd Int.

Conference on Advanced Engineering Theory andApplications (Vietnam, 2015) è äðóãèå.10Ðåçóëüòàòû ïðèìåíåíèÿ ìåòîäîâ, ïðåäëîæåííûõ àâòîðîì â íàñòîÿùåéðàáîòå,äëÿ ðåøåíèÿ êîíêðåòíûõ òåîðåòè÷åñêèõ è ïðèêëàäíûõ çàäà÷ïðåäñòàâëåíû â äèññåðòàöèÿõ Å. Êóäðÿøîâîé, Â. Âàãàéöåâà, Â. Áðàãèíà,Ì. Þëäàøåâà, Ð. Þëäàøåâà, Ì. Êèñåëåâîé, Ò. Ìîêàåâà, Ê. Àëåêñàíäðîâà,íàó÷íûì ðóêîâîäèòåëåì êîòîðûõ áûë àâòîð è êîòîðûå çàùèùàëèñü âÑàíêò-Ïåòåðáóãñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå è University of Jyvaskyla,Ôèíëÿíäèÿ (2009-2016). Òàêæå â 2016 ãîäó ïî òåìàòèêå ñêðûòûõ êîëåáàíèé âìíîãîìåðíûõ ñèñòåìàõ óïðàâëåíèÿ çàùèòèë êàíäèäàòñêóþ äèññåðòàöèþ ÍãóåíÍãîí Õèåí â Òóëüñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå (ñïåöèàëüíîñòü 05.13.18,íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü È.Ì.

Áóðêèí).Ðåçóëüòàòàì ðàáîòû àâòîðà ïî ñêðûòûì àòòðàêòîðàì â öåïè ×óà áûëà äàíàïîëîæèòåëüíàÿ îöåíêà Ëåîíîì ×óà (Leon Chua, ïðîôåññîð University of California, Berkeley); íà ðåçóëüòàòû ïî ïîñòðîåíèþ êîíòðïðèìåðîâ ñî ñêðûòûìèêîëåáàíèÿ ê ãèïîòåçå Êàëìàíà îá àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè ñèñòåì óïðàâëåíèÿáûë ïîëó÷åí ïîëîæèòåëüíûé îòêëèê îò Ðóäîëüôà Êàëìàíà (Rudolf Kalman,ïðîôåññîð ETH Zurich), ïî ñêðûòûì àòòðàêòîðàì â ñèñòåìå ÃëóõîâñêîãîÄîëæàíñêîãî ïîëîæèòåëüíûé îòçûâ îò ïðîôåññîðà Àëåêñàíäðà Äîëæàíñêîãî(ïðîôåññîð Purdue University, ÑØÀ).  2012 ãîäó ïî ïðèãëàøåíèþ àêàäåìèêàÐÀÍ Â.Ã. Ïåøåõîíîâà ðåçóëüòàòû ðàáîòû áûëè ïðåäñòàâëåíû àâòîðîì âäîêëàäå Àíàëèç è ñèíòåç ñêðûòûõ êîëåáàíèé íà XXXIV Îáùåì ñîáðàíèèÀêàäåìèè íàâèãàöèè è óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì.Ðàáîòà íàä äèññåðòàöèåé áûëà ïîääåðæåíà ñëåäóþùèìè ãðàíòàìè:postdoctoral researcher's project Max-Planck-Institut fur Physik komplexerSysteme (2004);ãðàíò ÌÊ-162.2007.1 Ñîâåòà ïî ãðàíòàì ÏðåçèäåíòàÐîññèéñêîé Ôåäåðàöèè äëÿ ïîääåðæêè ìîëîäûõ ðîññèéñêèõ ó÷åíûõ (20072008,ðóêîâîäèòåëü); postdoctoral researcher's project 138488 Academy of Finland (2011-2013); ïðîåêò 6.38.72.2012 Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãîóíèâåðñèòåòà, ìåðîïðèÿòèå 2 (2012-2014, ðóêîâîäèòåëü); ïðîåêò 12-0131335 ÐÔÔÈ, ìîë_à (2012-2013, ðóêîâîäèòåëü); ïðîåêòû 8218 (2012-2013,ðóêîâîäèòåëü), 14.740.11.0998 (2011-2013, ðóêîâîäèòåëü), 14.740.11.0589(2010-2012, ðóêîâîäèòåëü) ÔÖÏ Íàó÷íûå è íàó÷íî-ïåäàãîãè÷åñêèå êàäðûèííîâàöèîííîé Ðîññèè íà 2009-2013 ãîäû,ìåðîïðèÿòèå 1.2.2;ãðàíòûÏðàâèòåëüñòâà Ñàíêò-Ïåòåðáóðãà äëÿ ìîëîäûõ ó÷åíûõ (2007, 2008, 2010, 2011,112012, ïåðñîíàëüíûå ãðàíòû); ãðàíò 14-21-00041 Ðîññèéñêîãî Íàó÷íîãî Ôîíäàäëÿ ïîääåðæêè ñóùåñòâóþùèõ êàôåäð (20142016, îñíîâíîé èñïîëíèòåëü).Ïóáëèêàöèè.

Âñåãî ïî òåìå äèññåðòàöèè àâòîðîì îïóáëèêîâàíî áîëåå 100ñòàòåé, â èçäàíèÿõ èíäåêñèðóåìûõ Scopus10 , 2 ìîíîãðàôèè [159, 183], ïîëó÷åíî3 ñâèäåòåëüñòâà îá èíòåëëåêòóàëüíîé ñîáñòâåííîñòè (ïàòåíòû) [1719] è 2ñâèäåòåëüñòâà î ãîñóäàðñòâåííîé ðåãèñòðàöèè ïðîãðàììû äëÿ ÝÂÌ [27, 28].Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ïðåäñòàâëåíû â ðàáîòàõ [129, 160, 166, 179,180, 191, 218], [161, 162, 174, 177] è [80, 103, 138, 211, 212, 227, 236, 260, 274].10 http://www.scopus.com/authid/detail.uri?authorId=1380567570012Ãëàâà 1. Ñêðûòûå àòòðàêòîðû1.1 Àòòðàêòîðû äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìÐàññìîòðèì àâòîíîìíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèåf : U ⊆ Rn → Rn ,u̇ = f (u),ãäå f - íåïðåðûâíàÿ äèôôåðåíöèðóåìàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ.(1.1)Ïðåäïîëîæèì,÷òî ëþáîå ðåøåíèå u(t, u0 ) óðàâíåíèÿ (2.1), òàêîå ÷òî u(0, u0 ) = u0 ∈ U ,ñóùåñòâóåò ïðè âñåõ t ∈ [0, ∞), åäèíñòâåííî è íå ïîêèäàåò U .Òîãäàðåøåíèå ϕt (u0 ) = u(t, u0 ) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûì è äëÿ íåãîâûïîëíåíî ñëåäóþùåå ñâîéñòâî:ϕt+s (u0 ) = ϕt (ϕs (u0 )), ϕ0 (u0 ) = u0 ∀ t, s ≥ 0, ∀u0 ∈ U.{ϕt }t≥0 çàäàåò ãëàäêóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó íà (U, || · ||):Rn , || · ||) .Çäåñü ||u|| =(1.2){ϕt }t≥0 , (U ⊆u21 + · · · + u2n - Åâêëèäîâà íîðìà âåêòîðà u =(u1 , .

. . , un ) ∈ Rn . Àíàëîãè÷íî ìîæíî ðàññìîòðåòü äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó,çàäàííóþ ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåìu(t + 1) = ϕ(u(t)),t = 0, 1, .. ,(1.3)ãäå ϕ : U ⊆ Rn → U - íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ. Çäåñüϕt (u) = (ϕ ◦ ϕ ◦ · · · ϕ)(u),t−timesϕ0 (u) = u,13è ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü (ïðè óâåëè÷åíèè t) èìååò ìåñòî ïðè âñåõt ≥ 0. Äàëåå {ϕt }t≥0 îáîçíà÷àåò ãëàäêóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó ñ íåïðåðûâíûìèëè äèñêðåòíûì âðåìåíåì.Ââåäåì ïîíÿòèå àòòðàêòîðîâ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû, ñëåäóÿ [201].Îïðåäåëåíèå 1.

Ìíîæåñòâî K ⊂ U ⊆ Rn íàçûâàåòñÿ:1) ïîëîæèòåëüíî èíâàðèàíòíûì, åñëè ϕ(K) ⊂ K;2) èíâàðèàíòíûì, åñëè ϕ(K) = K;3) îòðèöàòåëüíî èíâàðèàíòíûì, åñëè ϕ(K) ⊃ K,ãäå ϕ(K) = {ϕ(u) | u ∈ K}.Ñâîéñòâî 1. Èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî K ⊂ U ⊆ Rn íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíîïðèòÿãèâàþùèì, åñëè äëÿ íåêîòîðîé åãî îêðåñòíîñòè Kε ⊆ U âûïîëíåíîñîîòíîøåíèålim ρ(K, ϕt (u)) = 0,t→+∞∀ u ∈ Kε .Çäåñü ρ(K, u) ðàññòîÿíèå îò òî÷êè u äî ìíîæåñòâà K , îïðåäåëÿåìîå êàêρ(K, u) = inf ||w − u||,w∈Kè Kε ìíîæåñòâî òî÷åê u, äëÿ êîòîðûõ ρ(K, u) < ε.Ñâîéñòâî 2. Èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî K ⊂ U ⊆ Rn íàçûâàåòñÿ ãëîáàëüíîïðèòÿãèâàþùèì, åñëèlim ρ(K, ϕt (u)) = 0,t→+∞∀ u ∈ U.Ñâîéñòâî 3.

Èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî K ⊂ U ⊆ Rn íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíîëîêàëüíî ïðèòÿãèâàþùèì, åñëè äëÿ íåêîòîðîé åãî îêðåñòíîñòè Kε ⊆ U ,ëþáîãî δ > 0 è ëþáîãî îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà B ⊆ U ⊆ Rn ñóùåñòâóåò÷èñëî t(δ, B) > 0 òàêîå, ÷òîϕt (B ∩ Kε ) ⊂ Kδ ,Çäåñü∀ t ≥ t(δ, B).ϕt (B ∩ Kε ) = ϕt (u0 ) | u0 ∈ B ∩ Kε .14Ñâîéñòâî 4. Èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî K ⊂ U ⊆ Rn íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíîãëîáàëüíî ïðèòÿãèâàþùèì, åñëè äëÿ ëþáîãî δ > 0 è ëþáîãî îãðàíè÷åííîãîìíîæåñòâà B ⊆ U ⊆ Rn ñóùåñòâóåò ÷èñëî t(δ, B) > 0 òàêîå, ÷òîϕt (B) ⊂ Kδ ,∀ t ≥ t(δ, B).Îïðåäåëåíèå 2.