Автореферат (Ренормализационная группа в некоторых моделях критического состояния и стохастической динамики)

Санкт–Петербургский государственный университетНа правах рукописиЛебедев Никита МихайловичРенормализационная группа в некоторыхмоделях критического состояния истохастической динамики01.04.02 – Теоретическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико–математических наукСанкт–Петербург – 2018Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Санкт–Петербургский государственныйуниверситет»Научный руководитель:Антонов Николай Викторович, д.

ф.-м. н.,старшийнаучныйсотрудник,профессорСанкт-Петербургского государственногоуниверситетаОфициальные оппоненты:Малышев Кирилл Леонидович, д. ф.-м. н.,старший научный сотрудникСанкт-Петербургского отделенияматематического институтаим. В.А. Стеклова РАНПрудников Павел Владимирович, д. ф.-м. н.,профессор, профессор Омского государственногоуниверситета им. Ф.М. ДостоевскогоВедущая организация:Объединенный Институт ЯдерныхИсследованийЗащита состоится «»2018 г. вчасов на заседании дис­сертационного совета Д 212.232.24 при Санкт–Петербургском государствен­ном университете по адресу: 199004, Санкт–Петербург, Средний пр., В.О.,д. 41/43, ауд. 304С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. ГорькогоСПбГУ и на сайтеhttps://disser.spbu.ruАвтореферат разослан «»2018 г.Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печа­тью, просьба высылать по адресу 198504, Санкт–Петербург, Ульяновская ул., д.1,корпус И, каб.

421.Ученый секретарьдиссертационного совета,д.ф.-м.н.Аксёнова Елена Валентиновна3Общая характеристика работыАктуальность темы исследования.Многочисленные физическиесистемы обнаруживают интересное сингулярное асимптотическое поведение,зависящее только от нескольких глобальных характеристик системы, такихкак симметрия или размерность пространства. Подобное поведение, в частно­сти, демонстрируют системы, находящиеся в окрестности своих критическихточек. Наиболее изученные фазовые переходы описываютсяричными моделями с взаимодействием типа4и()-симмет­-компонентнымвектор­ным параметром порядка. Однако во многих случаях описание с помощьюподобных, сравнительно простых, моделей оказывается неадекватным, и при­ходится рассматривать более сложные симметрии или более сложные типыпараметров порядка с тензорной природой.

В таких случаях даже задача на­дежного определения возможности фазового перехода в системе и его типаоказывается достаточно сложной. Поэтому изучение подобных моделей досих пор продолжает оставаться актуальным.Аналогичная ситуация имеет место и для многочисленных моделей, опи­сывающих рост и кинетическое огрубление различных границ. Такие моделистроятся по аналогии с моделями критической динамики на основе различ­ных феноменологических соображений, учитывающих различные симметриисистемы и свойства анизотропии.

В отличие от равновесных моделей крити­ческого поведения, динамические модели роста зависят не только от своихвнутренних характеристик, но и от типа случайного внешнего воздействия.Таким образом, актуальным оказывается изучение не только различных мо­дификаций уже существующих моделей роста, но и вопрос о выборе случай­ного шума, наиболее полно и точно описывающего различные аспекты реаль­ных физических систем, а также изучение зависимости поведения системыот конкретного выбора.Степень разработанности темы исследования.

Наиболее успешноепоследовательное количественное описание критического поведения дается спомощью методов теоретико-полевой ренормгруппы. При таком подходе воз­можные типы критического поведения определяются наличием и характеромнеподвижных точек соответствующей теоретико-полевой модели, а критиче­ские размерности вычисляются в рамках регулярной теории возмущений.Применение данного подхода к различным моделям равновесного кри­тического поведения позволило надежно установить принадлежность к томуили иному классу универсальности множества различных систем с-компо­нентным векторным параметром порядка и различными типами симметрии,а также некоторых систем с тензорным параметром порядка. Критические по­4казатели в некоторых моделях были вычислены вплоть до шестого порядкатеории возмущений включительно.Изучение феноменов, связанных с эволюцией границ, позволило постро­ить множество полуфеноменологических моделей, установить в них наличиекритического скейлинга и вычислить соответствующие показатели, чаще все­го в главном (однопетлевом) приближении.

В некоторых случаях подробныйанализ симметрий системы позволил получить точные результаты.Целью настоящей работы является изучение критического поведенияравновесных моделей с антисимметричным тензорным параметром порядка:()-симметричной модели с вещественным параметром порядка и ()-сим­метричной модели с комплексным параметром порядка в присутствии магнит­ного поля. Также проводится изучение скейлинговых режимов несколькихнеравновесных моделей: изотропной модели роста и ее бесконечно-зарядно­го обобщения, непрерывной анизотропной модели самоорганизующейся кри­тичности (СОК) и бесконечно-зарядной модели эрозии ландшафтов. Во всехслучаях используется “статическая” форма случайного шума, коррелятор ко­торого не зависит от времени.В соответствии с целью исследования были поставлены следующие ос­новные задачи:(1) Построить квантовополевую формулировку изучаемой модели, ис­следовать тип и структуру ультрафиолетовых расходимостей, показать муль­типликативную ренормируемость модели.(2) Найти неподвижные точки уравнений ренормгруппы и установитьих характер.(3) В случае, если в модели возможно скейлинговое поведение, получитьчисленные значения соответствующих ему критических размерностей.Научная новизна.

Все основные результаты диссертации полученывпервые, что подтверждается их публикацией в ведущих отечественных имеждународных журналах, и включают следующее:(1) Исследовано критическое поведение систем, роль параметра порядкав которых играет вещественный антисимметричный тензор.(2) Исследовано критическое поведение систем с комплексным антисим­метричным параметром порядка, взаимодействующим с магнитным полем.(3) Показано, что стохастическая модель кинетического огрубления Кар­дара-Паризи-Занга (КПЗ), ее бесконечно-зарядное обобщение, бесконечно-зар­ядная модель эрозии ландшафтов и непрерывная модель СОК Хуа-Кардарасо “статическим” случайным шумом могут быть переформулированы в ви­де мультипликативно-ренормируемых теоретико-полевых моделей, а такжеисследовано их асимптотическое поведение.5Теоретическая и практическая значимость.Полученные в дан­ной работе результаты могут быть использованы для описания критическо­го поведения систем фермионов с дополнительными степенями свободы, атакже жидких кристаллов и ферроэластиков.

Результаты, полученные приизучении стохастических моделей, могут использоваться для описания ростаразличных границ раздела, описания эрозии ландшафтов, а также феноменасамоорганизованной критичности. Разработанные методы могут применятьсядля анализа других многозарядных моделей, а также стохастических моделейсо “статическим” случайным шумом. Кроме того, результаты работы могутпослужить стимулом для проведения новых экспериментальных измеренийкритических показателей в различных системах, проявляющих скейлинговоеповедение.Методология и методы исследования.

В работе систематическиприменяется метод ренормализационной группы, позволяющий доказать пе­ренормируемость изучаемых моделей, изучить асимптотическое поведениекорреляционных функций, установить возможность их скейлингового пове­дения в инфракрасной асимптотике, а также вычислить скейлинговые пока­затели в рамках регулярной теории возмущений. Кроме того, используют­ся различные функциональные методы, позволяющие определить асимпто­тические свойства коэффициентов рядов теории возмущений, а также найтинекоторые точные соотношения (тождества Уорда), связывающие различныекорреляционные функции.Достоверность результатов обеспечивается использованием мощногои хорошо развитого математического аппарата квантовополевой ренормгруп­пы, а также сравнением полученных результатов с результатами, известнымиранее для некоторых частных случаев и родственных задач.Основные положения, выносимые на защиту:(1) Для ()-симметричноймодели с комплексным антисимметричнымтензорным параметром порядка установлено, что в случае > 19 взаимодей­ствие с магнитным полем приводит к появлению двух новых фиксированныхточек в физической области параметров.

На однопетлевом уровне обе точкиявляются седловидными точками, а единственным возможным поведениеммодели в рамках теории возмущений оказывается фазовый переход первогорода.()-симметричной модели с вещественным антисимметричнымпараметром порядка обнаружено, что при > 4 существует сед­(2) Длятензорнымловидная фиксированная точка, а единственным возможным поведением мо­дели в рамках теории возмущений является фазовый переход первого рода.Кроме того, установлено, что в случае=4в модели присутствуют две до­6полнительные фиксированные точки, одна из которых является инфракраснопритягивающей. В этом случае поведение модели оказывается неуниверсаль­ным: в случае, если начальные данные лежат в ее области притяжения, вмодели реализуется фазовый переход второго рода.(3) Показана мультипликативная перенормируемость модели Кардара­Паризи-Занга со “статическим” случайным шумом.