Диссертация (Канонический формализм для описания гравитации в виде теории вложения и для теории поля на световом фронте), страница 6

фиксировать калибровку. Изучим как это происходитна простой модели релятивистской частицы, поскольку аналогичное рассмотрение может быть проведено и для теории вложения, см. раздел 4.6.В качестве дополнительного условия выберем в качестве времени частицы время пространства Минковского 0 , наложив связь = 0 − ≈ 0.(1.37)Поскольку скобка Пуассона связей {, } = 20 ̸= 0, то вместе эти связипревращаются в связи второго рода и их можно решить, выразив с их помощью пару сопряженных переменных 0 , 0 через другие переменные влагранжиане первого порядка (1) , см. раздел 1.2.

При этом для 0 нужнобрать отрицательное значение, поскольку 0 = −0 < 0 согласно (1.28),если 0 = :√︀(︀)︀⃒(1) = 0 ˙ 0 + ˙ − gen ⃒0 =,0 =−√1+ = ˙ − 1 + ,(1.38)откуда заключаем, что после фиксации калибровки система описываетсягамильтонианомnew =√︀1 + .(1.39)Интересно отметить, что для рассматриваемой системы аналогичныйрезультат можно получить, если использовать ту же калибровку (координатное условие 0 ( ) = ) прямо в исходном действии, до построенияканонического формализма. Действие после фиксации калибровки при-30нимает вид=−∫︁√︀1 − ˙ ( )˙ ( ).(1.40)Записывая выражение для импульса и убеждаясь, что связи не возникают, легко убедиться в том, что возникающее на этом пути выражениедля гамильтониана в точности совпадает с найденным выше выражением(1.39).

Это находится в согласии с тем фактом, что, как несложно проверить, уравнения движения, получаемые из действия с фиксированной калибровкой (1.40), будут эквивалентны уравнениям соответствующим исходному действию (1.26).Следует отметить, что такое поведение системы имеет место не всегда и фиксация калибровки в исходном действии второго порядка можетпривести к потере части уравнений движения, что означает переход кдругой теории, неэквивалентной исходной. Пример такой ситуации будетрассмотрен в следующем разделе.1.4Случай теории поляПри использовании канонического формализма переход от механических систем, имеющих конечное число степеней, к теории поля, гдестепени свободы образуют не только не конечное, но континуальноемножество, осуществляется, тем не менее, достаточно просто. Прежде всего, делается так называемое (3 + 1)-расщепление, т.

е. координаты пространства-времени , по отношению к преобразованиям которых обычно имеется та или иная симметрия, разделяются на время 0 ≡ и пространственные координаты . Введение такого разделения, конечно же, лишает нас возможности явно отслеживать имевшуюся симметрию (например, релятивистскую инвариантность или инвариантность относительно диффеоморфизмов), и это, безусловно, является минусом канонического формализма при описании, например,релятивистски-инвариантных теорий.После того как (3 + 1)-расщепление сделано, зависимость полей отточки пространства-времени понимается как их зависимость от времени, а также от пространственной координаты , причем пространственнаякоордината используется на правах пробегающего континуальное множе31ство значений индекса, нумерующего степени свободы. Т. е.

для набораполей ( ) = (, ) проводится аналогия с обобщенной координатой механической системы (), причем совокупность нумерующего поля индекса и пространственной координаты сопоставляется номерустепени свободы . Далее все уже имеющиеся результаты, касающиесяканонического описания механических систем (см. изложенное выше вразделах 1.1-1.3) напрямую переносятся на теорию поля. При этом везде,где для механических систем возникала сумма по степеням свободы, длятеории поля должна использоваться сумма по всем полям и интеграл попространственной координате , вместо символа Кронекера по степенямсвободы нужно ставить символ Кронекера по номерам полей и дельтафункцию по пространственным координатам, а вместо обычных производных по обобщенным координатам, скоростям и импульсам должныиспользоваться вариационные:∑︁∑︁ ∫︁→3 ,′→′ ( − ˜ ),→.

( )(1.41)В частности, скобка Пуассона для двух функционалов от полей ( )и сопряженных им импульсов ( ), взятых в один и тот же моментвремени (аргумент для краткости опускаем), записывается как{ [, ], [, ]} ≡(︂∑︁ ∫︁3≡)︂. (1.42)− ( ) ( ) ( ) ( )Для канонических переменных – полей и сопряженных им импульсов,скобки Пуассона имеют простой вид:{( ), (˜ )} = 0,{( ), (˜ )} = 0,{( ), (˜ )} = ( − ˜ ).(1.43)Перед тем как переходить к построению канонического формализмадля таких сложных систем как описание гравитации в рамках ОТО и32теории вложения, покажем как он строится на примере простой модели –теории свободного электромагнитного поля (). Действие этой теорииимеет вид∫︁∫︁14=− = ,(1.44)4где∫︁=3(︂)︂110 0 − ,24 = − .(1.45)Напомним, что уравнения движения этой теории (вакуумные уравненияМаксвелла) имеют вид = 0,(1.46)причем эти четыре уравнения связаны дифференциальным тождеством = 0.Запишем хорошо известный для этой теории канонический формализм (см., например, [48], глава 2).

Имеем обобщенные импульсы, сопряженные к полям ( ) и 0 ( ), соответственно: ( ) = 0 ( ),0 ( ) = 0,(1.47)что порождает первичную связь1 ( ) = 0 ( ) ≈ 0.(1.48)Записывая по аналогии с формулой (1.11) выражение для гамильтониана,находим∫︁ = 3 ( 0 + 0 0 0 ) − =)︂(︂∫︁113 + + 0 . (1.49)= 24Тогда для обобщенного гамильтониана имеем(︂)︂∫︁11 gen = 3 + + 0 + 1 1 ,2433(1.50)где 1 ( ) – соответствующий связи 1 ( ) множитель Лагранжа.Далее, нужно выполнить условие непротиворечивости, потребовавслабого обращения в ноль величины{ gen , 1 ( )} = ( ),(1.51)что приводит к появлению вторичной связи2 ( ) = ( ) ≈ 0.(1.52)Замечая, что новое условие непротиворечивости выполняется автоматически, поскольку { gen , 2 ( )} = 0, заключаем, что других связей в данной канонической системе нет.

Имеющиеся связи 1 ( ), 2 ( ) оказываются связями первого рода, поскольку, как легко проверить,{1 ( ), 1 (˜ )} = 0,{2 ( ), 2 (˜ )} = 0,{1 ( ), 2 (˜ )} = 0. (1.53)Эти соотношения задают оказавшуюся в данном случае тривиальной алгебру связей первого рода. В соответствии со схемой Дирака (см. раздел 1.1) вторичную связь первого рода 2 ( ) следует добавить со своиммножителем Лагранжа 2 ( ) к обобщенному гамильтониану (1.50).

Приэтом, поскольку предпоследнее слагаемое под интегралом в (1.50) с помощью интегрирования по частям можно привести к виду −0 2 , егоможно вообще не писать, изменив являющийся полностью произвольнойфункцией множитель Лагранжа 2 ( ). В результате обобщенный гамильтониан приобретает окончательный вид:)︂(︂∫︁11 + + 1 1 + 2 2 .(1.54) gen = 3 24Интересно изучить, генераторами каких калибровочных преобразований являются связи первого рода 1 и 2 .

Для этого удобно рассмотретьсвертки связей с произвольной функцией ( ):∫︁1,23 1,2 ( )( ).(1.55) =34Тогда несложно заметить, что связь 1 генерирует малое преобразование:{︁}︁1ˆ ),0 ( ) = ^, 0 ( ) = ({︁}︁1 ( ) = ^, ( ) = 0,{︁}︁1 ( ) = ^, ( ) = 0,(1.56)а связь 2 – малое преобразование:{︀}︀0 ( ) = 2 , 0 ( ) = 0,{︀}︀ ( ) = 2 , ( ) = − ( ),{︀}︀ ( ) = 2 , ( ) = 0.(1.57)Видно, что, в отличие от примера, рассмотренного в предыдущем разделе, эти преобразования являются несколько более широкими, чемобычное градиентное преобразование электродинамики, для которого ( ) = − , к ним преобразования (1.56),(1.57) сводятся в частномслучае, когда ˆ = −0 .

Таким образом, при каноническом описании теории группа симметрии оказывается несколько более широкой, чем прилагранжевом. Это связано с тем, что в данном случае одна из степенейсвободы (0 ), оказалась, фактически, множителем Лагранжа. Несложнопроверить, что соответствующее каноническому описанию рассмотренной системы действие первого порядка(︂)︂∫︁11 (1) = 4 0 0 0 + 0 − − − 1 0 − 2 (1.58)24инвариантно относительно преобразований (1.56),(1.57) при некоторомодновременном изменении множителей Лагранжа 1 , 2 .Рассмотрим теперь, к чему в данной модели приводит попытка явногорешения связи первого рода. Наложим дополнительное условие( ) = 0 ( ) ≈ 0.(1.59)Вместе с ним связь 1 образует пару связей второго рода, в то время как2 останется связью первого рода, поскольку ее скобка Пуассона и с 1 ,и с равна нулю.

Тогда с помощью связей второго рода 1 и можно исключить пару канонических переменных 0 , 0 из действия первого35порядка (1.58), что дает выражение для гамильтониана теории после фиксации калибровки:(︂)︂∫︁11new = 3 + + 2 2 .(1.60)24Важно заметить, что этот гамильтониан порождает теорию, эквивалентную лагранжевой теории с исходным действием (1.44), в отличиегамильтониана, который можно получить, предварительно зафиксировавкалибровку 0 = 0 в действии. Действительно, после такой фиксациикалибровки действие примет вид)︂(︂∫︁114(0 )(0 ) − .(1.61)= 24Варьируя по оставшимся переменным , получаем новые уравнениядвижения = 0,(1.62)которых на одно меньше по сравнению с (1.46). Таким образом, сразувидно, что в данном примере фиксация калибровки в действии приводитк неэквивалентной теории, в которой одно из уравнений потеряно. Можно заметить, что из-за связывающего уравнения (1.46) дифференциального тождества потерянное уравнение сводится к условию на начальныеданные, которое будучи наложенным сохраняется вследствие оставшихся уравнений движения.

Развивая канонический формализм для теории сдействием (1.61), замечаем, что связи отсутствуют и гамильтониан имеетвид(︂)︂∫︁11˜ new = 3 + .(1.63)24Он отличается от правильного гамильтониана (1.60) отсутствием слагаемого со связью 2 и именно условие выполнения этой связи и являетсяпотерянным уравнением движения, отличающим (1.46) от (1.62).Рассмотренный пример показывает, что для калибровочных теорийфиксация калибровки в действии может приводить к изменению теории,в отличие от фиксация калибровки в уравнениях движения или же в гамильтоновом формализме путем введения дополнительных условий, пре36вращающих имеющиеся связи первого рода в связи второго рода.