Диссертация (Исследование магнитных наноструктур методами малоугловой дифракции нейтронов и синхротронного излучения), страница 11

Подставляя выражения (1.2.3) и (1.2.5) в (1.2.2),получаем для ядерного рассеяния:d2 σm2 p X=hαl αl0 i ×dΩdEp0(2π)3 ~5 p0 0llZ −∞DEi(Ep0 −Ep )t−iQRl (0) iQRl0 (t)~×eeedt,(1.2.8.)+∞где Rl (t) - гейзенберговское представление величины Rl с гамильтонианомкристалла H [324]:iiRl (t) = e ~ H t Rl e− ~ H t .(1.2.9.)Из выражения (1.2.8) следует, что сечение ядерного рассеяния являетсяфурье-компонентами коррелятора e−iQRl (0) · eiQRl (t) .

Учитывая, что для72упругого (p = p0 ) когерентного рассеяния на бесконечно большом отрезкевремени (t → ∞) положения атомов не коррелируют между собой, можно −iQR iQR l . Далее учтем тепl · eпровести замену e−iQRl (0) · eiQRl (∞) ∼= eловые смещение атомов, разделив радиус-вектор Rl на равновесную частьи смещение: Rl = R0l + Ul . Тогда уравнение (1.2.8) перепишется в виде:Xdσ0m2 2πNδ(Q − τ )e−2WQ ,= 4S(Q)dΩ~ V0τ(1.2.10.)где N - число ядер в кристалле, V0 - объем элементарной ячейки, τ - вектор обратной решетки, WQ - тепловой фактор Дебая-Валлера (e−2WQ = iQU e l ) [320, 321]. Выражение (1.2.10) записано для случая, когда в одной элементарной ячейке содержится несколько атомов, а фазовая суммапо всем атомам разбивается на сумму по атомам в пределах одной элеменP2iQR0ϑ тарной ячейки (S(Q) = ϑ e - структурный фактор) и сумму повсем элементарным ячейкам.

Таким образом, из уравнения (1.2.10) видно,что упругое когерентное рассеяние нейтронов на системе ядер дает резкиемаксимумы, определяемые формулой Вульфа-Брэгга p0 − p = τ .Для магнитного рассеяния, усредняя по всем спиновым ориентациямв нейтронном пучке и пренебрегая колебаниями решетки, получаем:Xd2 σpX= (r0 γ)2 0Fj (Q)Fj 0 (Q)e−iQ(Rj −Rj0 )(δαβ − eα eβ ) ×dΩdEp0p 0jjαβZ +∞DEi1β(Ep0 −Ep )tα~eSj (0)Sj 0 (t) dt,(1.2.11.)×2π~ −∞hihiβαгде α, β = x, y, z; Sn − (eSn )eα · Sn − (eSn )eβ = 14 (δαβ −eα eβ ) - результатiiусреднения по спиновым ориентациям, Sjα (t) = e ~ H t Sjα e− ~ H t - гейзенберговское представление оператора спина Sjα . Для случая ферромагнетикавыражение (1.2.11) также как и (1.2.8) содержит и упругую, и неупругую73компоненты, так как в ферромагнетике между атомными спинами существует сильное обменное взаимодействие, приводящее к спонтанной упорядоченности спинов.

Поэтому всякая переориентация спина отдельногоатома связана с затратой энергии против обменных сил. Чтобы выделитьиз сечения (1.2.11) упругую часть, заменим временную часть коррелятораDE D EββαSj (0) · Sj 0 (∞) ∼= Sjα · Sj 0 , учитывая, что между ориентациями спиновна бесконечно большом промежутке времени нет корреляции (как и в случае ядерного рассеяния). Из теории ферромагнетизма известно, что среднее значение компонент спинов, перпендикулярных к направлению спонтанного момента, равно нулю.

Таким образом, подставляя в (1.2.2) измененный временной коррелятор и интегрируя по энергии рассеяния нейтронов,получаем:2 (2π)3 N Xdσ0= (r0 γ)2 S 2 (Q)F 2 (Q) 1 − (em)2δ(Q − τ )e−2WQ , (1.2.12.)dΩV0τгде m - единичный вектор в направлении спонтанного магнитного момента кристалла, форм-фактор Fj (Q) = F (Q) и структурный факторSj (Q) = S(Q) - не зависят от номера узла, поэтому вынесены за знаксуммы. При выводе формулы (1.2.12) дополнительно учтено влияние намагнитное рассеяния тепловых колебаний решетки, аналогично выражению (1.2.10) для ядерных колебаний.Из выражения (1.2.12) видно, что при рассеянии нейтронов в ферромагнетике возникают когерентные максимумы интенсивности при углахтакже соответствующих условиям Вульфа-Брэгга. Эти максимумы накладываются на максимумы интенсивности ядерного рассеяния. При этом,угловая зависимость когерентного упругого магнитного рассеяния значи-74тельно сложнее соответствующего ядерного рассеяния, поскольку оно определяется дополнительно угловой зависимостью магнитного форм-фактора,а также фактора 1 − (em)2 , зависящего от ориентации вектора рассеяния по отношению к вектору m спонтанного магнитного момента.

Как былоотмечено выше, при рассеянии неполяризованных нейтронов интерференции ядерного и магнитного вкладов не возникает, поэтому для магнетикасуммарное рассеяние имеет два вклада:d2 σnucd2 σmagd2 σ=+,dΩdEp0dΩdEp0 dΩdEp0(1.2.13.)где, как следует из выражений (1.2.8) и (1.2.11), сечение ядерного и магнитного рассеяний являются просто фурье-компонентами корреляторовE −iQR (0) iQR (t) D αβlle·eи Sj (0) · Sj 0 (t) .

Для рассеяния поляризованных нейтронов характерна интерференция ядерного и магнитного рассеяний. Таким образом, в выражении (2.2.13) должен появиться третий членd2 σintdΩdEp0 ,матричный элемент Vp0 ,p которого, следуя (1.2.5) и (1.2.7) можно записатьв виде:X1Al + Bl (Sn Il ) eiQRl −Vp0 p =2l4π~21Xb j , Sn − (eSn )e),r0 γ−Fj (Q)eiQRj (Sm2 j(1.2.14.)Состояние поляризации падающего пучка нейтронов задается матрицейспиновой плотности (выражение (1.2.3)) ℘n0 =12 (1+ P0 Sn ), где P0 =Sp℘n0 Sn - вектор поляризации, равный удвоенному среднему значению спина нейтрона в пучке.

Как видно из (1.2.2) и (1.2.14), задача о рассеянииполяризованных нейтронов в магнетике приводит к необходимости вычисb j , Sn − (eSn )e) в произведении с другимилять шпуры от операторов (S75такими же операторами и матрицами Паули (компоненты вектора Sn сутьматрицы Паули). Подставляя (1.2.14) в (1.2.3), а затем в (1.2.2), предполагая, что взаимодействием спин-системы с решеткой можно пренебречь,получаем для интерференционного члена следующее выражение:Xdσ0mδ(Q − τ )e−2Wτ ,= r0 γS(Q)F (Q)(P0 hmi⊥Q )dΩπτ(1.2.15.)где m⊥Q = m − (e × m)e. При выводе уравнения (1.2.15) был использован такой же формализм, как и при выводе уравнения (1.2.10) для ядерного рассеяния или (1.2.12) - для магнитного. Таким образом, уравнение(1.2.15) описывает интерференцию ядерного и магнитного упругого когерентного рассеяния поляризованных нейтронов на ферромагнетике.

Болееобщий вид уравнений эффективного сечения рассеяния частиц со спином 1/2, нормированного на единицу телесного угла, представлен в работах [311, 315, 316]. Из уравнений (1.2.10), (1.2.12) и (1.2.15) видно, чтоядерный и магнитный вклады в сечение рассеяния не зависят от поляризации нейтронов, а интерференционный вклад пропорционален P0 . Каждыйвклад, при этом, пропорционален структурному фактору S(Q) - результатдифракции на периодической структуре и форм-фактору F (Q) - результатрассеяния на единичном элементе этой структуры.

Полное сечение малоуглового рассеяния поляризованных нейтронов на магнитной структуресостоит из трех слагаемых:d2 σd2 σnucd2 σmagd2 σint=++,dΩdEp0dΩdEp0 dΩdEp0 dΩdEp0(1.2.16.)гдеd2 σnuc∝ |An S(Q)F (Q)|2 ,dΩdEp0(1.2.17.)76d2 σmag∝ |Am m⊥Q S(Q)F (Q)|2 ,dΩdEp0d2 σint∝ 2(P0 hmi⊥Q )An Am |S(Q)F (Q)|2 .dΩdEp0(1.2.18.)(1.2.19.)Здесь An = bN0 и Am = pN0 амплитуды ядерного и магнитного рассеяния, соответственно, b - длина когерентного рассеяния ядра, p - длинамагнитного когерентного рассеяния атома в диапазоне малых углов, и N0- количество атомов в единице объема вещества.Как отмечено в нашей работе [282] "в общем случае, для наблюдения малоугловой дифракции длина когерентности излучения lc должнабыть много больше, чем период изучаемой структуры d [334]. В направлении поперечном к падающему излучению когерентная длина (ltr = λ/ψ)определяется в основном угловым размером источника излучения ψ, видимым с позиции образца, т.е.

угловым разрешением пучка нейтронов, илиего коллимацией [335]. Это позволяет исследовать упорядочение в направлении поперечном пучку на расстоянии в L = ltr /d периодов решетки.Фактически поперечная длина когерентности определяет как минимальную ширину дифракционных максимумов, так и ограничивает сверху число порядков видимых отражений. Ясно, что части образца, разнесенные впоперечном направлении на расстояние много большее, чем ltr , засвечиваются нейтронными волнами с различными и некоррелированными фазами.Интенсивности отражений таких волн, регистрируемые детектором простоскладываются.В направлении параллельном пучку когерентная длина llong определяется в основном спектральной шириной линии источника и углом отражения [322], так что llong = λ2 /(∆λ sin2 θ).

Таким образом, учитывая харак-77терные размеры когерентного объема используемого излучения, а такжепорядок величины периода структуры d, можно определить число порядков отражения, которые будут наблюдаться в экспериментах по малоугловой дифракции n".Структурный фактор в уравнених 1.2.17 - 1.2.19 определяется какPS(Q) = n e−iQρn , где суммирование ведется по положению центров рассеивающих элементов, задаваемых векторами ρn .

S(Q) имеет максимумы,когда Q равно векторам обратной решетки Qhtζ = hτ1 + tτ2 + ζτ3 , где h, t иζ – целые числа, τ1 , τ2 и τ3 – элементарные вектора обратной решетки [286].Выражение для функции F (Q) в уравнениях 1.2.17 - 1.2.19 зависитот формы рассеивающего элемента. Для шарообразной и цилиндрическойчастиц F (Q) приведены в параграфе 1.1 (уравнения 1.1.25 и 1.1.27, соответственно). Для сферы со стенками конечной толщины форм-фактор имеетвид [323]:F (Q) =3×Q3 (Ro3 − Ri3 )× (sin(QRo ) − QRo cos(QRo ) − sin(QRi ) + QRi cos(QRi )) ,(1.2.20.)где Ri и Ro – внутренний и внешний радиусы;для сферы с бесконечной тонкими стенками:F (Q) =sin(QR);QRдля бесконечно тонкого стержня:Z QL2sin(x)sin(QL/2)F (Q) =dx −;QL 0xQL/2где L – длина стержня;(1.2.21.)(1.2.22.)78для бесконечно тонкого диска радиусом R:2J1 (2RQ)F (Q) = 2 2 1 −;QRRQдля элипсоида вращения:!pZ π/222222sin (Q a cos (x) + b sin (x))F (Q) =cos(x)dx,Q4 (a2 cos2 (x) + b2 sin2 (x))20(1.2.23.)(1.2.24.)где a и b – малая и большая полуоси вращения.1.2.2.Рефлектометрия поляризованных нейтроновВ нейтронной рефлектометрии анализируется зеркальное отражениепучка тепловых нейтронов, падающих под малыми углами 10−3 ≤ αi ≤10−1 рад к плоской границе раздела сред (Рисунок 1.8).

Как и в малоугловой дифракции, пучки неполяризованных нейтронов используются дляисследования немагнитных сред (получения ядерного профиля вдоль нормали к поверхности образца), а пучки поляризованных нейтронов используются для определения поведения вектора локальной намагниченности(магнитного профиль образца вдоль нормали к его поверхности). Глубинапроникновения нейтронов составляет сотни нанометров. Как видно из рисунка 1.8, геометрия рефлектометрического эксперимента с пучками нейтронов такая же, как и для рефлектометрии синхротронного излучения.Однако для того, чтобы подчеркнуть, что в диссертации рассматриваетсяслучай рассеяния поляризованных нейтронов, волновые векторы падающе0го и рассеяного нейтронных пучков будет обозначаться буквами pz и pz ,соответственно.Решение стационарного уравнения Шрёдингера дает теоретическоезначение коэффициента отражения R(Qz ), где z – направление нормали к79Рассеяние подскользящим угломp’zpzПадающийпучокfp’zfi2BРефлектометрияОбразец0Рис.

1.8. Геометрия рефлектометрического эксперимента: pz и pz - волновые векторы падающего и рассеяного пучков, αi,f - углы падения и отражения относительно осей (пунктирные линии) в плоскости плёнки. Синимцветом выделена геометрия рассеяния под скользящим углом, краснымцветом – геометрия зеркального отражения.поверхности образца, U (z) – модельный потенциал [336]: 2 2~ ∂+ U (z) Ψ(z) = EΨ(z).2mn ∂z 2(1.2.25.)Аналитическое решение уравнения 1.2.25 существует для модели полубесконечной среды, то есть для пластинки с бесконечно малой толщиной посравнению с площадью:Z21dU(z)iQzR(Qz ) = R0 (Qz ) e z dz ,U (∞) dz(1.2.26.)где R0 (Qz ) - коэффициент отражения от потенциала с абсолютно резкой801Пластинка Si бесконечнобольшой площадипо сравнению с толщиной.Тонкая (50 нм) плёнка,имеющая потенциалотличный от потенциалаподложки.R (отн. ед.)0.10.011E-31E-41E-51E-60.000.040.080.12-1Qz (нм )Рис. 1.9.