Галкин С.В. Математисеский анализ. Метод. указания по метериалам лекций для подготовки к экзамену в первом семестре.стр.63-115. 2004г (Методичка с лекциями (Галкин С.В.))

бх ~ Ы1 2 з1п — - саз ~гх+ — 1 ( )'= ° —." г Л. Ьх з(ив 2 1 бх) = 1пп 1пп саз х+ — =созх' 0 Ы ~ 2! 2 здесь использован первый замечательный предел, б)(созх) =-з)пх. (сазх) = з(п~--х ~~ =(-1)саз~--х =-з1пх' ~2 Д 3 здесь использована теорема о производной сложной функции; в)(1йх) = — —, (сгях) =-— Р саз х з1п х Покажем сп кажем справедливость первой из формул, вторая выводится аналогично. Ф (ьгх) — ~ з1пх1 (з(пх) свах — з1пх(соз 1,сазх) соз2 2 соз х здесь использовано правила дифференцирования част ог . н а.

раизводные обратных тригонометрических функций: а) (агсзптх) =; б) (агссозх) = -— в) (агсгйх) = —; г) (агссгях) =- —, 1+х 1+ 2' Выведем пе в д первую и третью формулы, остальные выводятся ана- (агсз1пх) 1 1 1пх),6 хз' 1 1 1 1 1+ гй~у 1+ гй~(агсгйх) 1+х соз у здесь использована теорема а производной обратной функции. Формулы производных гиперболических ун и нк ий 1 ° 1 (зйх) =сЬх1 (сЬх) =з)гх; (11гх) = —, (с1)гх) =-— сЬ~х й х Проверим первые две формульа -Х (~ х -~)~ (е~+ е ) -СЬх, ) 2 х 1г1( х+ -х)~ (е" — е ")=зЬх, 2 Остальные формулы выводятся по правилу д ре и е нцирова ния частного ! Теорема.

Элементарные функции дифференциру емы в об ласти определения. ариые функции могут быгь п лу о челы из основных мен „.. Фун ииспамащыочетырехари а и метическнхдейстосновные элемениии и композицией функций Ранее доказано что тарные функции днфференцнруемы в области ре Пни полученные указанными действиями из днфференцнруемых аэто элементарные увкфункцнй, также дифференцируемы.

Поэтому ггии дифференцируемы в области и апр хоп еделения, о Любую элементарную функцию можн д р и фе енц овання не выходит из класса элементарных функций. Следовательно, дич, еренцнр ва элемента, ную функцию, гчуго Функцию, мы получаем снова ПРОИЗВОДНЬЖ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ (лекция 14) " фу ции л-го порядка называется производная Производной ф нк от (и-1)-й ее производной; У "( )=(У"-'(.))', .=2,З, Поэтому вто ая п водной,третьяп оизво н у р роизвадная — это производная первой и о>пр р водная — эта производная второй производной ит.д, Вычислим„нап им р ер, и-ю производную функции у(х) = хе: у'= ех + хех «х+ ц х х У = е + (х+ 1) ех = (х+ 2) ех, „,, у" = (х+ и) ех.

числим и >а производную функции у(х) = н(х)р(х). У =и к+и"р'+2и" р'+2ьур +и >у+ни! = и к+Зи" р'+Зн'у~г+ зез Здесьужелегко в у идеть знакомую формулу бинома Ньютона л („)() — '«~Се„(- ) ()г) Фче рассмотрим вопрос о ифф па раметрически или неявно. пр дифференцировании функции, задагпюй Производная па ам т р метрнческп заданной функции. Пусть функция задана параметрически 1 ... Г (у =у(г)' и ... сварить а производной Функции у(х) по ее аргуме> нту х можно, если определена функция ак как функци~ задана параметрически„та для того чтаыопределитьу = /"(х) на ап ю ), д ронзвольному х поставить в ссютветопределена обрат ф вне х, а затем по этому г отыскать ((), П .

ратная функция ~(х), ь у( ), озтому должна бьгп Следовательно, функция х п е с у(х) пред тавляет со о сла>киук> р воднои слолсиой функции х . тсюда видно, что должна существовать произ- водная обратной функции. Следовательно, нужно требовать выполнения условий теоремы а производной обратной функции. Па теореме о производной обратной функции У(х) = —,, тогда х (8) у'(х) = у'(~)У(х) = —, Л~) х'(г) Получили формулу для вычисления первой производной парам втрически заданной функции. Таким образом, первая производная тоже представляет собой параметрически заданную функцию, Обозначим у'(х) = х((), Тогда „(„),,(,),,(х) (у')> у"(()х'(()-У'()) "'() "() ('())' Так можно вычислить производную любого порядкк (у("-"( )) у(")(х) = х'(г) (х = созе Пример.

Вычислим первую и оторую производную функции ч (у=з(пг у(х) й) =-с>йд >г(х)- —,' ---. з дйъ сом ( сйй) 1 х>(г) -з(цг х й) в(п г Дифференцирование неявка заданной функции, Пусть функ- >хил у =)"(х) задана неявно соотношением Р(х,у) = О, Тогда спра- педлива тождество >т(х,у(х)) ю О. дифференцируя тождество (рас- ска атривая левую часть тождества как сложную функцию), получим соотношение, из которого можно выразить у'(х) через х и у(х), ,дифференцируя далее у'(х), получим у" (х) через х, у(х), у'(х), ГТродолжая этот процесс, получим третью и т.

д, производные функ- тяии, заданной неявно. ,2+3 1 0 пример. найдем производну>о неявной функции г(х у) = х + «х -1= О. 2х+ 2у>г = О, >>(х)= —, >г(х) =- —, у у' бб Заьзе инне, На втором семестре в курсе дифференциального исчисления функций нескольких переменных будет получена формула полного дифферен- 67 цнвле аг'(х у) = гх'»к+ Ру'»у, где гх', г" ' — частные пранзводньи по перемен. ным х у (производнукл Р„вычислялот только по переменной х, счнгвя у ко нсгвнтой, в пранзводну1о Р ' вычнсллклт только по переменной у, считая х конствнтап). Дифференцируя тождества г(х,у(х)) а О, получим аУ(х,у) гх'»х+ Р,'а)л Отснзлд следует формула для вычисления производной функции, заданной неявка: „ау )г(х) - "— = — ", . л(г В приведенном прнмерег„'=2х, г,,' 2у, »г(х,у) = 2х»х+ 2у»у иб, огкудв »у х )Г (х) = — —.

Так считать проще. »х у ДИФФКРВНЦИАЛЫ ПК)зВОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ (лекция 15) В лекции 12 было дано определение дифференциала как главной части приращения функции, линейной относительно приращения аргумента. Было показано, что геометрический смысл дифференциала состоит в том, что дифференциал функции численно равен приращению ординаты касательной к графику функции, которое соответствует приращению аргумента Ах. Была получена форму. ла для вычисления дифференциала (форма записи дифференциала) сЛх) = Г'(х)»х, где»х ы 12х — приращение независимой переменной, Интересно выяснить, сокранится ли та же форма записи дифференциала, если в качестве х взять какую-либо функцию независи. мой переменной, Инвариаитность формы записп первого дифференциала Теорема.

Дифференциал функции может быть записан в форме 4йх) = У'(х)»х независимо от того, является ли х независимой переменной или фунггцией какой-либо другой переменной. з пусть х = д(1) является функцией переменной д тогда функция / (х) будет сложной функцией Г'(д(1)) переменной а Но поскольку г- независимая переменная, дифференциал функции можно записать в виде Щг)=у"'(г)»г. Если выполнены условия теоремы о производной сложной функции, то ('(т) =.1'(х)х'(1).

Подставляя эту производную в выражен е дл д ., ременная, а х(1) — функция этой переменной, то»х=х (г д аХ=Х'(')'(г)» = Г(.)».. Следовательно„дифференциал функции может быть записан в ») (х)= )'(х)»х независимо от того, является ли х независим р ой пе сменной или функцией какой-либо другой переменной. В этом и состонтсвойст- во иглвариаижнлости формы записи первого диффереиипвла. с ! Следствие. С дифференциалами первого порядка малого обращаться как с алгебраическими выразкениями, Из формы записидифференциала»Дх)=у'(х)»х иееиива- р иаитности следует Г"'(х) = — (производная равна отнозпеиюо »х дифференциалов). Пример, Выведем формулу для производной пврвмсгрическ яд ическн заклинай У ( — "у а-4.- М Здесь мы формвльна рвз- фупкцин.

Пусть ', Тогда у(х) = — = у= Я)»х »1 делили пв днфференциел ат квлл нв влгебрвичсское вырвжение. ттравиладифференцирования (в, ° слепня дифференциала) Все правила вычисления дифференциала суммы, разности и т. д. легко получить из правил вычисления прои д зво нык суммы, разности и т.

д., используя форму записи диффсрещнала 4'(х) =,1'(х)»х. 1. Дифференциал суммы (разности); »Ц (х)+ й(х)) = Щх) ~ й(х))»х =.1'(х)»х+К(х)»х = = »)'(х) х 4'(х) ч П му обычно правилевычисления д гч Р ффе оввщл1е енцивлвпадр бно ервссмвг иффе енцироввниящ «днфференцирсв Р ся деже свми нвзввния «прввнл«11 1ф р р ле аоднбь оп анзводных,енеквычпс н нис» стали относиться скорее к вычислени~ р , Ы = УЧх=рхи 1Вх; б) у=в. ллу= уах= фсреццнвлов. нвпрнмер1 в) у=хл, »у= у х=рхл =«а)па»х; в)у=)ая,х, »у=)/»х= л»х1 г) у=мах, »у=)1Их=ссях»х. гИ) — яоз.

4 3 3. Дифференциал частного: ,~яе <((<1п 1Я, и =2,3» (~ (х)) й <7х =У" (х» 71 2. Дифференциал произведения; г(ж)=а) ух=(уй+аУ)7 =(ГЫх)а+Лги ) =047-+УФ. МХ1 Х'а-И'Х ~,. тг(х)к -(а'Ы)Х й уг - У<уй 3' й' Как видно, достаточно заменить знак производной знаком диффсреппинла в правилах вычисления производной, чтобы получить правила вычисления дифференциала. 4. Дзефференцнал сложной функции: <(7'(а(х)))=У'(й(х))) ( =У'М)й"(х) 1 .=Г(а)Ф 5. Дифференциал обратной функции. пусть лля функции у(х) определена обратная функция х(у).

Используя теорему о производной обратной функции, вычислим дифференциал обратной <[зункции: 1 <!у = у'(х) Их =о сЬ = —, йу о йх = х'(у) йу, у'(х) Приближенные вычислении с помощью первого дифференциала Пе вый иффе р д ьферапциал — зто главная часть приращении функции, линейная отн относительно приращения аргумента, Поэтому приближенно (с точность ( остью до бесконечно малой второго порядка от приращения а ме т ргу нта) приращение функции можно заменить первым дифференциалом: я.г'( О) а7"(х )= г" (. )~ Отсюда можно по чить фо лу формулу для приближенного вычнолс- Лх) 7 (хо)+./'(хе)(х -хо) которая тем тече<ее, чем блнж ехкхо, 70 Прпмерьь 1. Реянус шсровога газового баллона ошпбачпо уменьшили нс 10 %, на сколько процентов умсньшнзся ега абъем2 Решение. Ег(11+<ЗЛ)= — Я1Р+ЬА) = — Н(Я +ЗА айе ЗяаЛ +а<2 ), 4 з 4 3 С точностью яо линейных чяепоя уменьшение абьемя састяяяяет от' = 4яйз<ЗЕ<.

По успопн<а зазечн <И =О,И. Вычислим относительное уыеньшеппе обьсмп: ЬН 4тЖ ОИ вЂ” — — = О,З. Это 30% от первоначального объеме, 3 Ответ: Объем уменьшился пя ЗО %. 2. Вычпсяоть прнбпнженно <я 47 '. Обозначим хо = 45', еьт = 2', Псрсяедем зта я разпены н применим формулу зяя нрнбянжспного вычисления: <047"=.<а(45'+2')=<я[ — +"-) <я~-)+ ( 1 =1+ 1059ь [,4 90) [,4) з[ Я1 90 45 'ъ47 Дпя срезнеппя: тябпнчнае ззячепнс <я 47 ' составляет 1, 0724. Дифференциалы высших порядков Дифферснциалом и-го порядка функции называется дифференциал от дифференциала (и-1)-го порядка функции: Дифференциалы высших порядков вычисляют так же, как и производные высших порядков, применяя правила дифференцирования н переходя ст первого дифференциала ко второму, от второго — к <ретьему и т. д.