Диссертация (Исследование некоторых типов дифференциальных уравнений с сильной нелинейностью), страница 9

Поэтому, исходя из законасохранения энергии, потребуем неизменности величиныкоторойпропорциональнаполнаяэлектрическаяq k qk ,энергиярассматриваемой малой части источника при наличии всех трех зарядов,как при q k  q k , так и при q k  q k :q k qk  q k qk .Используякомпонентыплотностейтока(3.39)J k , и I k , ,данноесоотношение можно переписать в виде равенства следующих двухрелятивистских инвариантов:I k , I k ,  J k , J k , .(3.40)Уравнение (3.40), полученное на основе закона сохранения энергии,как раз и представляет собой искомое дополнительное уравнение, котороеследует добавить к уравнениям Янга-Миллса (3.36)–(3.37).Применим теперь уравнения (3.36), (3.37) и (3.40) к задаче о полеЯнга-Миллса стационарного сферически-симметричного тела.Рассмотрим классические источники вида (3.16).

При этом, так какJ 2,  J 3,  0 , выберем калибровку23F 2, F F 3, F,(3.41)которая выражает равноправие второй и третьей осей в калибровочномпространстве.75Обратимсякполученномувышесферически-симметричномурешению (3.20), (3.28) и (3.30).Из (3.41) находим, что в этом решении следует положить  0 ,tg0  1.(3.42)Рассмотрим уравнение (3.40). Учитывая (3.36), оно может бытьпереписано как F k ,   Fk ,  (4 / c) 2 J k , J k , .(3.43)Подставляя сюда выражения (3.20) и учитывая (3.16), (3.28), (3.30) и(3.42), получаем(dR / dr) 2  R 2 (d / dr) 2  (4 ) 2 r 4 .(3.44)Переходя к независимой переменной q , которая была определенаформулой (3.31), находим из (3.44):(dR / dq)  R (d / dq)  1,222rq  4  r 2 (r )dr ,(3.45)0где q  q(r ) представляет собой заряд шара радиуса r .Уравнения (3.32) и (3.45) даютdR / dq  cos  , R 2 (d / dq) 2  sin 2  , R  R(q),    (q) .

(3.46)Найдем решения уравнений (3.46), при которых формулы (3.20), (3.28)и (3.30) для напряженностей поля Янга-Миллса в рассматриваемомстационарномсферически-симметричномслучаеклассическими выражениями для кулоновскогосовпадаютсполя при малыхзначениях заряда q . Тогда найдем (0)  0, R(q)  q  o(q), q  0 .(3.47)Следовательно, при q  0 имеем d / dq   / q  sin  / R и поэтомуиз (3.46) и (3.47) получаемdR / dq  cos  , d / dq  sin  / R, R(0)  0,  (0)  0 .Из (3.48) имеем(3.48)76 dR / R   ctg d .dR  cos  dq, 1 / R  (1 / sin  )d / dq,(3.49)Следовательно, принимая во внимание (3.47), легко находимR  K 0 sin  , K 0  const .(3.50)Из (3.48) и (3.59) получаемd / dq  1 / K 0 , R  K 0 sin  .(3.51)Отсюда, учитывая (3.47), находим  q / K0 , R  K 0 sin( q / K0 ), K 0  const .(3.52)Подставляя выражения (3.52) в формулы (3.20), (3.28) и (3.30) длянапряженностей поля и учитывая (3.42), получаемF 1,l 0  K sin( q / K ) x l / r 3 , K  K 0 / 2  const,F 2,l 0  K cos 0 [1  cos(q / K )]x l / r 3 ,F3,l 0(3.53) K sin  0 [1  cos(q / K )]x / r ,lF k ,ml  0, k , m, l  1,2,3,3tg 0  1,где знак числа K выберем положительным.Из (3.53) и (3.31) следует, что компоненты напряженности F 1,l 0 поляЯнга-Миллса можно представить в видеrF1,l 0 qeff x / r , qeff  K sin( q / K ), q  4  r 2 (r )dr ,l3(3.54)0где q  q(r ) - заряд шара радиуса r , K – некоторая константа и qeff заряд, определяемый второй формулой в (3.54) и который можно нахватьэффективным зарядом.

Как видно из (3.54), при q / K  1, qeff  q .Согласно (3.54), константаKможет быть определена какминимальная положительная величина заряда q , для которого qeff  0773.2 Решение уравнений Янга-Миллса для нестационарныхсферически-симметричных источниковРассмотрим уравнения Янга-Миллса (3.1)–(3.2) с источниками J k ,следующеговида,являющегосясферически-симметричнымиковариантным относительно пространственных вращений вокруг точкиx1  x 2  x3  0 :(4 / c) J 1,0  j 0 ( , r ), (4 / c) J 1, l  x l j ( , r ), J 2,  J 3,  0,(3.55)l  1,2,3,   0,1,2,3,   x , r  ( x )  ( x )  ( x ) ,01 22 23 2где   x 0  сt, t - время, x1 , x 2 , x 3 - пространственные декартовыкоординаты, r - радиальная координата и j 0 , j - некоторые функции иr.Будем искать потенциалы Ak , , удовлетворяющие уравнениям ЯнгаМиллса (3.1)–(3.2) с источниками (3.55) в видеA1,0   0 ( , r ), A2,0   0 ( , r ), A3,0   0 ( , r ),1, lA x  ( , r ), Al2, l x  ( , r ), Al3, l x  ( , r ), l  1,2,3,(3.56)lгде  0 ,  ,  0 ,  ,  0 ,  - некоторые функции  и r .Подставляя выражения (3.56) для Ak , в формулу (3.2) для F k ,  ,находимF k ,   F k ,  , F k , ml  0, k , m, l  1,2,3,(3.57)F 1,0l  xl u( , r ), F 2,0l  xl v( , r ), F 3,0l  xl w( , r ),(3.58) 1  0u g ( 0    0 ), r r(3.59)где78 1  0v g ( 0   0 ), r r(3.60) 1  0w g (  0   0  ). r r(3.61)Подставляя формулы (3.55)–(3.58) в уравнение Янга-Миллса (3.1),получаем следующую систему уравнений:ru 3u  gr 2 ( w  v )   j 0 ,r(3.62)rv 3v  gr 2 (u  w )  0,r(3.63)rw 3w  gr 2 (v  u )  0,r(3.64)u g (v 0  w 0 )  j ,(3.65)v g ( w 0  u 0 )  0,(3.66)w g (u 0  v 0 )  0.(3.67)Обратимся теперь к равенствам (3.10) для J k , .

Подставляя формулы(3.55) и (3.56) в (3.10), имеемj 0j r  3 j  0,r(3.68)j 0 0  r 2 j  0,(3.69)j 0  0  r 2 j  0.(3.70)Таким образом, мы пришли к системе уравнений (3.59) – (3.70) инашей целью является поиск ее нетривиальных точных решений.Вначале рассмотрим случай u  0 . Тогда из (3.63) и (3.64) получаем (v 2  w 2 ) v w2v r  3v   2w r 3w   r 3(v 2  w2 )  0, (3.71)r r r79где u  0 и, следовательно, мы приходим к тривиальному решениюu  v  w  0 , не имеющему особенностей при r  0 .Поэтому мы будем в дальнейшем рассматривать случай, когдакомпонента напряженности поля u  0 .

Тогда докажем следующуютеорему, используя тождество (3.7).Теорема 3.2. Когда компонента напряженности поля u  0 , уравнения(3.60) и (3.61) являются следствиями уравнений (3.59) и (3.62)–(3.70).Доказательство. Рассмотрим функции j 0 , j,  0 ,  ,  0 ,  ,  0 ,  , u, v, w ,удовлетворяющиеуравнениям(3.59)и(3.62)–(3.70)ифункцииJ k , , Ak , , F k ,  , соответствующие им и определяемые по формулам(3.55)–(3.58). Пусть функции v и w есть v и w , удовлетворяющиесоответственноуравнениям(3.60)и(3.61)иF k , являютсянапряженностями поля, соответствующие функциям u, v  v и w  w .Мы должны доказать, чтоF k ,   F k ,  . Для этого отметимследующее. В рассматриваемом случае уравнение (3.59) эквивалентноуравнению (3.2) для F 1,  , а уравнения (3.62)–(3.70) эквивалентныуравнениям Янга-Миллса (3.1) и равенствам (3.10) для J k , .

Ввиду этогои так как уравнения (3.59) и (3.62)–(3.70) выполнены, функцииF 1,  и F 1,  совпадают, а функции Ak , , F k ,  , J k , удовлетворяют (3.1)и равенствам (3.10):F 1,   F 1,  , D F k ,   (4 / c) J k , , D J k ,  0.(3.72)Воспользуемся теперь тождеством (3.7) при  k ,   F k ,  и учтем,что компоненты F k ,  являются как раз напряженностями поля Янга-80Миллса, удовлетворяющими формуле (3.2). Тогда из (3.7) и (3.8), гдеF k ,  должны быть заменены на F k ,  , получаемmm. (3.73)D D F k ,   12 g klm F l ,  F 12 g klm ( F l ,   F l ,  ) FТак как F k ,    F k , , формулы (3.72) даютD D F k ,    D D F k ,   0(3.74)и, следовательно, из (3.73) находим klm ( F l ,   F l ,  ) Fm  0 .(3.75)Полагая k  2,3 и используя (3.57) и первое равенство в (3.72), из(3.75) получаем( F 3,0l  F 3,0l ) F01l  0, ( F 2,0l  F 2,0l ) F01l  0, l  1,2,3F1, F1, (3.76).Так как мы рассматриваем случай u  0 , из (3.58) имеем F01l  0 приx l  0 .

Поэтому, принимая также во внимание, что F k ,  , как и F k ,  ,удовлетворяет (3.57): F k , ml  F k , ml  0 , k , m, l  1,2,3 , из (3.76) получаемF k ,   F k ,  .Равенство(3.77)означает,чтофункции(3.77)F k ,  удовлетворяютуравнению (3.2), и функции v и w удовлетворяют уравнениям (3.60) и(3.61).Таким образом, теорема доказана.Следовательно, в рассматриваемом нетривиальном случае u  0 ,исследуемые уравнения (3.59)–(3.70) сводятся к уравнениям (3.59) и(3.62)–(3.70), которые мы будем далее решать.81Будем считать, что рассматриваемые источники поля J 1, занимаютобласть 0  r  r0 ( ) , где r0 - некоторая функция  , в которой j 0  0 ивне этой области, r  r0 ( ) , J 1,  0.Вначале рассмотрим область r  r0 ( ) , где j 0  j  0 . В этой областивыберем калибровочные преобразования так, чтобы F 2,01  F 3,01  0 , ипусть F 1,01 является ненулевым. Тогда, как следует из (3.58), имеемu  0, v  w  0, j 0  j  0, r  r0 ( ).(3.78)Из (3.63), (3.64), (3.66), (3.67) и (3.78) легко находим 0     0    0, r  r0 ( )(3.79)и из (3.56) и (3.79) получаем A2,  A3,  0 при r  r0 ( ) .Таким образом, в области r  r0 ( ) вне источников поля мы находимтолько решения, получаемые из решений максвелловских уравнений(3.15) посредством калибровочных преобразований.Поэтому будем в дальнейшем рассматривать решения уравненийЯнга-Миллса в области 0  r  r0 ( ) , где функция j 0  0 .Обратимся теперь в нетривиальном случае u  0 к уравнениям (3.59)и (3.62)–(3.70), к которым сводится рассматриваемая задача ввидудоказанной выше теоремы.Начнем с уравнений (3.63), (3.64), (3.66) и (3.67).

Они дают  ( gr 2u) 1 ( gr 2v  rw / r  3w),(3.80)  ( gr 2u) 1 ( gr 2 w  rv / r  3v),(3.81) 0  ( gu) 1 ( gv 0  w /  ),(3.82) 0  ( gu) 1 ( gw 0  v /  ).(3.83)Рассмотрим уравнения (3.69) и (3.70). Подставляя формулы (3.80)–(3.83) в (3.69) и (3.70), получаем82j 0 ( gw 0  v /  )  j ( gr 2 w  rv / r  3v),(3.84)j 0 ( gv 0  w /  )  j ( gr 2v  rw / r  3w).(3.85)Умножая (3.84) на  v и (3.85) на w и затем производя их сложение,находимj 0(v 2  w2 ) /   j[r(v 2  w2 ) / r  6(v 2  w2 )]  0 .(3.86)Положимz  (v 2  w2 )1 / 2 , v  z cos  , w  z sin  ,    ( , r ).(3.87)Тогда уравнение (3.88) приобретает видj 0z /   j (rz / r  3z )  0.(3.88)Уравнение (3.88) имеет тривиальное частное решение z  0 , длякоторого v  w  0 . В этом случае при u  0 из (3.63), (3.64), (3.66), (3.67)и (3.56) приходим к тривиальному случаю A2,  A3,  0 , в которомуравнения Янга-Миллса приобретают вид (3.15), соответствующийуравнениям Максвелла.Поэтому в дальнейшем будем рассматривать случай z 2  v 2  w2  0и без потери в общности будем считать, что v  0 .Рассмотрим уравнение (3.85).

Из него, используя формулы (3.87) иуравнение (3.88), получаемj 0 0  r 2 j  ( gv) 1[ j 0 w /   j (rw / r  3w)] ( gv) 1[ j 0 z /   j (rz / r  3z )] sin 1 ( gv) z cos  ( j  /   rj / r )(3.89)0 g 1 ( j 0  /   rj / r ).Уравнение (3.89) может быть представлено какj 0 ( 0  g 1 /  )  rj(r  g 1 / r ).(3.90)83Обратимся к уравнениям (3.62) и (3.65). Умножим (3.62) на j и (3.65)на j 0 и затем сложим их. Тогда, принимая во внимание равенства (3.69) и(3.70), получимj 0u /   j (ru / r  3u)  0.(3.91)Используя формулы (3.80), (3.81) и (3.87), находимw  v  (2 gr 2u ) 1[r (v 2  w2 ) / r  6(v 2  w2 )](3.92)1 ( gr u ) z (rz / r  3z ).2Подставляя (3.92) в уравнение (3.62), получаемu(ru / r  3u  j 0 )   z (rz / r  3z ).(3.93)Обратимся к уравнению (3.59).Как следует из (3.69) и (3.70), в рассматриваемой области0  r  r0 ( ) , в которой j 0  0 , имеем 0  ( j / j 0 )r 2  ,  0  ( j / j 0 )r 2 .(3.94) 0    0  0(3.95)Следовательно,и из этого равенства и уравнения (3.59) находимu   /   (1 / r ) 0 / r.(3.96)Таким образом, в рассматриваемом сферически симметричном случаеуравнения Янга-Миллса (3.1)–(3.2) с источниками поля вида (3.55)приводятся к дифференциальным уравнениям (3.88), (3.90), (3.91), (3.93)и (3.96) и соотношениям (3.68), (3.80), (3.81), (3.94) и (3.87), которыебудут ниже рассматриваться и для которых будет получено точноерешение.Обратимся теперь к поиску точных решений системы из пятидифференциальных уравнений (3.88), (3.90), (3.91), (3.93) и (3.96).84Вначале рассмотрим уравнение (3.91).

Умножая его на r 3 , получаем(r 3u )(r 3u )j rj 0.r0(3.97)Введем функциюrq( , r )   r 2 j 0 dr ,(3.98)0которое представляет собой заряд сферической области радиуса r вмомент t   / c .Используя равенство (3.68), из (3.98) находим0q (r 3 j )2 j2  j rdr    r  r  3 j dr   dr  r 3 j , (3.99) 0 r r00rrrq r2 j0 .r(3.100)Из (3.99) и (3.100) имеемj0qq rj 0.r(3.101)Используя соотношение (3.101), находим следующее точное решениеуравнения (3.97):r 3u  P(q) ,(3.102)где P - произвольная дифференцируемая функция аргумента q .Действительно, подставляя (3.102) в уравнение (3.97) и используя(3.101), получаем(r 3u )(r 3u )PPq  qj rj j0 rj P(q) j 0 rj   0 .