Диссертация (Исследование некоторых типов дифференциальных уравнений с сильной нелинейностью), страница 5

Из них имеем37q r   (t , r , z ), q z  (t , r , z ),  r[  t   (r r   )   z   2   (  rr  3 r / r   zz )],(2.16)   t  r r   z   ( rr   r / r   zz ).Из (2.16) приходим к следующему равенству, эквивалентномуравенству (2.12): / z   / r .(2.17)Из него вытекает, что в любой односвязной области выражениеdr  dz является полным дифференциалом и, значит, функция q можетбыть определена по формуле(r ,z)q (dr  dz)  q0 (t ),(2.18)( r0 , z0 )где интеграл берется вдоль любой непрерывной кривой, соединяющейфиксированную точку (r0 , z0 ) с точкой (r , z ) и q0 (t ) - некоторая функция,задающая значения q в точке (r0 , z 0 ) .Таким образом, рассматриваемая проблема сводится к нахождениюрешения нелинейной системы трех уравнений (2.15) которую далее будемисследовать.2.3 Исследование осесимметричных решений уравнений НавьеСтокса в виде степенных рядов по радиальной координатеБулем искать решения системы (2.15) в следующем виде:   a n (t , z )r 2n ,    bn (t , z )r 2n ,    cn (t , z )r 2 n ,n 0n 0(2.19)n 0где an , bn , cn - некоторые функции от t и z, в области в которой данныестепенные ряды являются сходящимися.Тогда для функции  в (2.15) находим38   z   r / r   d n (t , z )r 2 n ,(2.20)d n (t , z )  bn  2(n  1)cn1 , bn  bn / z .(2.21)n 0гдеПодставим формулы (2.19) и (2.20) в три уравнения (2.15).

Тогдаприравнивая члены, содержащие r 2 n в их левых и правых частях,получаемcn  2(n  1)bn ,nnk 0k 0(2.22) 2 a k bnk  a n   (2kak bnk  a k cnk )   [4(n  1)(n  2)a n1  a n ] , (2.23)n2 ak ankk 0n dn   (2kdk bnk  d k cnk )  [4(n  1)(n  2)d n1  d n ] , (2.24)k 0где an  an / z, an   2 an / z 2 , a n  an / t .Из уравнений (2.23) и (2.24) с использованием (2.21) и (2.22)приходимa n1кследующимрекуррентнымсоотношениям:n(n  k  1)a k cnk  (k  1)a k cn k1aann4 (n  1)(n  2) n  k 1k 0 ,(2.25)d n 1 n (n  k  1)(2a a k1k n  k  d k cn  k )  kdk cn d n  d n  4 (n  1)(n  2) n  k 1k 0,(2.26)где n  0, 1, 2, ...

иc n1  c n 1  d n .2(n  1) 2(n  1) (2.27)Следует отметить, что в рекуррентных соотношениях (2.25)-(2.27) трифункцииa0 (t , z ) ,c0 (t , z )иd 0 (t , z )являютсяпроизвольнымидифференцируемыми.Полученные результаты можно сформулировать в виде следующейтеоремы:39Теоремапредставимые2.1вРешениявидеуравненийстепенныхНавье-Стоксарядов(2.19),(2.1)-(2.2),удовлетворяютрекуррентным соотношениям (2.25)-(2.27), в которых три функцииa0 (t , z ), c0 (t , z ) и d 0 (t , z ) являются произвольными бесконечное число раздифференцируемыми.Как видно из рекуррентных соотношений (2.25)-(2.26) и (2.27), онисоответственносодержатмножители(n  1) 1 (n  2) 1и(n  1) 1 ,стремящиеся к нулю при n   . Как будет показано ниже, этообстоятельство сыграет важную роль в том, чтобы степенные ряды (2.19)были в ряде случаев абсолютно сходящимися.2.4 Три класса частных аналитических решений для уравненийНавье-СтоксаДалее будем рассматривать три случая, в которых рекуррентныесоотношения (2.25)-(2.27) дают решения уравнений Навье-Стокса прилюбых значениях независимых переменных t , z и r .2.4.1 Класс решений в замкнутой формеРассмотрим случайa0  a(t ), c0  g (t )  zh(t ), d 0  0 ,(2.28)где a(t ), g (t ) и h(t ) - некоторые дифференцируемые функции.

Тогда из(2.25)-(2.27) получаемan  an (t ), cn1 (t )  0, d n  0, n  0, 1, 2, ...,где функции a n (t ) удовлетворяют рекуррентным соотношениям(2.29)40a n1 Рассмотримa n  (n  1)ha n, n  0, 1, 2, ...., h  h(t ), a n  a n (t ). (2.30)4 (n  1)(n  2)теперьслучайa N 1  0 ,гдеN–некотороенеотрицательное целое. Тогда из (2.30) получаемan  0, n  N  1ипоследовательнонаходим(2.31)a N , a N 1 , ..., a0порекуррентномусоотношению t a n1 ( )a n  4 (n  1)(n  2) An (t ) d  C n  , An ( )0tAn (t )  exp (n  1)  h( )d  ,0(2.32)где n  N , N  1, ..., 0 , a N 1  0 и C n - произвольные константы.Из формул (2.19), (2.22), (2.28), (2.29) и (2.31) получаем следующиечастные решения уравнений (2.15):N   a n (t )r 2n ,    12 h(t ),   g (t )  zh (t ) ,(2.33)n 0гдеa n (t )определяютсяформулами(2.32),N–произвольноенеотрицательное целое, g (t ) и h(t ) - произвольные дифференцируемыефункции и выражения для  и  содержат N+1 произвольные константыС0 , C1 , ..., C N .В результате приходим к следующей теореме:Теорема 2.2 Существует класс частных решений уравнений НавьеСтокса (2.1)-(2.2), представимых в замкнутой форме и описываемыхформулами (2.5), (2.32) и (2.33).Формулы (2.5), (2.32) и (2.33), дающие класс частных решений взамкнутой форме для уравнений Навье-Стокса, могут быть применены к41жидкости, занимающей цилиндрическую область 0  r  r0 , где r0 некоторый конечный радиус.

Константы C0 , C1 ,...,C N в них определяютначальное условие приt 0и функцииg (t ) и h(t ) соответствуютопределенным граничным условиям при r  r0 .Нужно отметить, что в полученных частных решениях функция  нестремится к нулю при   0 , когда Cn  U n / для некоторых индексов n,где U n - ненулевые константы, не зависящие от параметра  .Рассмотри теперь частный случай h(t )  h0 , где h0  const  0 . Тогдаиз формул (2.32) получаемNAn  e ( n1) h0t , an   an,k e ( k 1) h0t ,(2.34)k nгде an,k - некоторые константы и a N , N  4 ( N  1)( N  2)C N .Подставляя (2.34) в формулу (2.32), получаем для n  N  1, N  2,...,01 an,k e (k 1)h0t  4 (n  1)(n  2) Cn  h0k n.NNan1,k  ( n1) h0tae k n  (k nn1,)kh0 e (k 1)h0t k n 1k n 1N(2.35)Этодаетрекуррентные1a n,n  4 (n  1)(n  2) C n h0соотношениядляa n, ka n1,k a n1,k,a4(n1)(n2), k  n  n,k(kn)h0k  n 1(2.36)Nгде n  1  k  N , n  N  1, N  2,...,0, a N , N  4 ( N  1)(N  2)C N .ПоложимCn где S n  const,Sn, h0  ( N  1)( N  2) f 0 ,( N  1)( N  2)f 0  const  0 .Тогда рекуррентные соотношения (2.36) приобретают вид(2.37)42a n,n4 (n  1)(n  2) 1 S n ( N  1)( N  2) f0a n1,k 4 (n  1)(n  2)a n1,k,,an,k(k  n)( N  1) N  2) f 0k  n 1 k  n N(2.38)где n  1  k  N , n  N  1, N  2,...,0, a N .N  4S N .В рассматриваемом случае h(t )  h0 , частные решения для уравненийНавье-Стокса определяются формулами (2.33), (2.34) и (2.38).

Так какрассматриваемая константа h0  0 , из (2.33) и (2.34) находим, чтофункция  (t , r )  0 при t   .2.4.2 Класс решений, не зависящих от zРассмотрим случайa0  a(t ), c0  c(t ), d 0  d (t ) .(2.39)где a(t ), c(t ) и d (t ) - некоторые дифференцируемые функции. Тогда из(2.25)-(2.27) находимan  an (t ), cn  cn (t ), d n  d n (t ), n  0 ,a n1 (2.40)a nd ndn, d n1 , cn1  .4 (n  1)(n  2)4 (n  1)(n  2)2(n  1)(2.41)Формулы (2.41) даютa ( n ) (t )d ( n ) (t )1d ( n ) (t )an , dn , cn1  , n  0,2 (4 ) n (n  1)!2(4 ) n n!(n  1)!(4 ) n n!(n  1)!(2.42)где a (0) (t )  a(t ) .Из(2.19),(2.22)и(2.42)получаемa ( n ) (t ) r 2 n1  d ( n ) (t ) r 2( n1)  a(t )  ,   0,   c(t )  .

(2.43)n2n2(4)n!(n1)!(4)(n1)!n 1n 043Когдаa ( n) (t )   A(t )  и d ( n) (t )  D(t )  , n  0 , гдеnnA(t ) и D(t ) -некоторые положительные функции, два ряда в (2.43) – абсолютносходящиеся при любом r. В частности, эти условия выполнены, когдафункции a(t ) и d (t ) представляют собой конечные суммы выраженийвида Ce t sin(t   ) , где C,  , ,  - константы.В результате приходим к следующей теореме:Теорема 2.3 Существует класс частных решений уравнений НавьеСтокса (2.1)-(2.2), описываемых формулами (2.5) и (2.43).Отметим, что когда функции a(t ) и d (t ) - полиномы, из (2.43)получаем конечные суммы для функций  (t , r ) и  (t , r ) .Рассмотрим теперь частный случайa(t )  A0   Am emtm1, d (t )  D0   Dm e mt ,(2.44)m1где Am , Dm , m , m - константы, m  0,  m  0, t  0 и бесконечныепоследовательности Am и Dm - абсолютно суммируемы.Тогда из формул (2.43) находимn(1) n   m r 2 mt  A0   Am e  4  ,   0,n!(n1)!m 1n 0  c(t )  12 D0 r 2  2 Dmm 1  m(1) n1   m r 2 2 4(n1)!n 0e mt (2.45)n 1.Используя бесселевы функции J 0 ( x) и J1 ( x) первого рода, данныевыражения могут быть представлены как44  A0 2 r1m 0AmmJ1 ( m / )r e mt ,   0,  c(t )  12 D0 r 2  2 Dmm1  mJ 0(2.46) ( m / )r  1 e mtКак хорошо известно, функции J 0 ( x) и J1 ( x) имеют следующийасимптотическийвид13приx   :13J 0 ( x)  (x) 2 (sin x  cos x)  O( x 2 ), J 1 ( x)  (x) 2 (sin x  cos x)  O( x 2 ) .(2.47)Следовательно, в рассматриваемом случае (2.44) формулы (2.5) и(2.46) дают бесконечную кинетическую энергию для жидкости, котораязанимает бесконечную область 0  r  , z  z 0  const и не находится всостоянии покоя.Рассмотрим теперь жидкость, занимающую цилиндрическую область0  r  r0 , где r0 - некоторый конечный радиус, и пусть граничныеусловия для нее будут следующими: (t , r0 )  0,  (t , r0 )  0 .(2.48)Нужно отметить, что в частном случае  (t , r )  0 эта задачарассматривалась в [2].При  (t , r )  0 , из (2.46) и (2.48) получаем(m / ) r0  k m , m  1, 2, 3, ...

,(2.49)где k1 , k 2 , k3 , ... - бесконечная последовательность нулей бесселевойфункции J1( x) : 0  k1  k 2  k3  ..., J1 (k m )  0, m  1, 2, 3, ... .Следовательно, функция  (t , r ) принимает вид  A0 2r0  AmJ1 (k m r / r0 ) exp  k m2 t / r02 .r m1 k m(2.50)45Как хорошо известно, бесселевы функции J  (k m(  ) s) , где   1 иJ  (k m(  ) )  0 ,0  k1(  )  k 2(  )  ...  k m(  )  ...