Диссертация (Исследование некоторых типов дифференциальных уравнений с сильной нелинейностью)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ«МИРЭА – РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»На правах рукописиРАБИНОВИЧ АЛЕКСАНДР СОЛОМОНОВИЧИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙ С СИЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степени доктора наукпо прикладной математике НИУ ВШЭМосква – 20182СОДЕРЖАНИЕСтр.ГЛАВА 1 ВВЕДЕНИЕ.......................................................................................4ГЛАВА 2 НЕКОТОРЫЕ НОВЫЕ ТИПЫ ОСЕСИММЕТРИЧЕСКИХРЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ–СТОКСА2.1 Осесимметричные течения несжимаемой вязкойжидкости…………………….......................................................332.2 Следствия уравнений Навье–Стокса в случае осевойсимметрии………………………….............................................362.3 Исследование осесимметричных решений уравнений Навье–Стокса в виде степенных рядов по радиальной координате..

372.4 Три класса частных аналитических решений для уравненийНавье–Стокса…………………………………………………...392.5 Частное аналитическое решение уравнений Навье–Стокса,экспоненциально затухающее при больших значенияхрадиальной координаты………………………………………..492.6 Частное аналитическое решение уравнений Навье–Стокса дляжидкости при наличии кавитации…………………………….59ГЛАВА 3 НОВЫЕ КЛАССЫ РЕШЕНИЙ КЛАССИЧЕСКИХУРАВНЕНИЙ ЯНГА–МИЛЛСА3.1 Стационарное сферически-симметричное решение уравненийЯнга–Миллса……………………………………………………663.2 Решение уравнений Янга–Миллса для нестационарныхсферически-симметричных источников………………………773.3 Осесимметричные волновые решения уравнений Янга–Миллса…………………………………………………………..903.4 Решения уравнений Янга–Миллса, описывающих класс3поперечных неабелевых волн……………………………….....953.5 Неабелевые расходящиеся волны…………………………...108ГЛАВА 4 ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙРЕЛЯТИВИСТСКОГО ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ ПОДДЕЙСТВИЕМ ЮКАВСКОГО И КУЛОНОВСКОГОПОТЕНЦИАЛОВ4.1 Совместное действие скалярного и векторного полей……..1204.2 Релятивистская частица в юкавском и кулоновском полях..1274.3 Периодических орбит частиц в юкавском и кулоновскомполях………………………………………………………….....131ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………..136СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………….1394ГЛАВА 1 ВВЕДЕНИЕ1.1 Общая характеристика работыАктуальность темы связана с той большой ролью, которую играетразработкановыхматематическихметодовдляисследованиянедостаточно изученных физико-математических проблем и поискааналитических подходов к изучению связанных с ними нелинейнымисистемами дифференциальных уравнений.Хотя существует значительное число математических методов втеории дифференциальных уравнений, в этой области имеется немалопроблем, требующих для своего решения привлечения ряда новых идей.В первую очередь это касается физических задач, описываемыхсистемами дифференциальных уравнений с сильной нелинейностью.Исследованию ряда таких проблем и связанных с ними нелинейныхдифференциальныхуравненийипосвященадиссертация.Внейизучаются следующие вопросы:1) Исследование нелинейных дифференциальных уравнений НавьеСтокса, описывающих течение вязкой несжимаемой жидкости.Уравнения Навье-Стокса являются основными уравнениямигидродинамики и им посвящено большое число работ.

Однако ввиду ихсущественной нелинейности в их изучении превалируют численныеподходы, а число полученных аналитических решений весьма мало. Поэтой причине в диссертационной работе большое внимание уделяетсяпоиску частных аналитических решений, которые могли бы датькачественноепредставлениеобособенностяхтечениявязкойнесжимаемой жидкости. При этом особый интерес может представитьслучай больших чисел Рейнольдса, при которых течение жидкости можетстать турбулентным, а также случаи проявления в ней явления кавитации.5В диссертации исследуются следующие классы аналитическихрешений уравнений Навье-Стокса, имеющих осевую симметрию:a)ИсследованиеклассоврешенийуравненийНавье-Стокса,представимых в виде степенных рядов по радиальной координате скоэффициентами, зависящими от времени и осевой координаты.Изучение случаев, при которых может быть определен явный вид этихкоэффициентов и найдены условия сходимости данных рядов, а такжеслучаев, при которых они приводят к решениям в замкнутой форме.б) Исследование специальных форм для скоростей и давления ввязкой несжимаемой жидкости и приводящих к частным аналитическимрешениям трехмерных уравнений Навье-Стокса.

Изучение особенностейэтих решений при больших числах Рейнольдса, когда становитсявозможным турбулентное течение вязкой жидкости. Изучение случаевтечения жидкости при возникновении кавитационных явлений.2) Исследование нелинейных уравнений Янга-Миллса для описанияинтенсивных неабелевых полейКак известно, уравнения Янга-Миллса занимают центральное местопри описании электрослабых и сильных взаимодействий и им посвященобольшое число работ. Важную роль в их изучении сыграли неабелевыесферически-симметричные решения Т. Ву и Ч. Янга, Г. „т Хоофта и А.Полякова, решение в виде неабелевых плоских волн С.

Коулмена,оказавшее влияние на последующие работы в этой области и, в том числе,на данную диссертацию, нестационарные неабелевые решения С.Матиняна и Г. Саввиди, исследования Р. Гласси и В. Штрауса задачиКоши для уравнений Янга-Миллса и целый ряд других работ.В диссертационной работе ищутся новые классы точных решенийуравнений Янга–Миллса.

В ней получены следующие типы решений:6а)Стационарныеинестационарныесферически-симметричныерешения уравнений Янга–Миллса для классических источников поля,представляющиесобойнелинейныеобобщенияклассическихмаксвелловских решений.б) Осесимметричные решения Янга-Миллса в виде неабелевых волн,распространяющихся со скоростью света вдоль некоторого направления.в) Решения уравнений Янга-Миллса в виде неабелевых расходящихсяволн, распространяющихся со скоростью света.Данные решения могут быть важны в изучении нелинейныхпроцессов, вызываемых космическими источниками полей Янга-Миллса.3) Исследование нелинейных динамических уравнений длярелятивистских частиц, движущихсяпод действием юкавского икулоновского потенциаловРассматривается движение релятивистской частицы в классическомприближении, находящейся под действием двух центральных силюкавского и кулоновского типов.

Для его описания используетсяклассический лагранжиан для частицы, находящейся в электрическомполе, в который вводится также потенциал Юкавы.Данный лагранжиан приводит к системе нелинейных динамическихуравнений второго порядка. Эта система уравнений применяется крелятивистской частице, движущейся в некоторой плоскости поддействием центральных сил. Проводится исследование рассматриваемыхуравнений в полярных координатах и определяется их первый интеграл.Показывается, что при определенных условиях возможно движениечастиц по замкнутым орбитам.7Цель работы состояла в изучении нелинейных дифференциальныхуравнений, возникающих в ряде задач математической физики.Для этого в работе было- проведено исследование аналитических осесимметричных решенийуравненийНавье-Стоксадлявязкойнесжимаемойжидкости,представимые в виде степенных рядов по радиальной координате скоэффициентами, зависящими от времени и осевой координаты;-найдено частное аналитическое решение трехмерных уравненийНавье-Стокса специального вида и рассмотрены его особенности прибольших числах Рейнольдса, когда становится возможным турбулентноетечение вязкой жидкости;- найдено частное аналитическое решение трехмерных уравненийНавье-Стокса, описывающее случай течения жидкости при появлениикавитации.-полученыиисследованыстационарныеинестационарныесферически симметричные решения уравнений Янга–Миллса с SU(2)симметрией для классических источников специального типа;- найдены неабелевые волновые решения для описания излученийкосмических источников полей Янга-Миллса;- получена и исследована нелинейная система дифференциальныхуравнений,описывающаядвижениерелятивистскойчастицывцентральном поле юкавского и кулоновского потенциалов.Научная новизна состоит в математическом анализе нелинейныхдифференциальныхуравнений,возникающихврядепроблемосесимметричныерешенияматематической физики.Найденынекоторыеаналитическиеуравнений Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости в виде8степенныхрядов по радиальной координате с коэффициентами,зависящими от времени и осевой координаты.Найдены частные точные решения трехмерных уравнений НавьеСтокса, позволяющее исследовать некоторые особенности течения вязкойжидкости при больших числах Рейнольдса, когда может возникнутьтурбулентность, а также при возникновении кавитации.Получены некоторые новые типы стационарных и нестационарныхсферически-симметричных решений.Найдены некоторые осесимметричные неабелевые волновые решенияи решения в виде неабелевых расходящихся волн.Рассмотрена и исследована система нелинейных дифференциальныхуравнений,описывающаядвижениерелятивистскойчастицыподдействием центральных полей юкавского и кулоновского типов.Теоретическая и практическая значимость работы:Полученные в диссертационной работе некоторые новые точныерешения уравнений Навье-Стокса могут быть применены для анализатечений вязкой несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса,когда становится возможным появление турбулентности, а также привозникновении кавитации.Найденные в работе новые точные решения уравнений Янга–Миллсадля сферически-симметричных источников специального типа и дляраспространяющихся неабелевых волн могут быть применены дляизучения нелинейных физических процессов, происходящих в звездах.Проведенноевнейисследованиесистемынелинейныхдифференциальных уравнений для релятивистских частиц, движущихсяпод действием центральных полей юкавского и кулоновского типа, важнодля изучения динамики нуклонов и антинуклонов в полях атомных ядер.91.2 Некоторые новые типы осесимметричных решений уравненийНавье-Стокса1.2.1 Исследование осесимметричных течений однороднойнесжимаемой вязкой жидкостиВглаве2будутрассматриватьсяуравненияНавье-Стокса,описывающие однородную несжимаемую вязкую жидкость.

Они имеютвидvvvv1 v1 v2 v3  grad p  f  v ,txyzdiv v  0,  const,   const,(1.1)(1.2)где v=v(t,x,y,z) - вектор скорости, p=p(t,x,y,z) - давление, v1 , v2 , v3 проекции вектора скорости на ортогональные оси x, y, z,t -время,f=f(t,x,y,z) –сила, действующая на единицу массы рассматриваемойжидкости,  - ее плотность и  - ее кинематическая вязкость.Уравнения Навье-Стокса являются основными уравнениями механикижидкости и газа и им посвящено большое число аналитических ичисленных исследований. Однако ввиду существенной нелинейностиданных уравнений, было найдено лишь небольшое число классов ихточных решений. Нашей же целью является рассмотрение и изучениенекоторых новых аналитических решений уравнений Навье-Стокса вслучае осевой симметрии.В дальнейшем будем изучать случай, в котором сила f являетсяпотенциальной.

Тогда для ее потенциала  имеем равенствоf  grad  .Тогда уравнения (1.1) и (1.3) можно представить в виде(1.3)10vvvv v1 v2 v3 grad q  v, q   p /    . (1.4)txyzДля уравнений Навье-Стокса (1.2) и (1.4) будут рассмотреныосесимметричные решения, в которых компоненты v1 , v2 , v3 векторфункции v и функцию q имеют следующем вид:v1  y  x, v2  x  y, v3   ,    (t , r , z ),   (t , r , z ),    (t , r , z ), q  q(t , r , z ), r  x  y .2Здесьфункцияпредставляетсобойугловую(1.5)2скоростьточеквращающейся жидкости, а функции  и  описывают изменение ееформы.Подстановка (1.5) в уравнения Навье-Стокса (1.2) и (1.4) приводит кследующим уравнениям:r r  2   z  0 , t   (r r  2 )   z   ( rr  3 r / r   zz )  0 ,(1.6)(1.7) t   (r r   )   z   2  ( rr  3 r / r   zz )  qr / r , (1.8) t  r r   z  ( rr   r / r   zz )  q z ,(1.9)где  t   / t ,  r   / r ,  z   / z .Уравнения (1.8) и (1.9) после исключения функции q приводят куравнению2z  t  r r   z   (rr  3r / r   zz ),    z   r / r.