Диссертация (Исследование некоторых типов дифференциальных уравнений с сильной нелинейностью), страница 13

(3.362)После умножения (3.361) на s a ( y 0 ) , суммирования его по индексу aи учета антисимметричностиf abc приходим к следующей простойформуле для функции  ( y0 ) :  ( y0 )  s / s, s 2  a 1 s a , s  s( y0 ) s  ds / dy0 .N2(3.363)Из (3.361) и (3.363) находим, что в случае s  const функция   0 и d aпропорциональны s a .Рассмотрим уравнение (3.362) в области   0 . Случай   0 можетбыть рассмотрен совершенно аналогично. Будем искать решенияуравнения (3.362) при   0 в видеMv ( y0 ,  ,  )  Re  Vna ( y0 ,  ) exp n(  i )  ,a(3.364)n 0гдеVna ( y0 ,  )-некоторыекомплексныефункциииn, M -неотрицательные целые числа.

Тогда подставляя (3.364) в уравнение(3.362), приходим к следующему уравнению: 2VnaVna 2n 1  th 2 f abcVnb s c ( y0 ) .2(3.365)Выберем переменную   th вместо  и положимVna  Vna ( y0 ,  ),   th .(3.366)116Тогдауравнение(3.365)приобретаетследующийвид,таккакd / d  1  th 2  1   2 :1   2 2VnaVna 2n    f abcVnb s c ( y0 ), 0    1.2(3.367)  (1   ) / 2, 0    1 / 2, 0    1 ,(3.368)Полагаяиз (3.367) получаем 2VnaVna (  1) (n  1  2 ) f abcVnb s c ( y0 )  0 .2(3.369)Будем искать решения Vna ( y0 , ) уравнения (3.369) в видеV   aj ,n ( y0 ) j ,an(3.370)j 0где aj ,n ( y0 ) - некоторые комплексные функции.Тогда подставляя (3.360) в уравнение (3.369), получаем рекуррентноесоотношение для 1a,n , a2,n , 3a,n , . .

.aj 1,nj ( j  1)aj ,n  f abcbj ,n s c( j  1)( j  1  n),j  0, 1, 2,... ,(3.371)где комплексные числа a0,n  a0,n ( y0 ) могут быть заданы произвольно.Из (3.371) можно легко найти, что последовательность aj ,n ( y0 )является ограниченной для любых y0 .Действительно, положимL( y 0 )  max f abc s c ( y0 )1a ,b Nи рассмотрим (3.371) принаходим(3.372)j  L( y0 )  1 и произвольном y0 . Тогда117max aj 1,n 1a Nj ( j  1)  L( y0 )max aj ,n  max aj ,n ,1a N( j  1)( j  1  n) 1a Nj  L( y0 )  1.(3.373)Формула (3.373) как раз доказывает, что последовательность aj ,n ( y0 )является ограниченной для любых y0 .Из (3.373) также получаем, что величины max aj ,n , 0  j  1a Nограничены их максимальными значениями при 0  j  L( y0 ) .Как указано в (3.368), 0    1 / 2 .

Кроме того, как показано выше,последовательность aj,nограничена для любых y0 . Следовательно,рассматриваемый степенной ряд (3.370) является абсолютно сходящимсяи поэтому становится возможным определить функции Vna ( y0 , ) .После нахождения aj,n и затем применения (3.364), (3.366), (3.368) и(3.370) мы можем определить функции v a ( y 0 , ,  ) в области   0 .Случай   0 может быть легко сведен к рассмотренному случаю   0путемзамены  в(3.362).Послеопределенияфункцийv a ( y0 , ,  ) и затем использования формул (3.351), (3.355), (3.359),(3.361) и (3.363) можно найти функции u a ( y0 , y1 , y 2 , y3 ) , описывающиенеабелевые расходящиеся волны посредством формул (3.339) и (3.340).Эти функции определяются черезNпроизвольных комплексныхфункций a0,n ( y0 ) .Как показано выше, рассматриваемые волны могут иметь продольныекомпоненты, когда функции p a вида (3.348) не равны нулю.Следует отметить, что полученные волновые решения уравненийЯнга-Миллса могли бы быть использованы для нахождения космических118источников полей Янга-Миллса.

Это могло бы быть реализовано путемпоиска продольных компонент в волнах, излучаемых звездами.Подставим теперь ряд (3.370) в формулу (3.364) и учтем выражения(3.355) и (3.368) для  ,  и  . Тогда приходим к формуле(r  x1 ) j ( x 2  ix 3 ) nv  Re  ( x  r ),(2r ) j (r  x1 ) nn  0 j 0Maaj ,n0(3.374)где aj.n удовлетворяют рекуррентному соотношению (3.371).  0 в формуле (3.359), при которомРассматривая случайотсутствует особенность в найденном решении при x1   , приходим кследующему результату:Теорема 3.8 Для классических уравнений Янга-Миллса (3.337)-(3.338)скомпактнойкалибровочнойполупростойгруппы,алгебройрассматриваемыхЛивN-параметрическойпространстве-времениМинковского с координатами x  , существует класс волновых решений,определенных вне нижней полуоси x1 : X 1  {x1  0, x 2  x 3  0} иопределяющихся формуламиA a ,0  d a ( x 0  r )  s a ( x 0  r ) / r  v a ( x 0  r , x1 , x 2 , x 3 ),A a ,l  x l / r , l  1, 2, 3, r  ( x1 ) 2  ( x 2 ) 2  ( x 3 ) 2 ,гдефункцииd a (x0  r)определяютсяизсистемы(3.375)линейныхалгебраических уравнений (3.361) при   0 , причем s a ( x 0  r ) произвольные функции, удовлетворяющие при   0 , как следует из(3.363), условиюабсолютноa1 (s a ) 2  const .

Функции vNсходящегосявненижнейaимеют вид ряда (3.364),полуосиX 1 ,вкотором119функции aj ,n ( x 0  r ) определяются по рекуррентной формуле (3.371), гдеa0,n ( x 0  r ) являются произвольными комплексными функциями.В главе были использованы результаты наших работ [86-105].120ГЛАВА 4ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙРЕЛЯТИВИСТСКОГО ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ ПОД ДЕЙСТВИЕМЮКАВСКОГО И КУЛОНОВСКОГО ПОТЕНЦИАЛОВ4.1 Совместное действие скалярного и векторного полейРассмотрим массивное нейтральное скалярное поле с потенциалом  .Для его описания в линейном приближении используется уравнениеЮкавы вида [106, 107] n  n   2  4 2  0 (t , r) ,(4.1)где  n   / x n , n  0, 1, 2, 3 , x 0  ct , x1  x, x 2  y, x 3  z , t – время, x, y,z – декартовы координаты, r  ( x, y, z ) ,   mq c /  , mq - масса покояквантов поля,  - константа поля и  0 - плотность массы покояисточника поля.Обратимся к случаю, когда потенциал  может принимать достаточнобольшие значения, и применим для него следующее нелинейноеобобщение уравнения (4.1): n  n   2  4 2  0 (t , r) f ( ) ,гдеf ( )-некотораянепрерывнаяположительная(4.2)функция,учитывающая влияние потенциала  на плотность массы источника поля.Для нее надо положитьf (0)  1,f ( )  0 .(4.3)Для уравнения (4.2) имеет место следующая теорема.Теорема 4.1 Уравнение (4.2) можно получить, исходя из принципанаименьшего действия S c лагранжевой плотностью L следующего вида:121S1Ld 4 x, S  0 ,cL    0 (t , r )( ) 18       .n2(4.4)22n(4.5)где( )   f ( )d .(4.6)Доказательство.

Действительно, из уравнения Остроградского длявариационной задачи (4.4) имеемL  L   0. n  x   n (4.7)L2   0 (t , r ) f ( ) ,4 2(4.8)L1 n . n 4 2(4.9)Из (4.5) и (4.6) имеемПодставляя в уравнение (4.7) выражения (4.8) и (4.9), приходим куравнению (4.2), что и требовалось доказать.Следует сказать, что одним из первых ученых, предложившихприменять для описания ядерного взаимодействия лагранжевы плотностивида (4.5), был Л. Шифф [108].Отметим, что в стационарном случае для уравнения (4.2) справедливаследующая теорема:Теорема 4.2 В стационарном случае:  / x 0  0 решение уравнения(4.2), затухающее на бесконечности, всегда неположительно:   0 .122Доказательство.

Для доказательства теоремы предположим, что внекоторой точке M трехмерного пространства имеет место неравенство (M )  0 . Тогда, так как  ()  0 , то должна существовать некотораяточка M 0 , в которой функция  имеет положительный максимум.Следовательно, в данной точке M 0 должны выполняться соотношения2 (M 0 )  0,  (M 0 ) / x k  0,  2 ( M 0 ) / x k  0, k  1,2,3 . (4.10)В стационарном случае из (4.2) и (4.10) получаем следующеенеравенство в рассматриваемой точке M 0 :30k 1 2xk2  2  4 2  0 f ( ) .(4.11)Из формулы (4.11), ввиду (4.3) вытекает неравенство  0 ( M 0 )  0 ,которое не может иметь место в силу неотрицательности массы покояисточника поля.Полученное противоречие показывает, что стационарное решение уравнения (4.2), стремящееся к нулю на бесконечности, удовлетворяетнеравенству  0,(4.12)что и доказывает теорему.Рассмотрим теперь динамику материи, взаимодействующей соскалярнымполем,вклассическомприближении,используялагранжевую плотность (4.5).

С этой целью применим хорошо известнуюформулу[109]дляследующегорелятивистскогоинварианта,относящегося к малой части источника, по отношению к инерциальнымсистемам отсчета: 0 d 4 x  c 0 dVdt   0 dV0 ds  dm0 ds ,(4.13)123где  0 - плотность массы покоя вещества, dV  dxdydz - объем малогоэлемента источника и dt - малое время по отношению к произвольнойинерциальнойсистеме,dV0 и ds / c-объемэтогоэлементаисоответствующее малое время по отношению к локальной инерциальнойсистеме, сопутствующей рассматриваемому элементу, а dm0 - массаэлемента в данной системе.Из (4.4), (4.5) и (4.13) получаем11dm0  ( )ds c8c2S n2 24   n    d x ,(4.14)гдеdm0   0 dV0 , ds  dx n dxn , x n  x n ( )(4.15)и  - произвольный временной параметр.Так как при   0 мы должны иметь классическое действие, то для(0) надо положить следующее [109]:(0)  c 2 ,(4.16)Применим принцип наименьшего действия к выражению (4.14),используя (4.15), по отношению к траектории x n ( ) малой частиисточника поля с массой dm0 .

Тогда получаем следующие уравненияЭйлера-Лагранжа:mnLd L( 0 ) dx dx  0, L  ( ) g mn,d dx n d  (dx n / d ) (4.17)(0)где g mn- тензор Минковского.Из (4.17) находим после деления на ds / d :( )dx  d   ( ) n   0 .nds ds xУравнения (4.18) можно переписать как(4.18)124( )Этичетыре d dx n  d 2 xn  0 .()dsdsxds 2n уравненияописываютдинамику(4.19)частицы,взаимодействующей со скалярным полем с потенциалом  .Следует отметить, что четыре уравнения (4.19) не являютсянезависимыми: первое из них (n  0) - следствие остальных трехуравнений.Действительно, умножая левую часть (4.19) на dxn / ds и суммируя повсем n, получаем тождественный нуль, так какdxn dx n 1,ds dsdxn  d,ds xn dsdxn d x1 d  dxn dx   0.2ds ds2 ds  ds ds 2 n(4.20)nРассмотрим уравнения (4.19) в нерелятивистском случае.