Диссертация (Исследование некоторых типов дифференциальных уравнений с сильной нелинейностью), страница 12

Используя эти выражения и формулы (3.156), (3.166), (3.184), (3.189)и (3.194), можно определить потенциалы поля Янга-Миллса A k , длярассматриваемого класса поперечных неабелевых волн.Как видно из формул (3.201)–(3.205), полученные напряженностиполя Янга-Миллса, создаваемого заданными источниками поля вида(3.155), не определяются однозначно.

Как было сказано в разделе 3.1, этообъясняется тем обстоятельством, что уравнения Янга-Миллса (3.1)–(3.2)с источниками поля вида (3.33) (к чему, в частности, относятся иисточники вида (3.155)), не являются независимыми. Для полученияоднозначныхвыраженийдлянапряженностейполяприменим105дополнительное уравнение (3.43), предложенное в разделе 3.1. Как былопоказано в данном разделе, это уравнение можно интерпретировать какдифференциальноеусловие,выражающеесохранениевнутреннейэнергии источника поля, когда внутри него рождаются кванты поля ЯнгаМиллса.Рассмотрим теперь поперечные неабелевые волны, удовлетворяющиене только уравнениям Янга-Миллса (3.1)-(3.2), но также дополнительномудифференциальному соотношению (3.43).

С этой целью обратимся квыражениям(3.201)–(3.202)длянапряженностейF k , врассматриваемых волнах.Из формул (3.201), (3.202), (3.216) и (3.184) находим  F k , 0  j 3 d k / d ,   F k ,1  xj 1d k / d , Fk , 2 yj d / d ,   F1kk , 3 j d / d .3(3.221)kФормулы (3.221) дают Fk ,3 Fk ,  [(  1)( j )   ( j ) ]  (d k / d ) 2 , (3.222)23 221 2k 1а из формул (3.155) и (3.168) получаемJ k , J k ,  ( 2  1)( j 3 ) 2   2 ( j1 ) 2 .(3.223)Подставляя теперь выражения (3.222) и (3.223) в уравнение (3.43),приходим к уравнению3 (d k / d ) 2  (4 / c) 2 .(3.224)k 1Это уравнение должно быть добавлено к формулам (3.204) и (3.205)для функций  k ( ) .Выберем калибровку    / 4 в выражениях (3.204) для  k ( ) ,учитываяравенствоJ 2,  J 3,  0в(3.155)и,следовательно,эквивалентность второй и третьей осей в калибровочном пространстве.106Тогда подставляя формулы (3.204) для  k ( ) в уравнение (3.224),находим() 2  ( ) 2  (4 / c) 2 ,   ( ),    ( ),    / 4 .(3.225)Из уравнений (3.205) и (3.225) получаем  (4 / c) cos ,    (4 / c)sin .(3.226)Два уравнения (3.226) дают /   ctg   .(3.227)Интегрируя это уравнение, получаемln    ln sin   const .(3.228)Выбирая знак „+‟ в (3.228) и, значит во втором уравнении в (3.226),чтобы иметь несингулярное решение, находим  D0 sin  , D0  const .(3.229)Подстановка выражения (3.229) для функции ( ) в уравнения(3.226) и учитывая, что во втором из них был выбран знак „+‟, получаем ( ) 4,cD04  D1 ,cD0D1  const .(3.330)Как следует из (3.205), (0)  0 .

Поэтому положим D1  0 и из (3.229)и (3.330) получим4,cD0  D0 sin  ,D0  const .(3.331)Подставляя теперь полученные формулы (3.331) в выражения (3.204)для  k ( ) , используя выражение (3.203) для  и учитывая, что вышебыла выбрана калибровка    / 4 , находим1 cD2D  I 2D  I sin  , D  0  const,  2   3 1cos,,cD4cD4  (3.332)107гдеI  2  j 3 ( ,  )d .(3.333)0Здесь I  I ( ,  ) - ток источника, проходящий вдоль оси z черезортогональный к ней круг x 2  y 2   2 .Из формул (3.201)–(3.203) и (3.332) приходим к следующимвыражениям для напряженностей поляF k , в рассматриваемыхпоперечных неабелевых волнах:F 1,01  2I eff x2I eff y, F 1,02  , F 1,03  0,22c c (3.334)F 1,12  0, F 1,13 2 I eff x2Iy, F 1, 23  eff 2 ,2c c гдеI effI  D sin   , I  2  j 3 (x 0  z,  )d ,D0(3.335)иF 2,01  F 3,01  2D  I  x1  cos  2 ,с  D  F 2,02  F 3,02  2D  I  y2, 031cos F 3,03  0,  2 , Fc  D  F 2,12  F 3,12  0, F 2,13  F 3,13 F 2, 23  F 3, 23 2D  I  x1  cos  2 ,c  D  (3.336)2D  I  y1  cos  2 .c  D  Здесь D - некоторая константа.ВеличинаI effможетбытьинтерпретированакакнекоторыйэффективный ток.

При I eff / D  1 имеем I eff  I , а при достаточно108больших значениях Iэффективный ток I эфф может значительноотличаться от тока I.3.5 Неабелевые расходящиеся волныРассмотрим теперь поля Янга-Миллса в случае N - параметрическойкалибровочной группы. Тогда вне своих источников данные поляописываются следующими уравнениями [72-74]:  F a,   f abc Ab F c,   0,F a,    Aa,   Aa,  f abc Ab, Ac, ,(3.337)(3.338) ,  0,1,2,3, a, b, c  1,2,..., N , Aa, и F a,  являютсягдесоответственно потенциалами и напряженностями поля Янга-Миллса,f klm - структурные константы N - параметрической калибровочнойгруппы и     x  , где x  - ортогональные пространственновременные координаты геометрии Минковского.Нужно отметить, что при f klm   g klm уравнения (3.337)–(3.338)совпадают с уравнениями (3.1)–(3.2), отвечающим полям Янга-Миллса сSU(2) симметрией.Одной из важных проблем является поиск неабелевых волновыхрешений уравнений Янга-Миллса.

В работах [75-82] исследовалисьнеабелевые плоские волн, а также их обобщения, где был получен рядинтересных результатов.Рассмотрим теперь случай неабелевых расходящихся волн. С этойцелью будем искать потенциалы Aa , , удовлетворяющие уравнениямЯнга-Миллса (3.337)–(3.338), в следующем виде:109Aa ,0  u a ( y0 , y1 , y2 , y3 ), Aa , n  ( x n / r ) Aa ,0 ,y0  x 0  r ,yn  x n ,(3.339)n  1,2,3, a  1,2,..., N , r  ( x1 ) 2  ( x 2 ) 2  ( x 3 ) 2 ,uaгде-некоторыефункциифазыволныy0  x 0  rипространственных координат y n  x n .В дальнейшем будем рассматривать калибровочные группы скомпактными полупростыми алгебрами, которые обладают полностьюантисимметричными структурными константамиf abc [72-74].

Тогдаподставляя выражения (3.339) в формулу (3.338) для напряженностейполя F a , , легко найдемF a ,0 n  u a / yn , F a , in  (1 / r )( x i u a / yn  x n u a / yi ),yn  x , i, n  1,2,3.(3.340)nКакбудет показаноуравнению(3.43),ниже, выраженияэквивалентному(3.340) удовлетворяют(3.40)ивыражающемудифференциальное условие сохранения собственной электрическойэнергии источника поля. В нем в рассматриваемом случае надо положитьk  a  1,2,..., N и J k ,  0. Данное уравнение является дополнительнымк уравнениям Янга–Миллса. Оно, как было показано в разделе 3.1,необходимо для получения однозначных выражений для напряженностейполяЯнга–Миллса,создаваемогозаданнымиклассическимиисточниками.

Кроме того, как показано в [83, 84], при решении уравненийЯнга–Миллсабез дополнительныхусловийвозникают физическинеприемлемые решения. Поэтому дополнительное уравнение (3.43)необходимо также для устранения таких лишних решений.110Подставим теперь выражения (3.339) и (3.340) для Aa, и F a,  вуравнение Янга-Миллса (3.337).Тогда при индексе   0 из (3.337) получимc  2 u a yi  2 u ayib u   y 2  r y y  r f abc u y   0,i 1 0ii i3(3.341)где yi  x i и y0  x 0  r.

С этого момента будем обозначать x i через y iпри i  1,2,3 .При индексе   n  1,2,3 из уравнения (3.337) получим послеупрощенийynrc  2u a 2u a yi u ab u   yi y y  r y 2  r y  f abc yiu y i 1 0 iii i3 u   yi  0.yn  i 1 yi (3.342)a3Следует отметить, что уравнения (3.341) и (3.342) можно представитьв виде Fa,  0yiu c  f abc,ryi 1i3 Fa , ny nrcyib u r f abcu y . (3.343)i 1i3Отсюда легко находим, что напряженности поля F a ,  вида (3.340)удовлетворяют дополнительному уравнению (3.43), полученному вразделе3.1,гдеврассматриваемомслучаенадоположитьk  a  1,2,..., N и J k ,  0.Обозначимu ap   yi,yi 1ia3Тогда из (3.341) и (3.342) найдем 2u aq  2 .i 1 y ia3(3.344)1111  p aq   f abc u b p c ,r  y 0ary12  y 22  y32 ,(3.345) 1 p apa 1p aab cyn  q  2  f abc u p   0, n  1,2,3.

(3.346)ryryr0nКак следует из (3.340) и (3.344), в случае p a  0 рассматриваемыерасходящиеся волны являются поперечными, а при p a  0 эти волныимеют также продольные компоненты.Подставим выражение (3.345) для q a в уравнения (3.346). Тогда легкополучимy n p a / r 2  p a / y n  0, n  1,2,3.(3.347)Как легко проверить, эти уравнения имеют следующее решение:p a  s a ( y0 ) / r ,(3.348)где s a - произвольные дифференцируемые функции аргумента y 0 .Из (3.344), (3.345) и (3.348) получаемu a s a ( y 0 ) yi y  r ,i 1i3(3.349) 2u a1 ads ab ca y 2  r 2 s ( y0 )  f abcu s ( y0 ) , s ( y0 )  dy .

(3.350)i 10i3Как можно легко проверить, уравнение (3.349) имеет следующеерешение:u a ( y0 , y1 , y2 , y3 )   s a ( y0 ) / r  g a ( y0 , 1 ,  2 ,  3 ), i  yi / r , r (3.351)y12y22y32 ,где g a - произвольные дифференцируемые функции.Действительно, из (3.351) находим112u a s a ( y 0 ) yi 1 g a yi 3g a  yn, i  1,2,3.yir  i r 3 n1  nr3Из (3.352) получаем тождество(3.352)i1 yi u a / yi  s a ( y0 ) / r.3Следовательно, формула (3.351) дает решения уравнения (3.349).Рассмотрим уравнение (3.350). Для функций g a ( y0 , 1 ,  2 ,  3 ) имеемg a 1 3 g a ik  i k , yi r i 1  ki  1,2,3,  i  yi / r ,  ii  1,  ik  0 when k  i,2g a1yi2r21 2r2 g a    ik  i k  in  i n  k , n 1in3 (3.353)g a   k 1  3i2  2i ik .k 1k3Подставим выражение (3.351) для функций u a в уравнение (3.350) иучтем, что функция 1 / r является гармонической и рассматриваемыеконстанты f abc - антисимметричны.

Тогда используя формулы (3.353) иочевидное равенство 12   22  32  1, получаем2 a3g a 2 g a2  g  1  i  2  2i     i k   i 1 i  i , k 1iki3ik(3.354) s a ( y0 )  f abc g b s c ( y0 ).В результате приходим к следующей теореме.Теорема 3.7 Существует класс волновых решений уравнений ЯнгаМиллса, описывающмй расходящиеся неабелевые волны и представимыйв виде формул (3.33(), (3.340) и (3.351), где s a ( y0 ) - произвольная113функция, а g a ( y0 ,1 , 2 , 3 ) - функции, удовлетворяющие линейнымдифференциальным уравнениям (3.354).Аргументы  i  yi / r функций g a не являются независимыми ввидутождества 12   22   32  1.

Поэтому вместо 1 ,  2 ,  3 можно выбратьдва связанных с ними независимых аргумента.Как будет видно из дальнейшего, удобно выбрать следующие двааргумента  и  :g a ( y0 , 1 ,  2 ,  3 )  h a ( y0 ,  ,  ),1  1  1 ,  ln 2  1  1    arctg 2  . 3 (3.355)Тогда имеемg ah ag ah ag ah a,  3,  2,1 2 31,1  121, 22   322 a2g ah a 2  h,   21221 2g a 2hah a 2 ,  3  3 2 222  2 2g a 2hah a 2 ,   2   2 2 32 32(3.356)1142g a 2hah a 2 ,   2   2 2 32 322g a 2ha  3,1 2 2g a 2ha   2,1 3 a2g a 2ha222 h     2 3 3   22 2  3 и, как можно легко проверить, левая часть (3.353) приобретает вид2 a3g a 2g a2  g  1  i  2  2i     i k   i 1 i  i , k 1iki3ik(3.357)1  2ha1 2ha 2.22221  1  2   3 Таккакпеременные i  yi / rудовлетворяютравенству 22   32  1  12 , из (3.354), (3.355) и (3.357) приходим к следующемууравнению: 2ha  2ha 1  12 s a ( y0 )  f abc hb s c ( y0 ) ,221  th .

(3.358)Положимh a  v a ( y0 ,  ,  )   ( y0 )s a ( y0 ) ln( ch )  d a ( y0 ),(3.359)где v a ( y0 ,  ,  ),  ( y0 ) и d a ( y0 ) - некоторые функции.Тогдаподставляя(3.359)в(3.358)иучитывая,чтоf abcантисимметричны, получаем 2v a  2v a 2  2 1  th 2 s a ( y0 )   ( y0 ) s a ( y0 )  f abc v b  d b ( y0 ) s c ( y0 ) .(3.360)115Потребуем, чтобы N  1 функций  ( y0 ) и d a ( y0 ) удовлетворялиследующейсистемеалгебраическихNуравнений,линейныхотносительно них:s a ( y0 )   ( y0 )s a ( y0 )  f abc d b ( y0 )s c ( y0 )  0.(3.361)Тогда из (3.360) получаем 2v a  2v a 1  th 2 f abc v b s c ( y0 ),22v a  v a ( y0 ,  ,  ).