Диссертация (Исследование некоторых типов дифференциальных уравнений с сильной нелинейностью), страница 11

Тогда придем к следующей системе уравнений:qk  2q k  sk  g klm (  2 q l v m  s l wm )  (4 / c) j 0 k ,(3.159)qk  hk  g klm (q l u m  hl wm )  (4 / c) j1 k ,(3.160)sk  hk  2h k  g klm (s l u m   2 hl v m )  (4 / c) j 3 k ,(3.161)1  1,  2   3  0 .(3.162)гдеПолученную систему уравнений (3.159)-(3.162) будем исследовать вслучае поперечных неабелевых волн и сведем ее к системе шестинелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, длякоторых будем искать точные решения.Рассмотрим поперечные неабелевые волны, в которых вектор потокаэнергии параллелен направлению их распространения z.

Тогда мыдолжны положитьF k ,03  s k  0 .(3.163)(wk  u k )  g klmu l wm  0 .(3.164)Из (3.157) и (3.163) имеемУмножая (3.164) на w k  u k и суммируя произведение по k, находим,учитывая антисимметрию  klm ,d 3(wk  u k ) 2  0 .d k 1(3.165)97Допустим, что рассматриваемые волны отсутствуют и имеют нулевыепотенциалы при   0 . Тогда, как следует из (3.165), имеемu k  wk .(3.166)Из (3.157), (3.158) и (3.166) получаемq k  h k .(3.167)Подставляя равенства (3.163), (3.166) и (3.167) в уравнения (3.159)–(3.161), приходим к следующей системе уравнений:j 0  j 3 ,Нужноhk  2h k  g 2 klmhl v m  (4 / c) j 3 k ,(3.169)(1   2 )(hk  g klmhl wm )  (4 / c) j1 k .(3.170)отметить,следующие(3.168)чторавенству (3.168)источникиисточников j10 , j13 и j20 , j23 ,j0, j3 ,имеющихмогутудовлетворитьявляющиесяразныезнакисуммамизарядовсвоихносителей:j 0  j10  j20 ,j10   ( ,  )[1   1 ( ,  )],j13  j10  2 ,j 3  j13  j23 ,j20   ( ,  )[1   2 ( ,  )],(3.171)j23   j20 1 ,где  ( ,  ), 1 ( ,  ) и  2 ( ,  ) - произвольные функции.Вначале рассмотрим частный случай   1 .

Тогда из (3.166)–(3.170)и (3.158), получаемu k   wk , q k   h k , j 0   j 3 , j1  0,   1,Положим(3.172)hk  2h k  g 2 klmhl v m  (4 / c) j 3 k ,(3.173)h k  [(1/  )wk  vk  g klmv l wm ] .(3.174)981/ 2 3h    (h k ) 2  k 1.(3.175)Тогда умножая уравнение (3.173) на h k и суммируя произведение по k,получаем, учитывая (3.162) и антисимметрию  klm ,h  2h  (4 / c) j 3h1 / h .Помимоуравнение(3.176),(3.173)дает(3.176)соотношениемеждуфункциями v k и функциями h k и j 3 .

Что касается уравнения (3.174), оносвязывает функции w k с функциями v k и h k .Учитывая (3.175), можно положитьh1  h cos , h 2  h sin  cos , h3  h sin  sin ,(3.177)где  и  - некоторые дифференцируемые функции.Тогда из уравнения (3.176) находим, что функция h , не имеющаясингулярности при   0 , имеет вид4h  2  j 3 cos d .c 0(3.178)Таким образом, искомые функции h k могут быть определены поформулам (3.177) и (3.178) в частном случае   1 . В этих формулах и-произвольныедифференцируемыефункцииаргументов x0  z и  .Обратимсятеперьксистемеуравнений(3.169)и(3.170),описывающей рассматриваемые поперечные неабелевы волны, припроизвольных значениях параметра  .Применим равенства (3.10) и (3.155). Из них легко находим J 1,  0,J 1, A2  0,J 1, A3  0 .(3.179)Учитывая (3.155) и (3.146), из (3.179) получаемj0  j1  2 j1  j3  0 ,(3.180)99j 0u k   2 j1v k  j 3 wk  0, k  2, 3 .(3.181)Ввиду (3.155), можно выбрать вращения вокруг первой оси вкалибровочном пространстве так, чтобы удовлетворить равенству (3.181)при k  1 .

Тогда вследствие (3.166) и (3.168), уравнение (3.181)приобретает вид 2 j1v k  (1   2 ) j 3 wk  0, k  1, 2, 3 .(3.182)Используя снова равенство (3.168), можно представить уравнение(3.180) какj1  2 j1  (1   2 ) j3 .(3.183)Обозначимf k   2 h k , a   2 j1 /(1   2 ), b  j 3 .(3.184)Используя (3.184), можно переписать равенства (3.182) and (3.183) asav k  bwk ,(3.185)a  b .(3.186)Обратимся к уравнениям (3.169) и (3.170).

Используя снова (3.184),можно представить их в видеf k  g klm f l v m  (4 / c)b k ,(3.187)fk  g klm f l wm  (4 / c)a k .(3.188)Исследуем уравнения (3.185)–(3.188). Из уравнения (3.185) имеемv k  b k , wk   a k ,(3.189)где  k   k ( ,  ) - некоторые функции.Подставляя (3.189) в уравнения (3.187) и (3.188) получаемf k  bk ,fk  ak ,(3.190)гдеk  (4 / c) k  g klm f l m .(3.191)100Рассмотрим теперь выражение для функций h k в формулах (3.158).Как следует из (3.184), (3.189) и антисимметрии  klm , оно приобретаетвидf k  [(a k )    (b k ) ] .(3.192)Приступим к решению уравнений (3.190). Из них легко получаемaf k  bfk  0 .Нужноотметить,чтоможно(3.193)найтиточныерешениядифференциальных уравнений в частных производных (3.193).Ониопределяются следующей теоремой.Теорема 3.5 Дифференциальные уравнения в частных производных(3.193), где функции a and b определены в (3.184) и удовлетворяютуравнению (3.186), имеют следующие точные решения:f   ( ),    b d , b  j 3 ( ,  ) .kk(3.194)0Здесь  k ( ) - произвольные дифференцируемые функции, которые, какследует из (3.184), удовлетворяют условию k (0)  0 .(3.195)Доказательство.

В самом деле, из (3.194) имеем, учитывая (3.186),   b,    b d   a  d  a ,0f k   k ( ),f k  (d k /d ) b,(3.196)0fk  (d k / d ) a , (3.197)где использовано то, что ввиду (3.184), a  0 при   0 .Из формул (3.197) легко приходим к равенствам (3.193), что и нужнобыло доказать.101Ввиду произвольности функций  k , полученные формулы (3.194)дают общее решение уравнений (3.193), так как они являютсядифференциальными уравнениями в частных производных первогопорядка.Подставим теперь выражения (3.194) для функций fkи формулы(3.197) для их производных в уравнения (3.190)–(3.191).

Тогда этиуравнения приобретут видd k / d  g klm l m  (4 / c) k , 1  1,  2   3  0 , (3.198)где было учтено (3.162).Умножая уравнения (3.198) на  k и затем суммируя их по k,получаем, используя антисимметрию  klm ,3  k d k / d  (4 / c)1 .(3.199)k 1Помимо (3.199), из уравнений (3.198) получаемd 3  2 ( ) 11d 2  3 ( ) 13  1 ,   1 .g 1 ( ) d ( )g 1 ( ) d ( )12Полученные соотношения (3.157), (3.158), (3.163), (3.167), (3.184),(3.194) и (3.195) дают следующие формулы для напряженностей поля врассматриваемых поперечных неабелевых волнах:F k ,01  (x /  2 ) k ( ), F k ,02  (y /  2 ) k ( ), F k ,03  0, (3.201)F k ,12  0, F k ,13  ( x /  2 ) k ( ), F k , 23  ( y /  2 ) k ( ),(3.202) (0)  0,    j 3 d ,kj 3  j 3 (x 0  z,  ) ,(3.203)0где k ( )-произвольныедифференцируемыефункции,удовлетворяющие соотношению (3.199) и равные нулю при   0 .(102Положим1   cos ,  2   sin  cos  ,  3   sin  sin  ,3  ( ),    ( ),    ( ), (0)  0, ()   ( ) .2k 2(3.204)k 1Тогда из уравнения (3.199) найдемd / d  (4 / c) cos ( ),   (4 / c)  cos ( )d .(3.205)0Формулы (3.201)–(3.205) описывают напряженности поля Янга-МиллсаF k ,  длярассматриваемогокласса поперечныхнеабелевыхволн,распространяющихся с постоянной фазовой скоростью c в источникахполя в направлении их оси симметрии z .

Этот класс определяется двумяпроизвольными дифференцируемыми функциями  ( ) и  ( ) , где задается второй формулой в (3.203) и зависит от волновой фазы x 0  z икоординаты Обратимся к уравнению (3.192). Из него и формулы в (3.194) дляфункций f k получаем( a k )    (b k )   k ( ) /  .(3.206)Используя равенство (3.186), из (3.206) легко находимa(  k )   b(  k )   k ( ) /  .(3.207)Рассмотрим выражения (3.200) и представим их в виде k  M k ( ) /   N k ( ) 1 , k  2, 3 ,(3.208)где k ( )d 31d 23kM ( ) , M ( )  , N ( )  1.g 1 ( ) dg 1 ( ) d ( )21Докажем теперь следующее свойство уравнений (3.207).(103Теорема 3.6 Уравнения (3.207) с k  2, 3 являются следствиемуравнения (3.207) с k  1 и равенств (3.196) и (3.208)–(3.209).Доказательство.

Рассмотрим производные функций  2 и  3 . Из(3.208) получаем, используя равенства (3.196),(  k )   (dM k / d ) b  (dN k / d ) b 1  N k (  1 )  ,(  )  (dM / d ) a  (dN / d ) a  N   , k  2, 3.kkk1k(3.210)1Эти равенства даютa(  k )   b(  k )  N k [a(  1 )   b(  1 ) ], k  2, 3 .(3.211)Из уравнения (3.207) при k  1 и равенств (3.211) находимa(  k )   b(  k )  N k 1 /  , k  2, 3 .(3.212)Учитывая формулу для N k в (3.209), из (3.212) получаем равенства(3.207) при k  2, 3 , что как раз и требовалось доказать.Рассмотрим теперь уравнение (3.207) при k  1 , имеющее видa(  1 )   b(  1 )  1 ( ) /  .(3.213)Вначале отметим, что уравнение (3.213) становится тривиальным вобласти, где j 3  0 , так как в ней имеем b  0 и   const , как следует из(3.194).Чтобы решить уравнение (3.213) при j 3  0 , введем обратнуюфункцию   ( , )(3.214)для функции    ( ,  ) вида (3.194):   b d   j 3 ( ,  )d00(3.215)104в произвольной области, где j 3  0 или j 3  0 .Тогда можно положить 1  P( , ), ( b) 1  Q( , ) ,(3.216)где P( ,  ) - неизвестная функция аргументов  и  и функция Q( ,  )может быть определена из выражений для  и b в (3.194).Из формул (3.196) м первого равенства в (3.216) находим(  1 )   bP , (  1 )  P  aP .(3.217)a(  1 )   b(  1 )  bP .(3.218)Следовательно,Используя это равенство, можно представить уравнение (3.213) в видеbP  1 ( ) /  .(3.219)Уравнение (3.219) и формулы (3.216) даютP  Q( ,  )1 ( ),  1  P /   (1 /  ) 1 ( )  Q( ,  )d  P0 ( ) ,(3.220)где P0 ( ) - произвольная функция.Из формул (3.208), (3.209) и (3.220) находим выражения для функций k .