Диссертация (Некоторые классы циклических модулей над алгебрами Ли)

Федеральное государственное автономное образовательное учреждениевысшего профессионального образования«Национальный исследовательский университет«Высшая школа экономики»На правах рукописиУДК 512.815.2, 512.664.1, 512.723Македонский Евгений АлександровичНекоторые классы циклических модулейнад алгебрами Ли01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чиселДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математическихнаук Е. Б. ФейгинМосква — 20162ОглавлениеГлава 1.1.1.Постановка задачи . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .Глава 2.2.1.2.2.2.3.2.4.33Ручность и дикость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5Примеры ручных и диких алгебр Ли . . . . . . . . . . . . . . . 5Колчан алгебры с абелевым радикалом . . . . . . . . . . . . . . 10Исследование представлений колчана , дикость алгебр с абе­левым радикалом . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Случай неабелевого радикала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Глава 3.3.1.3.2.3.3.Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Гипотеза Чередника-Орра для некоторых модулей . 23Модули Демазюра и ПБВ-фильтрации . . . . . . . . .

. . . . . 23Несимметрические многочлены Макдональда . . . . . . . . . . 28Гипотеза Чередника-Орра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Глава 4. Связь супералгебр osp(1, 2) и многочленов Макдо­нальда-Коорнвиндера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1.4.2.4.3.4.4.Модули Вейля . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .Несимметрические полиномы Макдональда типовСравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Квантовый граф Брюа для 22 . . . . . . . . . . .. . . . . . .(2)(2)†2 и 2. . . . . . .. . . . . . .....44536163Глава 5. Обобщенные модули Вейля и их связь с многочленамиМакдональда .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.1. Формула Орра и Шимозоно5.2. Обобщенные модули Вейля .5.3. Случаи малых рангов . . . .5.4. Фундаментальные веса . . .Публикации по теме диссертацииСписок литературы . . . . . . .

.........................................................................................................................6776891001031033 1ГлаваВведение1.1. Постановка задачиО ручности и дикости задач теории представлений см., например, рабо­ты [Gel], [D], [D1], [Han], [Sam] и многие другие. В этих работах среди неко­торых классов задач выделены ручные и дикие.Рассмотрим алгебру Ли . Будем рассматривать задачу классификацииее конечномерных линейных представлений с точностью до эквивалентности.В данной диссертации исследуется вопрос о том, для каких алгебр Ли данная задача является дикой или ручной.

Такие алгебры будем называть,соответственно, дикими и ручными. На данный вопрос дается следующийответ (см. 2.4.3).Теорема 1.1.1. Ручными являются следующие алгебры Ли:1) полупростые;2) одномерная алгебра;3) прямые суммы полупростых с одномерной.Все остальные – дикие.Из Теоремы 2.4.3 следует, что конечномерные алгебры Ли разбиваютсяна два класса – ручных и диких.Представления неполупростых алгебр Ли изучаются при помощи некото­рого бесконечного колчана.

Алгебра путей этого колчана не изоморфна обер­тывающей алгебре исходной агебры Ли. Однако категория конечномерныхпредставлений этой алгебры эквивалентна категории конечномерных пред­ставлений исходной алгебры Ли.Поскольку задача классификации представлений алгебр Ли почти все­гда является дикой, имеет смысл изучать некоторые конкретные классы пред­ставлений, имеющих хорошие свойства. Хорошо ихвестно, что в теории пред­ставлений полупростых алгебр Ли ключевую роль играют циклические моду­ли.

В данной диссертации изучаются модули Вейля и некоторые их обобще­ния. Это модули над алгеброй токов. Точнее, пусть g – простая конечномернаяалгебра. Мы изучаем представления алгебры токов над ней, то есть алгебрыg ⊗ K[]. h – подалгебра картана конечномерной алгебры, Δ – система корнейg, Δ+ – множество положительных корней, , – образующие Шевалле.Тогда обобщенный модуль Вейля определяется следующими образующими исоотношениями.ℎ ⊗ = 0 for all ℎ ∈ h, > 0;( ⊗ ) = 0, ∈ (Δ+ ) ∩ Δ+ ;( ⊗ 1) = 0, ∈ (Δ+ ) ∩ Δ− ;(() ⊗ )−⟨(() ⊗ 1)−⟨∨∨,⟩+1,⟩+1 = 0, ∈ Δ− , () ∈ Δ+ ; = 0, ∈ Δ− , () ∈ Δ− .В случае тривиального элемента из группы Вейля получается определе­ние классического модуля Вейля.

Для произвольного элемента группы Вейляполученный модуль назовем обобщенным модулем Вейля. Эти модули хоро­ши тем, что для них пишется удобная рекурсия. Точнее говоря, каждый такоймодуль разбирается на подфакторы того же вида, но соответствующие мень­шему весу. С помощью этой разборки получается рекуррентное соотноше­ние на характеры. Аналогичное соотношение получается для специализациймногочленов Макдональда с помощью подхода Орра и Шимозоно.

Отсюдаполучается совпадение характеров некоторых обобщенных модулей Вейля инекоторых специализаций несимметрических многочленов Макдональда.Аналогичные результаты получаются для простейшей супералгебры(1, 2). Супералгебры (1, 2) имеют много общих свойств с обычнымиполупростыми алгебрами Ли. В частности, в отличие от других простых су­пералгебр, у них есть группа Вейля и она позволяет определить обобщенныемодули Вейля. Таким образом доказывается, что характеры модулей Вейлядля супералгебры (1, 2) совпадают со специализациями многочленов Мак­(2)дональда типа 2 .Также в диссертации доказывается частный случай гипотезы Чередника­Орра, а именно, доказывается, что для весов, кратных одному фундаменталь­ному и для линейных комбинаций первого и последнего фундаментальногодля алгебр Ли типов специализация несимметрических многочленов Мак­дональда, соответствующих антидоминантному весу, в точке = ∞, совпада­ет с характером этих модулей, подкрученных на ПБВ-фильтрацию.45 2ГлаваРучность и дикостьВсе рассматриваемые алгебры определены над фиксированным алгеб­раически замкнутым полем K нулевой характеристики и конечномерны надK.

В дальнейшем поле часто указывать не будем, в частности вместо (K)будем писать .2.1. Примеры ручных и диких алгебр ЛиОпределение 2.1.1. ([D]) Ассоциативная K-алгебра называется дикой, еслисуществует такой − K⟨, ⟩-бимодуль свободный конечного ранга какмодуль над ⊗ K⟨, ⟩, что функтор ⊗K⟨,⟩ (−): (K⟨, ⟩) → ()сохраняет неразложимость и переводит неизоморфные модули в неизоморф­ные.Это определение дикости было исторически первым. Мы будем пользо­ваться несколько другим определением дикости, эквивалентным приведенно­му в работе [D2].

Оно имеет смысл для любой K-алгебры, у которой опреде­лена категория конечномерных представлений. Мы будем применять его дляалгебр Ли.Определение 2.1.2. ([D2]) K-алгебра называется дикой, если существуетточный функтор из категории представлений K⟨, ⟩ – свободной алгебры отдвух образующих, сохраняющий неразложимость и переводящий неизоморф­ные модули в неизоморфные.Два рассматриваемых определения эквивалентны как минимум для ко­нечномерных ассоциативных алгебр.

Кроме того, из дикости в смысле Опре­деления 2.1.1 следует дикость в смысле Определения 2.1.2.Определение 2.1.3. Алгебра называется ручной, если все неразложимыеконечномерные представления распадаются на дискретное множество од­нопараметрических семейств.Это опребедение мы тоже будем применять для алгебр Ли.Исследованию связи понятий дикости и ручности для конечномерныхалгебр посвящена работа [D], в которой доказано, что любая такая алгебраявляется либо дикой, либо ручной.В рамках второго определения дикости и определения ручности очевид­но, что алгебры с эквивалентными категориями конечномерных представле­ний дикими или ручными могут быть только одновременно.Следующее простое предложение будем использовать не ссылаясь напротяжении всей работы.Предложение 2.1.4.

Рассмотрим алгебру и идеал C . Предположим,что алгебра / - дикая. Тогда и алгебра – дикая.Доказательство. Допустим, существует (/)−K⟨, ⟩-бимодуль , удовле­творяющий всем свойствам из определения 2.1.1. Но тогда этот же модуль,рассматирваемый как -модуль, (точнее, модуль // ⊗/ ) также удо­влетворяет всем свойствам определения 2.1.1.Кроме того, отметим следующий очевидный факт.Следствие 2.1.5. Пусть = ⊕ , – дикая. Тогда и – дикая.Приведем некоторые примеры ручных и диких алгебр Ли.2.1.1. Двумерные алгебры – дикиеПусть – двумерная алгебра Ли. Тогда либо абелева, либо имеет базис = ⟨, ⟩ такой, что [, ] = .

Алгебра, порожденная двумя образующими, и одним соотношением [, ] = является дикой (см, например, [Sam]).Представления двумерной абелевой алгебры Ли = ⟨, ⟩ – это представ­ления алгебры полиномов от двух переменных. Дикость последней являетсяхорошо известным фактом ([Gel]). Тем не менее, с целью иллюстрации при­ведем доказательство (см, например, [Sam]).Рассмотрим − K⟨, ⟩-бимодуль , свободный над ⟨, ⟩ ранга 4.Образующие и алгебры действуют на этом бимодуле следующимиK⟨, ⟩-линейными преобразованиями:⎛⎜⎜=⎜⎝000000001000010⎞⎛⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎠⎝000010000000600⎞⎟⎟⎟⎠Нетрудно видеть, что эти преобразования коммутируют, поэтому этодействительно − K⟨, ⟩-бимодуль. Рассмотрим конечномерный неразложи­мый K⟨, ⟩-модуль . Пусть и действуют на этом модуле с помощьюматриц и .