А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа, страница 103

Применение теоремы Стоуна-Вейерштрасса приводит к в). Теорема доказана. 3. Теорема Винера; упрвжнения. Приложения теории банвховых алгебр весьма разнообразны. Напомним ряд результатов из алгебры и анализа, которые уже были получены вами по ходу дела. Банахова алгебра над полем С, являющаяся полем, изомептрически изоморфна С. Спектр любого ненулевого ограниченного оператпора в банаховом пространстве не пусти. Для любого ограниченного операптора А в банахооом пространстве Х сущестпвуетп предел 1пп (/!!А" (! = г(А), и спектор А целиком лежит в круге (Л( ( т(.А).

Докажем теперь, используя теорию коммутативных банаховых алгебр, следующую теорему Винера. Если функция х(В) разлагается в абсолютно сходящийся ряд Фурье х(В) = 2 хге'гг и нигде не обращаетпся в нуль, тпо и !бункция у(В) = ь= — ьо = 1/х(В) тпакзюе разлагаетсл в абсолютно сходящийсл ряд Фурье. Рассмотрим изометрически изоморфные алгебры 1т и!Ат (см.

пример 4 и. 2 3 1). Найдем пространство М для ннх. Легко понять, что гомоморфизм И' в С достаточно задать на функции хе(4) = ев и далее он распространится на Ит однозначно. Положим /лт(хо) = /лт(ев) = С 1 4. Освоение шеоремм Тогда В силу (2) К! = Ум(хе)! < !!х.!! =1, (1К! = Ум(хо')! < !)х !! = 1, откуда Ц = 1, т.е. ( = е'з. Мы получили, что М находится во взаимно однозначном соответствии с окружностью ф = 1. Для любой последовательности х = (...,х „,..., хо,..., х„,... ) Е 1ы и соответствующей ей функции х(1) = 2 хье' Е 1у имеем: ум(х) = (м(х(1)) = = Ум(~ ~хаем') = ~хь(~м(еп) ! = ) хье* = х(В). Поэтому тот факт, что функция х(В) не обращается в нуль ни для каких — х < В < х, означает, что х не принадлежит ни одному максимальному илевлу.

Значит, в силу следствия из леммы 1 3 3, эта послецоват<ьчьность обратима в алгебре 1ь Положим у = х ' = (...,9-1,,уо,,у . ). Тогда у(ЛХ) = ~м(у) = ~~~ уье' = У(х ') = — = — 1 1 Пх) ~- к~ежа что и требовалось. Два других важных приложения теории банаховых алгебр — спектральную теорему для ограниченных операторов и теорему Стоуна— Чеха - — мы сформулируем ниже в виде упражнений (см. упражнения 8 и 9).

Упражнения, 1, а) Показать, что пространство максимальных идеалов алгебры А (см. пример 3 п. 2 2 1) можно взаимно однозначно и непрерывно сопостапить с точками единичного круга !)х)! < 1. б) Показать, что А регулярна, несимметрична и не имеет рвдихала. 2. Какое обстоятельство мешает тому, чтобы можно было утверждать, что 11 (см. пример 4 п. 2 3 1) изометрически изоморфна пространству См, т.

е. пространству всех непрерывных функций на окружности !Ь! = 1? 3. Доказать, что имеет место теорема: Пусть х(х) = ~ ахах, ~~ !хь! < сю, причем х(х) ~ О при !х! < 1. Тогда функция у(х) = 1/х(х) рвзлшается в ряд Тейлора, абсолютно схоляшийся пря (х! < 1, Догголиеное. Боиазаоы алгебры 4. Обозначим через С" [а, Ь] совокупность и раз непрерывно дифференцируемых на [а, Ь] функций х(1), а) Показать, что С" [а, Ь] становится банаховой алгеброй относительно обычных операций и нормы, задаваемой формулой: []х]] = ~ —, шах ][к (1)[. б) Найти максимальные идеалы С" [а, Ь] (см. [13, с. 19, 29]). в) Проверить, что С" [а, Ь] есть симметричная алгебра без радикала.

Что дает в атом случае применение теоремы 22 5. Пусть СВ(г [О, 1] означает алгебру непрерывных комплексных функций ограниченной вариации на отрезке [О, 1] с нормой ]]к[[ = зпр ][к(ЬИ[+1о[к] о<г<г а) Показать,что СВ)г[0,1] есть банахова алгебра. б) Найти максимальные идеалы этой алгебры б. Привести пример банаховой алгебры, совпадающей со своим радикалом.

7. Описать все замкнутые идеалы в алгебре С[а, Ь]. 8. Пусть Т -- вполне регулярное теологическое пространство (см. п, б 5 5 гл. П), Обозначим через Вт множество всех определенных на Т ограниченных комплексных функций с обычными операцинми и нормой [[х]] = р ]х(1) [. гез а) Проверить, что Вт есть регулярная симметричнан алгебра без радикала. б) Показать, что точки Т гомеоморфно вкладываются в пространство М максимальных идеалов алгебры Вг, причем образ Т при этом вложении является в М всюду плотным подмножеством.

в) Показать, что любая ограниченная комплексная функция на образе Т при этом вложении допускает единственное непрерывное продолжение на М. Утверждение б), дополненное тем, что М есть компакт (это последнее обстоятельство сразу следует из а), если применить теоремы 1 и 2 Ь 4), составляет содержание известной теоремы Тихонова о бикомпактном расширении. Утверждение в) принадлежит Стоуну и Чеху. Бикомпактнос расширение, обладающее свойством в), называется максимальным.

Утверждение в) означает, что М есть максимальное бикомнактное расширение (см. [22, с. 23]). 9. Пусть Н вЂ” гильбертово пространство. В алгебре л".(Н, Н) рассмотрим коммутативную подалгебру В(Ао), порожденную самосопряженным оператором Ао (т, е, являющуюся замыканием линейной оболочки степеней Ао). 547 1 4. Оепаепие теоре.пи а) Показать, что В(Аа) регулярна н не имеет радикала. б) Показать, что В(Аа) симметрична, причем х(М) = х*(М), где х" — оператор, сопряженный к оператору х б В(Аа), х(М) -- отображение, построенное в 2 4. По поводу б) см, также упражнение 1О в).

Применение теоремы 2 з 4 к алгебре В(Аа) приводит к так называемой спектральной теореме дпя самосопряженных операторов (см. [22], гл, Х; [26[, гл. П). 10. Говорят, что банахова алгебра (необязательно коммутативная) есть юпнбра с ннволюцией, если имеется отображение Х 4 Х, обладающее свойствами: (к+р) = к*+ р', (хр)' = р'х', (егх)* = Вх', (х*) = х. Алгебра с инволюцией называется В*-алгеброй, если, кроме того, [[хх*[[ = = [[х[[г.

а) Показать, что алгебра Е(В, В) есть В -алгебра (см. [22, с. 26)1с б) Показать, что коммутативная В*-алгебра регулярна (см. [22, с. 26)), в) Показатгп что В'-алгебра симметрична, более того, У(М) = х (М) (см. [22, с. 27[, лемма Лренса). Утверждения б) н н) в сочетании с теоремой 2 приводят к такому результату, принадлежащему Гельфанду н Наймарку и называемому иногда основной теоремой теории коммутатпвных банаховых алгебр: Каммйгпагпианал В*-алгебра иэамегпричееки иэамарфна алгебре См и при эщам иэамарфиэме. х(М) = х'(М). Итак, абстрактный алгебраический объект, описываемый двадцатью четырьмя аксиомами (13 аксиом коммутативной алгебры, 5 аксиом, связанных с нормой, аксиома полноты н 5 аксиом В -алгебры), оказалось возможным реализовать в виде алгебры всех непрерывных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве. Этот результат позволяет рассэпотреть с единой точки зрения такие, казалось бы, весьма далекие друг от друга факты, как теорема Винера об абсолютно сходящихся тригонометрических рядах, теорема о спектральном разложении самосопряженного оператора, топологическне теоремы Тихонова, Стоуна н Чеха и ряд других.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсолютная непрерывность интеграла Лебега 320 Абсолютно непрерывнан мера 280 — — функция 361 и далее — непрерывный заряд 372 Абстрактная функция 501 Абстрактное уравнение Фредгольма первого рода 489 Абстрактный оператор Вольтерра 488, 491 Аддитивный функцинзл 135 Аксиома выбора 44 — нормальности 104 — отделимости Т» 103 — — Тз (хаусдорфова) 103 — — Тз 103 — — Т» 104 — счетности первая 97 — — вторая 96 — треугольника 54 — Цермело 44 Аксиоматнческая теория множеств 45 Алгебра (банахова, коммутативная, нормированная, с единицей) 529 - множеств 48 — — измеримых 289 — — с абсолютно сходящимися рядами Фурье 531 - инвппюцией 547 — — функций, аналитических в круге 531 - — —, непрерывных на компакте 530 — Е» 531 Алгебраическая размерность 134, 154, 189 Алгебраически сопряженное пространство 197 Алгебраические действия над измеримыми функциями 302 Алгебраическое число 29 Альтернатива Фредгольма 484 Аннулнтор 195 Антисимметричность 36 Арифметическое (евклидово) пространство 55, 131 База топологии 94 Базис в коиечномерном линейном пространстве 133 — Гамаля 134, 189 — двойственный 200 — меры 397 Банахова алгебра 529 — — ограниченных операторов 532 — — регулярная 543 — — симметричная 543 — —, основные теоремы о коммутативных 547 Банахово пространство 151 Бесконечное множество 26, 31 Бесконечномерноелинейное пространство 133 Биекция 21 Бикомпакт 114 Бикомпактное расширение 546 - топологическое пространство 114 Билинейное отображение 504 Бинарное отношение 25 Борелевская функция 300 Борелевскае множество 53, 69 Вариационное исчисление 516, 519, 522 Вариация заряда, верхняя, нижняя и полная 371 — отображения первая 498 Лредметнмс кказаталв 549 Векторное пространство 130 Верхний предел функции в точке 111 Верхняя грань 46 Вес (весовая функция) 418 Взаимно однозначное соответствие 21 -.