А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа, страница 102

мы получили бы, что / не непрерывен. Далее, /(е) = /(е ) = (/(е)), откуда либо /(е) = О, т.е. / тривиален, либо (3) /(е) = 1. Из (2) и (3) следует, что нетривиальные линейные непрерывные мультинликативные функционалы имеют норму единица и, следовательно, М есть подмножество единичной сферы в сопряженном пространстве Х .

Нулевое надпространство функционала / (т. е. совокупность тех х Е Л, для которых /(х) = О) обозначим Кег / и назовем ядром /. Лемма 1. Ядро Кег/ прн / б М есть максимальный идеал. Действительно, из у б / = Кег/ и х Е Л" следует, что /(х.

у) = /(у) /(х) = О, т. е. у х Е Кег/. Таким образом, Кег/ — идеал. Покажем, что Кег/ — максимальный идеал. Допустим, что это не так, т. е. Кег/ можно расширить до идеала Х ф Х, содержащего хо ф Кег/. На Кег/ имеет коразмерность 1 (см. гл. 1П, з 1, п. б). Значит, злемент е можно представить так: е = Лхо+у, где у б Кег /. Отсюда следует, что е Е П Значит, / = Х. Противоречие доказывает лемму.

Лемма 2. По всякому максимальному идеалу М можно однозначно построить линейный непрерывный мультипликативный функционал / 6 М такой, что М нг Кег /. Действительна, в силу следствия из леммы 3 3 3 М вЂ” замкнутый идеал. Применив теорему 1 3 3, мы получим, что Х/М есть банахова алгебра. Но в силу леммы 2 3 3 Х/М не имеет нетривиальных идеалов, т.е. алгебра Х/М не содержит необратимых злементов, отличных от нуля (см.

следствие из леммы 1 3 3). Значит, Х/М есть поле, являющееся банзховай алгеброй. В силу следствия 1 из теоремы 1 3 2 пале Х/М изоморфно С. Это, по определению, означает, что для любого х е Х найдется однозначно число /(х) Е гь,' такое, что х = /(х) . е+ и, и Е М. 541 8 4. Основные теоремы Покажем, что / есть гомоморфизм. Докажем, аапример, что 1(х у) = = г(х) г(у). Имеем *=1(*)'+., е М, у — г"(у) е+ и, и Е М, откуда ху = У(х). 1(у) е + ш, ш б М Но это и означает, что /(х у) = 1(х) 1(у). Соотношения у(х+ у) = = 1(х) + 1(у) и 1Рх) = 11гг(х) доказывается анэ.погично. Кроме того, если х Е М, то из (4) с чедует, что 1(х) = О, а если х. = е, то 1(х) = 1. Лемма доказана.

Итак, мы получили, что между максимальными идеапами (М) и функционаламн 1 из М существует однозначное соотвстствпе. В силу этого обстоятельства условимся функционалы из М обозначать гы, а буквой М вЂ” соответствующие им максимальные идеалы. Для множества всех максимальных идеалов (е) мы будем употреблять ту же букву М, что и для соответствующего гму множества (,гм). Пусть х — некоторый элемент из Х. Рассмотрим функцию х(Л4) иа множества М, задав ее формулой (5) х(М) = Ум(х).

(Значение функции х(ЛХ), построенной по элементу х, па максимальном идеале Лу равно числу гы(х), т. е, значению на элементе г гомоморфизма, соответсгвующего идеалу М.) Мы получили реализацию элементов алгебры Х в виде функций на множестве М, о которой говорили в конце 8 1. 2. Топология в множестве М. Основные теоремы. Нам осталось доказать, что М компактно в некоторой топологии и что функции х(ЛХ) непрерывны в той же топологии. Чуть ранее мы упомянули, что М есть подмножество единичного шара. С другой стороны, в п.

4 8 3 гл. 1Ъ' было приведено доказательство для сепарабельного случая следующего утверждения. Единичный шар простраисгпоа Х', сопряогсеиного к баиахооому простраистоу, компактен е «-слабой топологии. Доказательстно этой теоремы в общем случае можно найти, например, в (21, с. 459). Напомним, что «-слабая топология определяется системой окрестностей У*,, ,« ,г(Уо) = (У Е Х : (~(хг) — Уо(хь)) < б, й = 1, ,гп).

(б) Множество М мы рассмотрим именно в «-слабой топачогии. Компактность М вытекает из сформулированного выше результата и следующей леммы. 18 -1324 Дополнение. Бо»»охаем алгебры 542 Лемма 3. Множество М есть замкнутое подмножсстно сднпнчпаго шара в Х', н функции т(М) непрерывны на М. Действительно, пусть функционал /о принадлежит замыханию М. Это значит, что внутри любой базисной окрестности отображения /о найде»ся гомоморфизм /м, порожденный максимальным идеалом М.

Возьмем окрестности Улж „».э л(/о). В силу (б) н опредш»ения х(М) мы получим »»/л»(х) — /о(х)) < 6, ~/м(у) — /о(у)~ < б (7) )/м (х + у) — /о(х + у)( < б. Но /л» есть гомоморфизм, т. е. /м (х + у) = /л» (х) + /и (у) . Тогда из (7) следует, что /а(х+й) = /а(х)+/оъ).

Ана»»огично»»оказьшается, что /о(ох) = о/о(х) и /о(хр) = /о(х)/о(й). (Надо взять окрестности У~, ~,л(/о) и У л,~юл(/о) ) Зиачкт, / есть непрерывный линейный мультипликативный функционал. Далее, взяв окрестности У,л(/о), мы получим, что /о(с) = 1, т, е, /о нетривиален. Значит, /о б М, т.е. М замкнуто. Покажем, что функция хо(ЛХ) = /м(хо) непрерывна на М. Пусть Мо б М. Дпя с > О возьмем окрестность У „(Мо). Если М Е У„„то в силу (б) получится, что ~/м(хо) — /мо(хо)~ = ~хо(М) — хо(Мо)( < Б.

Но это и означает непрерывность функции хо(М) в точке Мо. Лемма доказана. Теорема 1. Отображение х -л х(М) залает»ол»оморф»»зл» алгебры Х в алгебру Сл» ненрсрыппых функций на колл»актпом хаусдорфовом пространстве М макснмвльнык идеалов алгебры Х; прн этом (8) '8х(ЛХ)() = шах )х(МИ ( )Щ. В силу сказанного выше в этол» параграфе, иам остаегся доказать лишь соотноп»ение (8). Заметим, что для всякого М элемент х — /м(х)е по определению /м(х) принадлежит идеалу М, т.

е. является необратимым. Поэтому /м(х) Е п(х). С другой стороны, взяв любое число Ло Е п(т), мы обнаруживаем, что х — Лос необратим и, значит, принадлеж»п максимальному идеалу М, откуда О = /м(х — Лое), т. с. Ло = /л»(х). Итак, образ М при отображении х(М) совпадает с»г(х). Следовательно, в силу утверждения 2* теоремы 1 2 2, мы получаем, что неравенство (8) справедливо. Нам осталось лишь уточнить теорему 1 при разных допущениях об апгебре Х.

Введел» определения трех понятий. ( 4. Оаиааииа ~аеарамм 843 Определение 2. Пересечение В = П М всех максимальных идемсм алоэ называется радикалам Х. Если Я = (О), то говорят, что Х не имеет радикала. Банахова алгебра Х называется рааулярнай, если Цх~Ц = (Щ . Ванахова алгебра Х называется симметричной, если для вгякой функции х(ЛХ) найдется элемент у б Х такой, что у(М) = х(ЛХ). (Черта означает комплексное сопряжение.) Теорема 2. а) Если радикал алгебры Х состоит иэ одного нуля, то отображение х а х(М) является взаимно однозначным. б) Если алгебра Х регулврпа, то Х изометри чески изоморфиа со свопм образом См, в частности, Х эа имеет радикала. в) Если алгебра Х симметрична, то образ Х при отображении х -+ — а х(М) всюлу плотен в См.

г) Если алгебра Х обладает саойствамн б) н в), то Х иэометрическн нзоморфна См. Доказательство. Сначала выведем последнее утверждение из остальных. В силу б) взаимно однозначное отображение х +а х(ЛХ) является изометрией: ЦхЦх = шаэхэ !х(М)~. В силу в) (х(ИХ)) всюду плотно в См. Но Х вЂ” - полное пространство. Значит, н (х(М)) (вследствие равенства норм в Х н в См) полно, откуда (х(М)) = См. Докажем а).

Пусть ха ф О, а ха(ЛХ) ш О иа М. Это означает, что Хм(ха) = О дпя всех ЛХ, т. е. ха б Кег Хм для всех М, значит, ха б В. Но В = (О), откуда ха = О. Противоречив доказывает а). Для доказательства б) заметим, что иэ равенства ЦхаЦ = ЦхЦ~ сразу следует, что йга г;/~(хз" Ц = ЦхЦ. Применив теорему. о спектральном радиусе (теорема 2 Ц 2), мь1 получаем, что (9) г(х) = ЦхЦ. Тогда из (9), во-первых, следует, что радикал состоит только из нуля. Действительно, если допугтитги что 0 ф ха б 2?, то для всех М выражение Ум(ха) = О, т.е. п(ха) сонпадает лишь с нулем, что противоречит тому, что г(ха) = ЦхаЦ ~ О. Далее, из (9) следует, что отображение х 44 х(м), являющееся изоморфизмом Х и соответствующей подалгебры (х(М)) в См будет нзомш трией, ибо в силу (8) Цх(М)Цс = пзах !х(ЛХ)/ = г(х) = ЦхЦ.

Доказательство в) требует привлечения одной из весьма замечательных теорем алгебры и анализа - — теоремы Стоуна-Вейерштрагса, которая звччит так: 544 Дополнение. Банаховы алгебры Пустпь А есть аодалгебра банаховой алгебры Ст непрерывных !Вункций на компакт Т тпакая, ипо 1) единица (т. е. !Вутткция е(4) ж 1) принадлежит А. 2) алгебра А разделяетп тпочки Т (т. е. для любых !т р !г существует Функция х(!) Е А такая, чтпо х(!т) ~ х(1г)).

3) алгебра А инвариапптна по отношению к комплексному сопрязюению (т. е, из х(!) Е А следует, чпто х(!) 6 А). Тогда А всюду плотна в Ст. Доказатсльстно теоремы Стоуна-Вейерштрасса см. в (13, с. 53-56; 21, с. 296-297; 26, с. 20]. Докажем теперь в). Пусгь А = (х(М)) означает образ Л' при отображении х -+ х(М). Из (4) сразу следует, что е -т е(М) гв 1, т.е. е(М) гн 1 Е А. Пусть Мт и Мг — два различных максимальных идеала.

Это означает, что сушествует элемент хо, принадлежащий Мт и не принадлежащий Мг (или наоборот), откуда х.(М,) = /,(*.) = О, х.(М,) = /м,( .) ~ а, т. е, А разделяет точки М. Далее, по самому определению, симметричная алгебра А инвариантна относительно комплексного сопряжения.