В.К. Белошапка - Курс лекций по комплексному анализу, страница 8

По теореме она обязана быть постоянной. Следствие 4.2. Непостоянная эллиптическая функция имеет в параллелограмме периодов хотя бы одинполюс.Определение. Порядком функции называется количество полюсов на параллелограмме периодов с учётомкратности.Теорема 4.4. Если на ∂Π эллиптическая функция не имеет полюсов, тоZ1f (ζ) dζ = 0.2πi∂Π4 Поэтому поводу см., например, [7, гл. 9, § 1, теорема 4]. — Прим.

наб.25(1) В силу периодичности функции, интегралы по противоположным сторонам параллелограмма будутлишь различаться знаком (поскольку направления интегрирования на них противоположны). Значит, в итогеполучится нуль. Следствие 4.3. Если ∂Π не содержит полюсов, то сумма всех вычетов внутри Π равна нулю. Вытекает из предыдущей теоремы и теоремы Коши о вычетах. Следствие 4.4.

Эллиптических функций порядка 1 не существует. Если полюс в параллелограмме периодов всего один, то можно так подвигать этот параллелограмм,что этот полюс попадёт в Int Π. По предыдущему следствию, вычет в этом полюсе обязан быть нулевым. Новычет — это лорановский коэффициент c−1 . Если он равен нулю, то это значит, что в этой точке либо вообщенет полюса, либо его кратность не меньше двух. Замечание. В наших рассуждениях часто приходится оговаривать, что на границе Π полюсов нет.

Ясно,что этого всегда можно добиться, подвигав параллелограмм периодов. Поэтому больше не будем заострять наэтом внимание.Теорема 4.5. Всякое уравнение f (z) = c имеет на параллелограмме периодов ровно столько же решений,каков порядок функции f . По принципу аргумента имеем′Zf (ζ) − c1dζ = N − P,(2)2πif (ζ) − c∂Πгде N и P — количества нулей и полюсов функции f (z) − c соответственно. Заметим, что под интегралом стоитэллиптическая функция того же периода, что и функция f . Поэтому этот интеграл равен нулю. Следовательно,N = P . Но полюса функции f (z) − c и функции f (z), очевидно, совпадают, а количество полюсов функции f впараллелограмме Π и есть P . Это и требовалось доказать.Это рассуждение проходит для всех конечных значений c, а если c = ∞, то утверждение теоремы вытекаетсразу из определения порядка функции f .

Определение. Решения уравнения f (z) = c иногда называют c-точками.Замечание. Пусть ϕ — произвольная функция на параллелограмме Π с вершинами A, B, C, D. Заметим,что когда точка z пробегает одну сторону параллелограмма, точка z + ω1 пробегает противоположную сторонупараллелограмма в обратном направлении (относительно направления интегрирования по контуру). Поэтомуимеет место формулаZZZϕ(ζ) dζ =ϕ(ζ + ω1 ) − ϕ(ζ) dζ −ϕ(ζ + ω2 ) − ϕ(ζ) dζ.(3)∂ΠABADТеорема 4.6. Пусть b1 , .

. . , bn — нули функции f , а a1 , . . . , an — её полюса (дублированные с учётом кратности) внутри параллелограмма периодов. ТогдаXXak ≡bk (mod G).(4)Рассмотрим функциюϕ(z) = zf ′ (z).f (z)(5)Можно считать, что f (0) 6= 0, потому что можно всегда сделать сдвиг аргумента, но в силу периодичностисути дела это не поменяет. Если это так, то функция ϕ имеет полюса первого порядка ровно в тех точках, гдеу f были либо нули, либо полюса. Поскольку вычет логарифмической производной есть кратность нуля илиполюса, получаем, что ′ ′ffres ϕ = ak · res, res ϕ = bk · res.(6)akakbkbkffОтсюда следует, что12πiZ∂Πϕ(ζ) dζ =Xres ϕ =Xbn −Xan .(7)Пусть ω — период.

Тогда(z + ω)f ′ (z + ω)f ′ (z)f ′ (z)=z+ωf (z + ω)f (z)f (z)26⇒ωf ′ (z)= ϕ(z + ω) − ϕ(z).f (z)(8)Теперь проинтегрируем это тождество по одной и по другой стороне параллелограмма, подставляя в него ω = ω1и ω = ω2 :z0Z+ω1z0Z+ω1ω2f ′ (ζ)1dζ =ϕ(ζ + ω2 ) − ϕ(ζ) dζ.2πif (ζ)2πiz0z0(9)z0Z+ω2z0Z+ω2ω1f ′ (ζ)1dζ =ϕ(ζ + ω1 ) − ϕ(ζ) dζ.2πif (ζ)2πiz0z0Вычитая из второго равенства первое и используя замечание перед теоремой, получаемω12πiz0Z+ω2f ′ (ζ)ω2dζ −f (ζ)2πiz0z0Z+ω1f ′ (ζ)1dζ =f (ζ)2πiz0Zϕ(ζ) dζ.(10)∂ΠПо формуле Ньютона – Лейбница имеем12πizZ0 +ωf ′ (ζ)1dζ =Var ln f (z).f (ζ)2πi(11)z0В силу периодичности, когда точка ζ пробегает по отрезку [z0 , z0 + ω], точка f (ζ) пробегает замкнутую петлю.Как известно, приращение аргумента — это количество оборотов петли, умноженное на 2π.

После сокращенияна 2π получим целое число. Значит, для некоторых n1 , n2 ∈ Z имеемZ1ϕ(ζ) dζ = n1 ω1 + n2 ω2 ≡ 0 (mod G).(12)2πi∂ΠОсталось вспомнить, что значение этого интеграла есть разностьPbk −Pak . 4.2. Функция ВейерштрассаМы уже знаем, что эллиптических функций порядка r < 2 не существует. Сейчас мы предъявим функциюпорядка 2. Это будет так называемая функция Вейерштрасса.Здесь через G, как обычно, будем обозначать группу периодов.4.2.1. Построение ℘-функции ВейерштрассаРассмотрим функциюζ(z) :=1 X′11z++ + 2 .zz−ω ω ω(13)ω∈GПокажем, что это определение корректно, то есть докажем, что этот ряд сходится как ряд мероморфных функций. В качестве системы раздувающихся компактов будем брать параллелограммы Πn с вершинами в точках{n(±ω1 ± ω2 )}.

Оценим каждое слагаемое исходного ряда по модулю: 11z z2|z|26++=(14) z − ω ω ω 2 ω 2 (z − ω) |ω|2 |ω| − |z| .Мы группируем слагаемые, лежащие на границе параллелограммов Πn . Для n-й группы справедлива следующаяоценка:XX|z|2|z|28n · |z|2M66 ∼ 2.Sn =(15)n|ω|2 |ω| − |z|C 2 · n2 C · n − |z|C 2 · n2 C · n − |z|ω∈∂Πnω∈∂ΠnДействительно, на границе Πn лежит не более 8n периодов, а каждый период удалён от нуля не меньше, чемнапри каждом фиксированном z приведённая оценка верна, и она гарантирует сходимость рядаP C · n. Поэтому P1Sn , посколькуn2 сходится.Итак, корректность проверена. Теперь рассмотрим функциюX′ 111℘(z) = −ζ ′ (z) = 2 +−.(16)z(z − ω)2ω2ω∈G27Отметим, что℘′ (z) = −2Xω∈G1.(z − ω)3(17)Производная ℘(z) – двоякопериодическая функция просто в силу того, что она представляет из себя честнуюсумму по всей решётке периодов. Сдвинув z на w, мы не поменяем сумму.

Это значит, что сама ℘(z) будетотличаться в соседних периодических точках на одну и ту же константу, вне зависимости от того, какие соседниеточки мы брали: ∀z ℘(z + ωj ) − ℘(z) = cj . Заметим, что ℘ является чётной, то есть ℘(−z) = ℘(z). Поэтомуωωωподставив в предыдущее равенство z = − 2j , получим ℘( 2j ) − ℘(− 2j ) = cj = 0, j = 1, 2, что значит, что℘ двоякопериодична.Определение. Построенная функция ℘ называется функцией Вейерштрасса.Непосредственно из определения видно, что ℘ является функцией порядка 2, так как элементы группыпериодов — это в точности её полюса кратности 2.Рассмотрим уравнение ℘(z) = c. Из свойств эллиптических функций второго порядка следует, что имеетсяв каждом параллелограмме периодов расположено ровно две c-точки z1 и z2 . Кроме того, легко видеть, чтоz1 + z2 ≡ 0 (mod G).

Действительно, сумма нулей сравнима с суммой полюсов, а так как полюса находятся вузлах решётки, их сумма сравнима с нулём. Но между нулями и c-точками никакой разницы нет, потому чтоможно рассмотреть функцию ℘(z) − c, обладающую теми же полюсами.Утверждение 4.7.

Равенство ℘(z) = ℘(w) выполняется тогда и только тогда, когда z ≡ w (mod G) илиz ≡ −w (mod G). Если это равенство выполнено, то w и z — это две ℘(z)-точки. Значит, их сумма сравнима с нулём. Обратно, если выполнено первое из сравнений, то равенство ℘(z) = ℘(w) верно в силу периодичности ℘. Аналогично,из второго сравнения вытекает, что ℘(z) = ℘(−w), но в силу чётности ℘ верно и доказываемое. Рассмотрим точки111z0 ≡ 0, z1 ≡ ω1 , z2 ≡ ω2 , z3 ≡ (ω1 + ω2 ).(18)222Имеем ℘(z0 ) = ∞. Введём обозначения:ei := ℘(zi ), i = 1, 2, 3.(19)Утверждение 4.8. Значения ei попарно различны. Непосредственно вытекает из предыдущего утверждения: zi не сравнимы между собой (чтобы они сталисравнимыми, их нужно удвоить).Другое доказательство: если, например, e1 = e3 , то функция ℘(z) − e1 = ℘(z) − e3 , имеющая один двойнойполюс в Π, имела бы там 4 нуля (точнее, 2 двукратных нуля в точках z1 и z2 ). Это невозможно.

Дифференцируя уравнение ℘(z) = c, получаем, что оно будет иметь двойные корни тогда и только тогда,когда c = ei для некоторого i. Это означает, что уравнение ℘′ (z) = 0 имеет решения 12 ω1 , 21 ω2 , 12 (ω1 + ω2 ).4.2.2. Дифференциальное уравнение для ℘Рассмотрим функцию ℘ в малой окрестности U (0). Имеем℘′ (z) = −2+ H(z),z3(20)где H — голоморфная функция в U . Функция ℘′ имеет порядок r = 3, а потому имеет 3 нуля в параллелограммепериодов. Но мы уже знаем три её нуля — это точки 21 ω1 , 12 ω2 , 21 (ω1 + ω2 ). Далее, функцияf (z) = ℘(z) − e1 ℘(z) − e2 ℘(z) − e3(21)имеет в нуле полюс 6-го порядка (потому что ℘ имеет в нуле двойной полюс).Следовательно, эллиптическая функция2℘′ (z)Q(z) =f (z)(22)не имеет нулей и полюсов в Π, а потому является константой.

Найдём её: в окрестности нуля имеем24℘′ (z) = 6 + . . . ,zf (z) =1+ ...,z6(23)откуда следует, что Q ≡ 4. Таким образом, функция Вейерштрасса удовлетворяет дифференциальному уравнению2℘′ (z) = 4 ℘(z) − e1 ℘(z) − e2 ℘(z) − e3 .(24)28Теперь выведем это уравнение другим способом. Напишем разложение функции ℘(z) в окрестности нуля.1в геометрическую прогрессию:Разложим дробь z−ω111=− ·z−ωω 1−zω=−∞1 X z k·ωω(25)k=0и подставим полученный ряд в выражение для функции ζ(z):∞1 X′11z1 X ′ z2z31 X cnζ(z) = ++ + 2 = −++...=−z 2n−1 ,zz−ω ω ωzω3ω4z n=2 2n − 1ω∈Gω∈GX′ 1.cn = (2n − 1)ω 2n(26)ω∈GОчевидно, коэффициенты cn с нечётными номерами равны нулю, так как, с одной стороны, при замене ω на(−ω) сумма не меняется, поскольку все слагаемые те же, а с другой стороны, должна поменять знак.Продифференцируем полученное выражение:∞℘(z) =X1+cn z 2n−2 ,z 2 n=2cn = (2n − 1)X′ 1.ω 2n(27)ω∈GТеперь напишем ещё несколько уравнений:2+ 2c2 z + 4c3 z 3 + .

. . ,z328c24℘′ (z) = 6 − 2 − 16c3 + . . . ,zz13c23℘ (z) = 6 + 2 + 3c3 + . . . .zz℘′ (z) = −(28)Отсюда220c2℘′ (z) − 4℘3 (z) = − 2 − 28c3 + . . . .zВ этих уравнениях выписаны все члены, которые не стремятся к нулю при z → 0. Получаем уравнение:2℘′ (z) − 4℘3 (z) + 20c2 ℘(z) = −28c3 + . . . .(29)(30)В правой части стоит некоторая эллиптическая функция, не имеющая нулей и полюсов в параллелограммепериодов при z 6= 0. Но и точка z = 0 тоже не является полюсом. Стало быть, эта функция постоянна (а значит,равна числу −28c3 ).Введём обозначения:X′ 1X′ 1g2 (z) := 20c2 = 60, g3 (z) := 28c3 = 140.(31)4ωω6ω∈Gω∈GВ этих обозначениях получаем дифференциальное уравнение2℘′ (z) = 4℘3 − g2 ℘(z) − g3 .(32)Теперь подставим полученное выражение для квадрата производной в первое дифференциальное уравнение (24).Получим, что при любом значении x имеет место равенство4x3 − g2 x − g3 = 4(x − e1 )(x − e2 )(x − e3 ).Значит, числа ei есть корни кубического уравнения 4x3 − g2 x − g3 = 0.Определение.