В.К. Белошапка - Курс лекций по комплексному анализу, страница 5

Пусть f ∈ O(D). Тогда f аналитическипродолжается в ρ2 -окрестность множества ϕ(∆). Положим для краткости C := ϕ(∂∆), а S := ϕ(∆). Поскольку ρ2 -окрестность всякой точки z ∈ C содержится в области D, радиус сходимости степенного ряда функции f в этих точках не меньше, чем ρ2 . Запишемразложение функции f в степенной ряд с центром в каждой точке поверхности S. Заметим, что коэффициентыэтого ряда Тейлора являются голоморфными функциями в зависимости от центра точки разложения:cm (a) =1 (m)f (a).m!(34)Функция f ограничена на множестве K ∪ S некоторой константой M , потому что K и S — компакты.

Поэтомуможно написать неравенство Коши:M|cm (a)| 6 m ,(35)R (a)так как радиус разложения, вообще говоря, зависит от точки. Рассмотрим функцииcm ◦ ϕ : ∆ → C.15(36)Для них справедлив обычный принцип максимума, поэтому они могут достигать своего максимума только награнице ∆. Но чем больше коэффициент ряда Тейлора, тем хуже получается оценка на радиус сходимостиэтого ряда. Таким образом, «самые плохие» оценки на радиус сходимости получатся на границе, то есть вточках множества C.

Но в этих точках мы уже гарантировали себе радиус ρ2 . Следовательно, эту оценку снизуна радиус можно распространить на всю поверхность S. Замечание. Вся прелесть этой теоремы состоит в том, что поверхность S может подходить достаточноблизко к границе области D, и ρ2 -окрестности её точек могут вылезти за пределы D. Это означает, что функцияf аналитически продолжается в большую область.Определение. Область D называется областью голоморфности, если существует функция f ∈ O(D) такая,что она не продолжается аналитически ни через одну точку границы D.Область голоморфности обладает «выпуклостью» в некотором смысле, но мы не будем уточнять, в каком.2.4.

Биголоморфные отображенияПри рассмотрении функций одной переменной у нас были хорошие конформные отображения. В многомерном случае с конформностью придётся расстаться. Некоторым аналогом конформных отображений являютсятак называемые биголоморфные отображения.наОпределение. Пусть D1 , D2 — области в Cn . Отображение f : D1 −→ D2 называется биголоморфным, еслиf и f −1 голоморфны.Такое определение позволяет говорить о биголоморфной эквивалентности областей: D1 ∼ D2 , если существует биголоморфное отображение D1 на D2 .2.4.1. Теорема о неявном отображенииТеорема 2.9 (о неявном отображении).

Пусть задано уравнение F (~z, w)~ = 0, где F : Cn × Cm → Cm —голоморфное отображение. Пусть F (a, b) = 0 и∂F (a, b)det6= 0.(37)∂wТогда существует голоморфная функция w = f (z), для которой в некоторой окрестности точки a выполненотождествоF z, f (z) ≡ 0.(38) Заметим, что выполнены условия вещественной теоремы о неявном отображении.

Применив её, получаем, что существует R-дифференцируемая функция w = f (z), удовлетворяющая нашему уравнению. ИмеемdF =df =∂F∂Fdz +dw,∂z∂w(39)∂f∂fdz +dz.∂z∂z(40)Продифференцируем уравнение (38), получим:∂F∂Fdz +∂z∂w∂f∂fdz +dz∂z∂z≡ 0.(41)Приводя подобные слагаемые при dz и dz, получаем∂F∂F ∂f∂F ∂f+dz +·dz ≡ 0.(42)∂z∂w ∂z∂w ∂z∂fМатрица ∂F∂w невырождена, поэтому обязан быть нулевым вектор ∂z . Но это и означает голоморфность функции f .

2.4.2. Примеры биголоморфных отображенийЧерез Aut(D) будем обозначать группу биголоморфных отображений области D ⊂ Cn на себя. Если D1 ∼ D2 ,то Aut(D1 ) ∼= Aut(D2 ). Этот изоморфизм задаётся следующим образом. Пусть D2 = ϕ(D1 ), а f1 ∈ Aut(D1 ).Сопоставим автоморфизму f1 автоморфизм f2 := ϕf1 ϕ−1 ∈ Aut(D2 ).Примерами биголоморфных автоморфизмов пространства Cn будут линейные преобразования, то есть группа GLn (C).16Далее мы будем рассматривать пространство C2 (z, w).Определение.

Преобразования вида(ze = z + f (w),we = w,(43)где f (w) — целая функция, называются треугольными преобразованиями.Очевидно, обратным к треугольному преобразованию (43) является преобразование(z = ze − f (w),ew = w,e(44)которое также является треугольным. Следовательно, они образуют группу.Замечание. В отличие от одномерного случая, группа биголоморфных отображений Cn на себя бесконечномерна, так как подгруппа треугольных преобразований бесконечномерна (их не меньше, чем целых функций,а их, в свою очередь, не меньше, чем многочленов произвольной степени).Как мы знаем, множество C нельзя отобразить конформно и однолистно на единичный диск.

В многомерномслучае такое уже возможно (см. пример в [1]).2.4.3. Дробно-линейные отображения в CP2В пространстве C2 можно рассматривать дробно-линейные преобразования видаA B C Az + Bw + Caz + bw + c, we=, a b c 6= 0.ze =pz + qw + rpz + qw + rp q r (45)Но на самом деле удобнее вложить аффинное пространство C2 в проективное пространство CP2 , поскольку воднородных координатах всё выглядит более симметрично.Напомним, чтоCP2 = {(ζ0 : ζ1 : ζ2 )} , ζi ∈ C, |ζ0 | + |ζ1 | + |ζ2 | =6 0.(46)При этом тройки (ζ0 : ζ1 : ζ2 ) рассматриваются с точностью до пропорциональности, то есть(ζ0 : ζ1 : ζ2 ) ∼ (λζ0 : λζ1 : λζ2 ),λ 6= 0.(47)Смысл условия |ζ0 | + |ζ1 | + |ζ2 | =6 0 вполне ясен: хотя бы одна из однородных координат не равна нулю.Построим какое-нибудь вложение C2 ֒→ CP2 : положим z = ζζ10 и w = ζζ20 .

Это позволяет отождествитьподмножество {(1 : ζ1 : ζ2 )} ⊂ CP2 с множеством C2 .3В алгебраических терминах имеем CP2 = (C r{0}) C∗ , и ещё можно считать, чтоCP2 = C2 ∪ CP1 = C2 ∪ C1 ∪ {∞} .(48)Запишем наше дробно-линейное преобразование в однородных координатах:A ζζ1 + B ζζ20 + Cζe1= ζ01,p ζ0 + q ζζ20 + rζe0a ζζ1 + b ζζ20 + cζe2= ζ10.p ζ0 + q ζζ20 + rζe0Приводя дроби к общему знаменателю и записывая эти выражения в матричной форме, получаем   ζe0r p qζ0e  ζ1  = C A B  ζ1  .c a bζ2ζe2(49)(50)В итоге получаем группу линейных преобразований проективного пространства PGL3 (C) комплексной размерности 8.

Всякое преобразование из PGLn задаётся образом (n + 1)-й точки.1Построим дробно-линейное отображение C2 r C на C2 r C. Именно, возьмём отображение((2zzeze = w+i,z = −i w−1,eпрямое:обратное:w−iw+1ewe = w+i ;w = −i w−1.e(51)1 Здесь индекс n у группы PGL означает размерность объемлющего комплексного пространства. Соответствующее проективноепространство имеет на единицу меньшую размерность. — Прим. наб.17Прямым подсчётом проверяется, что(|w|e <1|ez |2 + |w|e2<1⇔ Im w > 0,⇔ Im w > |z|2 .(52)Таким образом, получаем отображение C2 r {w + i = 0} ↔ C2 r {we − 1 = 0}.Тут ещё были какие-то формулы. Но к чему они, осталось загадкой.2.4.4.

Обобщённый принцип максимума и лемма ШварцаСкажем пару слов о нормах в Cn . Вообще, чтобы задать норму в линейном пространстве, нужно задатьнекоторое множество и объявить, что это единичный шар в смысле этой нормы. Разумеется, годятся не всякиемножества, но мы будем работать только с шарами и полидисками,которые для этой цели вполне подходят.pЕдиничный шар B n является шаром в норме kzk1 = |z1 |2 + . . . + |zn |2 , а полидиск ∆n — шаром в нормеkzk = max |zj |.jЛемма 2.10. Во всякой норме шар является выпуклым множеством. Пусть B = {z : kzk 6 1} — единичный шар. Пусть a, b ∈ B.

Рассмотрим произвольную точку ζ на отрезке[a, b]. Она имеет вид ζ = λa + (1 − λ)b, где λ ∈ [0, 1]. Применим неравенство треугольника:kζk = kλa + (1 − λ)bk 6 λ · kak +(1 − λ) · kbk 6 λ + (1 − λ) = 1.|{z}|{z}61(53)61Таким образом, kζk 6 1 и потому ζ ∈ B. Лемма 2.11 (Обобщённый принцип максимума). Пусть D — область в C. Пусть f : D → Cm , ина Cm введена норма k·k. Пусть в некоторой точке a ∈ D достигается максимум нормы kf (z)k, то естьkf (a)k > kf (z)k при всех z ∈ D. Тогда kf (z)k ≡ const. Если f (a) = 0, то доказывать нечего, так как f ≡ 0. В противном случае рассмотрим шар B в Cmрадиуса kf (a)k. Тогда f (D) ⊂ B, а точка f (a) лежит на границе этого шара. Так как шар B является выпуклыммножеством, существует2 опорная гиперплоскость π (то есть такая плоскость, что одно из полупространств, накоторые она разбивает всё пространство, не содержит точек шара).Через w = u + iv, где u, v ∈ Rm , будем обозначать точки в пространстве Cm .

Гиперплоскость π задаётсяв Cm ∼= Rm ⊕ iRm некоторым вещественным линейным функционалом ℓ(u, v) = α. Его можно единственнымобразом продолжить до комплексного линейного функционала по правилу ℓ(i~x) = iℓ(~x), x ∈ Rm ⊕ iRm . Полученное продолжениеобозначим через L. При этом имеем ℓ = Re L. Рассмотрим голоморфную функциюg(z) = exp L f (z) . Имеем(54)|g(z)| = exp L f (z) = exp Re L f (z) = exp ℓ(u, v).Для определённости считаем, что то полупространство, куда не попало ни одной точки из множества f (D),задаётся неравенством ℓ(u, v) > α. Тогда для всех z ∈ D имеем|g(z)| = exp ℓ(u, v) 6 exp α,(55)причём в точке a достигается равенство.

Применив к функции g обычный принцип максимума, получаем, чтоg обязана быть константой.Отсюда следует, что на образе всего множества D функционал ℓ постоянен. Значит, f (D) ⊂ π. Но так какπ — опорная гиперплоскость, она не имеет общих точек с внутренностью шара B. Поэтому множество f (D)может лежать только на границе шара, но это и означает, что kf (z)k = kf (a)k = const. Замечание. В случае, если норма такова, что шар в ней является строго выпуклым множеством, можноутверждать большее, а именно то, что f ≡ const, поскольку в этом случае гиперплоскость пересекается с шаромровно в одной точке.Лемма 2.12 (Шварца).