В.К. Белошапка - Курс лекций по комплексному анализу

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций покомплексному анализуЛектор — Валерий Константинович БелошапкаIII курс, 6 семестр, поток математиковМосква, 2005 г.Оглавление1.2.3.4.5.Гармонические функции. Гидродинамика1.1. Связь гармонических и голоморфных функций . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .1.1.1. Гармонические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.2. Восстановление голоморфной функции по гармонической вещественной части1.2. Свойства гармонических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1. Аналоги свойств голоморфных функций . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .1.2.2. Особые точки гармонических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.3. Задача Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Гидродинамическое доказательство теоремы Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.1. Векторные поля и голоморфные функции . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .1.3.2. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.3. Теорема Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................444444568899Многомерный комплексный анализ2.1. Голоморфные функции многих переменных . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .2.1.1. Определения, простейшие свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.2. Кратная интегральная формула Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Свойства голоморфных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.1. Степенные ряды для функций многих переменных . . . . . . . . . . . .2.2.2. Разложение голоморфной функции в ряд .

. . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.3. Область сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.4. Логарифмическая выпуклость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.5. Эквивалентные определения голоморфной функции . . . .

. . . . . . . .2.2.6. Стандартные теоремы о голоморфных функциях . . . . . . . . . . . . .2.2.7. Плюригармонические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3. Устранимые особые множества. Фигуры Хартогса . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.1. Об устранимых особых множествах .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.2. Аналитическое продолжение функции с фигуры Хартогса на полидиск2.3.3. Принцип непрерывности и области голоморфности . . . . . . . . . . . .2.4. Биголоморфные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.1. Теорема о неявном отображении . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.2. Примеры биголоморфных отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.3. Дробно-линейные отображения в CP2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.4. Обобщённый принцип максимума и лемма Шварца . . . . . . . . . . . .2.4.5. Биголоморфная неэквивалентность шара и полидиска . . .

. . . . . . .2.4.6. Теорема Анри Картана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................................................................................................................................9991010101111121212131414141516161617181919Представление мероморфных и целых функций3.1.

Представление мероморфных функций . . . . . . .3.1.1. Теорема Миттаг-Леффлера . . . . . . . . . .3.1.2. Метод Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Представление целых функций . . . . . . . . . . . .3.2.1. О бесконечных произведениях . . . . . . . . .3.2.2. Теорема Вейерштрасса о заказанных нулях ...........................................................................................20202021232323Эллиптические функции4.1. Двоякопериодические функции и их свойства . .

. . . . . . . . . . . . . . .4.1.1. Периодические функции в C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.2. Свойства эллиптических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2. Функция Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.1. Построение ℘-функции Вейерштрасса . . . . . . . . . .

. . . . . . .4.2.2. Дифференциальное уравнение для ℘ . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.3. Выражение эллиптических функций через функцию Вейерштрасса4.2.4. Униформизация кубической кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................252525252727283030Приложение........................................................................312ПредисловиеЭтот документ представляет собой переработанный курс лекций по комплексному анализу, первоначально набранный одним из студентов МехМата. В оригинальном варианте не было иллюстраций, что осложняловосприятие материала, а кроме того, имелось отличное от нуля количество опечаток и прочих глюков типографского характера.

Спасибо А. Басалаеву, А. Веремьёву, А. Шапиро и Андрею (avolk07@mail.ru) за ценныезамечания и исправления.Данная версия документа обладает одним важным свойством: она была отредактирована самим лектором,что немного сильно количество опечаток и неточностей.Порядок изложения материала наиболее соответствует курсу 2005 г.Release notesВ настоящее время переработка дошла до теоремы Абеля. Из раздела про эллиптические функции осталсятолько синус Якоби.

В последней редакции внесены правки 2010 года от Андрея.Последняя компиляция: 6 июля 2010 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.Литература[1][2][3][4][5][6][7]Б. В. Шабат. Введение в комлексный анализ.

— Наука, 1985. 3-е изд.М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. Методы ТФКП. — Физматгиз, 1958.А. Гурвиц, Р. Курант. Теория функций. — Наука, 1968.В. Б. Алексеев, Теорема Абеля в задачах и решениях. — Наука, 1976.Ю. В. Сидоров, М. В. Федорюк, М. И. Шабунин. Лекции по ТФКП. — Наука, 1989.И. Кра. Автоморфные формы и клейновы группы. — Мир, 1975.Э. Б. Винберг. Курс алгебры. — М.: Факториал, 2002.31. Гармонические функции.

Гидродинамика1.1. Связь гармонических и голоморфных функций1.1.1. Гармонические функцииОпределение. Оператором Лапласа называется дифференциальный оператор ∆ :=n2P∂2.∂x2iПусть D — об-ласть в R . Функция u ∈ C (D) называется гармонической в области D, если ∆u = 0. Множество гармоническихфункций будем обозначать через H.Очевидно, множество H есть линейное пространство.

В случае одной переменной гармоническими функциями являются в точности функции вида y(x) = ax + b. Для двух переменных гармонические функции являютсярешениями задачи о форме мембраны, натянутой на контур, и обладают экстремальным свойством: площадьповерхности графика гармонической функции с заданными значениями на границе области минимальна. Сфизической точки зрения гармоническая поверхность минимизирует энергию поверхностного натяжения. Изфизических соображений можно сделать много полезных выводов о свойствах гармонических функций (таких,как принцип максимума), но в дальнейшем мы докажем все эти свойства средствами комплексного анализа.1.1.2. Восстановление голоморфной функции по гармонической вещественной частиДалее мы будем рассматривать гармонические функции двух переменных.

Их можно трактовать как функции комплексного переменного. Имеем ∂2∂2∂∂∂∂∂2∆=+=−i·+i=4.(1)22∂x∂y∂x∂y∂x∂y∂z∂z|{z} |{z}∂2 ∂z∂2 ∂zРассмотрим голоморфную функцию f = u + iv и её вещественную часть. Покажем, что функция u = Re fгармонична. Действительно, запишем условия Коши – Римана для функции f : ux = vy и uy = −vx . Тогдаuxx + uyy = vyx − vxy = 0, так как вторые частные производные непрерывны.Выясним теперь, обратимо ли это свойство.Утверждение 1.1. Пусть D — односвязная область, и дана функция u ∈ H(D). Тогда найдётся такаягармоническая функция v, что функция f = u + iv будет голоморфной в области D. Пусть f существует.

Из уравнений Коши – Римана g := f ′ = ux − iuy . Пусть F — первообразная к g.Имеем F ′ = g, ux = Re g = Re f ′ = Re F ′ = (Re F )x и uy = − Im g = − Im f ′ = − Im F ′ = (Re F )y , то естьфункция u − Re F имеет тождественно нулевые частные производные, значит, она постоянна. Таким образом,мы нашли голоморфную функцию F , удовлетворяющую нашим требованиям.

Замечание. Функция f восстанавливается неоднозначно (например, к ней можно добавить мнимую константу). Если же область не была односвязной, то мы лишаемся однозначности функции f (хотя локально этосвойство выполнено: достаточно малая окрестность гомеоморфна кругу и потому односвязна, а в ней первообразная будет однозначной).Явное выражение для функции f в односвязной области можно получить следующим образом: рассмотримформу ω := −uy dx + ux dy. Тогда dω = ∆u dx ∧ dy = 0 · dx ∧ dy = 0.

Фиксируем точку a ∈ D и положимRzv(z) := ω. Односвязность области гарантирует нам независимость значения функции от пути интегрирования.aОпределение. Вещественная и мнимая часть голоморфной функции f называются сопряжёнными гармоническими функциями.1.2. Свойства гармонических функций1.2.1. Аналоги свойств голоморфных функцийВыведем некоторые свойства гармонических функций из свойств голоморфных функций.Пусть u ∈ H(D). Так как u = Re f , где f ∈ O(D), то функция u вещественно-аналитична.Теорема 1.2 (о среднем). Пусть u ∈ H(D). Тогда значение этой функции в центре круга Cr , целикомлежащего в области D, есть её среднее значение на окружности:u(a) =12πZ2πu(a + reiϕ ) dϕ =01πr2ZCr4u dx ∧ dy.(2)Пусть u = Re f , а Cr — круг радиуса r с центром в точке a. По теореме Коши1f (a) =2πiZ∂Crf (ζ)1dζ =ζ −a2πZ2πf (a + reiϕ ) dϕ.(3)0Но выражение в условии теоремы есть в точности вещественная часть написанного равенства.