В.К. Белошапка - Курс лекций по комплексному анализу, страница 4

. · an | 6 M,mn1|cm1 ...mn bm1 · . . . · bn | 6 M.(20)(21)Рассмотрим точку ζ такую, чтоln |ζj | = t ln |aj | + (1 − t) ln |bj |,t ∈ [0, 1],(22)то есть ϕ(ζ) лежит на отрезке [ϕ(a), ϕ(b)]. Покажем, что ряд сходится и в точке ζ. Имеем |ζj | = |aj |t · |bj |1−t .Следовательно,mn t m1mn 1−t 1=|cm1 ...mn ζ1m1 · . . . · ζnmn | = cm1 ...mn (am1 · . .

. · an ) (b1 · . . . · bn )= |cm |t · |cm |1−t · |am |t · |bm |1−t = |cm am |t · |cm bm |1−t 6 M t M 1−t = M. (23)Поскольку a и b входят в область Ω с окрестностью, можно найти ea и eb из области сходимости такие, чтоe ∈ [ϕ(a), ϕ(b)], |ζj | < |ζej |, а значит,|aj | < |eaj | и |bj | < |ebj | для всех j. Тогда найдётся точка ζe такая, что ϕ(ζ)точка ζ принадлежит области сходимости по лемме Абеля. Задача 2.2. Описать логарифмически выпуклую оболочку области ∆ 0, (1, 2) ∪ ∆ 0, (2, 1) .2.2.5.

Эквивалентные определения голоморфной функцииМы уже знаем, что из голоморфности следует представимость функции интегралом Коши, а из неё — разложимость в ряд. Остаётся замкнуть круг и показать, что представимость степенным рядом влечёт голоморфность. Действительно, степенной ряд R-дифференцируем (с сохранением области сходимости). Точно также,∂как и в одномерном случае, можно показать, что ∂z= 0. Частные производные ряда по xj и по yj отличаютсятолько множителем i, поэтомуX ∂ 1 XX 1 X X1 X ∂∂=+i=+i2=−= 0.(24)∂z2∂xj∂yj22Замечание. Можно показать (теорема Хартогса), что для голоморфности достаточно так называемой се∂fпаратной аналитичности, то есть требования ∂z= 0 для всех j, но мы этого делать не будем.j2.2.6.

Стандартные теоремы о голоморфных функцияхКак и в одномерном случае, справедлива формула Коши – Адамараqlim m |cm1 ,...,mn |r1m1 · . . . · rnmn = 1, где m = m1 + . . . + mn .(25)Доказательство ничем не отличается, так как мы переходим к модулям и все рассуждения повторяются.Сходящиеся ряды можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз. Они сходятсяравномерно на каждом компакте внутри области сходимости, что гарантирует непрерывность и голоморфностьпо каждому аргументу.Из возможности почленного дифференцирования немедленно получаем, что всякий степенной ряд есть рядТейлора для порождаемой им функции, и верна формула для коэффициентов:cm1 ,...,mn =1∂f (a)·.m1 ! · . .

. · mn ! ∂z1m1 . . . ∂znmn12(26)Теорема 2.3 (единственности). Если функция f равна нулю в полномерной окрестности U ⊂ Ω, где Ω —область сходимости, то f ≡ 0 во всей области сходимости. Рассмотрим множество E тех точек, где степенной ряд равен нулю. Это множество открыто, так как вкаждой точке есть полидиск сходимости (с ненулевым набором радиусов), и замкнуто, так как это множествонулей непрерывной функции. Рассмотрим произвольную точку z0 в области, соединим её кривой с некоторойточкой множества E. Кривая компактна, поэтому расстояние ρ от неё до границы положительно, а значит, вкаждой точке кривой нам гарантирован радиус сходимости ряда не меньше r := ρ2 .

Кривую можно накрытьконечным числом полидисков радиуса r, а на множестве E коэффициенты разложения нулевые, значит, онинулевые и в r-окрестности кривой. Значит, z0 ∈ E, т. е. Ω = E. Замечание. Условие полномерности окрестности существенно: функция f (z1 , z2 ) = z1 z2 голоморфна и равнанулю на объединении прямых {z1 = 0} ∪ {z2 = 0}, но f 6≡ 0.Задача 2.3. Если функция f (z1 , z2 ) равна нулю на множестве {z1 = z 2 }, то f ≡ 0.Теорема 2.4 (Принцип максимума). Если голоморфная функция достигает в некоторой точке нестрогого локального максимума модуля, то f ≡ const. Рассмотрим точку a ∈ Cn , в которой достигается максимум, и произвольный вектор ~v ∈ Cn .

Проведёмпрямую z(t) = a + t~v , где t ∈ C, и рассмотрим функцию g(t) = f (a + t~v ). Она, очевидно, голоморфна и имеетмаксимум модуля. Но это уже функция одной переменной, стало быть, она постоянна. Значит, f = C на любойпрямой, проходящей через точку a, и эта константа одинакова для всех прямых и равна f (a). Теорема 2.5 (Неравенство Коши).

Пусть функция f ограничена по модулю константой M в полидискесходимости ∆(0, ~r). Тогда имеет место оценка коэффициентов её степенного ряда:|cm1 ,...,mn | 6r1m1M.· . . . · rnmn(27)Мы знаем формулу для коэффициентов cm :cm1=(2πi)nZSk ∆Заменяя в интеграле f (ζ) на M , получаем|cm | 6f (ζ) dζQ.(ζj − aj )mj +1Y1MM··2πrj = m1.Qm+1j(2π)nr·.. .

· rnmnrj1(28)(29)Теорема 2.6 (Принцип открытости). Голоморфная непостоянная функция осуществляет открытоеотображение. Пусть f : D → C — голоморфная функция. Пусть b ∈ f (D), и a ∈ f −1 (b). Поскольку множество D открыто, найдётся окрестность U (a) ⊂ D. Рассмотрим прямые, проходящие через точку a, а точнее, их пересеченияс окрестностью U . По условию, найдётся прямая ℓ, на которой наша функция не постоянна. По одномерномупринципу открытости, образ множества M := ℓ ∩ U открыт.

Поэтому вместе с точкой b в образе лежит еёокрестность f (M ). Замечание. Для отображений F : Cn → Cm это неверно. В самом деле, если f (z1 , z2 ) — голоморфнаяфункция, то образ отображения F (z1 , z2 ) := f (z1 , z2 ), f (z1 , z2 ) лежит на прямой {z = w}, поэтому не можетбыть открытым множеством.Скажем пару слов от том, как обстоит дело с ростками у функций многих переменных. Если в одномерномслучае были особые точки,√ то здесь бывают даже особые прямые. Например, прямая {z = w} является особойдля функции f (z, w) = z − w. Однако само понятие ростка переносится на многомерный случай без изменений.2.2.7. Плюригармонические функцииПусть f — голоморфная функция в Cn .

Распишем её в виде f = u + iv. Имеем u = 21 (f + f ). Заметим, что∂ u∂zj ∂z j = 0, потому что дифференцирование по переменной zj убьёт антиголоморфную часть, а дифференциро22вание по z j — голоморфную. Записывая оператор ∂z∂j ∂z j в переменных xj и yj , получаем оператор Лапласа попеременным xj и yj . Обозначим этот оператор через ∆j .Определение. Если для функции u выполнено ∆j u = 0 при всех j, то функция u называется плюригармонической.13Очевидно, что всякая плюригармоническая функция u гармонична, то есть ∆u = 0. Запишем уравненияКоши – Римана:∂u∂v∂u∂v=,=−.(30)∂xj∂yj∂yj∂xjИз этих уравнений по функции u можно найти сопряжённую плюригармоническую функцию v: рассмотримформу ω = dv, тогда dω = d2 v = 0, поэтому в односвязной области можно (однозначно с точностью до константы) восстановить функцию v по формулеZzv(z) = ω.(31)aТакое задание корректно по теореме Стокса: если γ — замкнутый контур, на котором лежат точки z и a, тоZZZω=dω =0 = 0,(32)γInt γInt γпоэтому интегралы по двум половинкам контура γ от z до a и от a до z отличаются только знаком, а это изначит, что интеграл не зависит от пути.2.3.

Устранимые особые множества. Фигуры Хартогса2.3.1. Об устранимых особых множествахДовольно полезным следствием логарифмической выпуклости областей голоморфности является следующаялемма.Лемма 2.7 (об устранимой особенности). Изолированная особая точка является устранимой особенностью для голоморфной функции нескольких переменных. Пусть a — изолированная особая точка. В силу её изолированности, найдутся два полидиска ∆1 и ∆2 ,в которых функция голоморфна,и точка a лежит сколь угодно близко к их пересечению.

Множество L :=:= ϕ−1 conv ϕ(∆1 ∪ ∆2 ) кроме исходных полидисков будет содержать ещё некоторое множество, ограниченноеснаружи поверхностью, напоминающей гиперболу. Функция f голоморфна в L, поэтому достаточно придвинутьнаши полидиски столь близко к точке a, чтобы точка a была заметена множеством L. |z2 |aa|z1 |Замечание. С помощью аналогичной процедуры можно уничтожить любой компакт K ⊂ Cn , правда, придётся потребовать, чтобы функция была голоморфна в Cn r K. Чтобы сделать это, нужно надвинуть на этоткомпакт такие «длинные» полидиски, чтобы множество L поглотило весь компакт K.2.3.2.

Аналитическое продолжение функции с фигуры Хартогса на полидискМы ограничимся рассмотрением функций двух переменных z1 , z2 . Суть происходящего понятна уже и в этомслучае, а рисовать удобнее. Полидиски (в нашем случае — бидиски) удобно рисовать на плоскости (|z1 |, |z2 |) ввиде прямоугольников, подразумевая под отрицательными значениями координат их модули (для симметрии).Таким образом, почти все точки имеют 4 симметричных изображения (но на самом деле они соответствуютбесконечному множеству «настоящих» точек, получаемых вращениями относительно осей координат).14Фигурой Хартогса называется множество вида|z2 |−11|z1 |Поскольку оно напоминает катушку, мы будем называть его среднюю часть перемычкой.Без ограничения общности рассмотрим фигуру Хартогса H ширины 1 и высоты 1.

Пусть f ∈ O(H). Заметим,что если точка (|z1 |, |z2 |) принадлежит H, то можно написать интегральную формулу Коши для контура |z2 | == 1 − ε. Рассмотрим функциюZf (z1 , ζ)1dζ.(33)F (z1 , z2 ) =2πiζ − z2|ζ|=1−εСия формула имеет смысл, поскольку весь контур интегрирования содержится в области голоморфности функции f . Далее, заметим, что когда второй аргумент функции f близок по модулю к 1, первому аргументу разрешается принимать любые по модулю значения, меньшие 1. Отсюда следует, что интеграл (33) определён привсех |z2 | < 1 − ε и |z1 | < 1. Видно, что F будет непрерывной и голоморфной по каждому аргументу. Осталосьзаметить, что если ограничить |z1 | шириной перемычки, то этот интеграл совпадает с формулой Коши дляисходной функции f : в перемычке (а точнее в закрашенном бицилиндре) она голоморфна и потому для неёсправедлива формула Коши.

Значит, на перемычке имеем f = F .Радость состоит в том, что область определения функции F шире, чем у исходной. Поскольку ε можно взять произвольно малым, получаем, что функция f продолжается до функции, голоморфной в бидиске{|z1 | < 1, |z2 | < 1}.2.3.3. Принцип непрерывности и области голоморфностиОпределение. Пусть ∆ — диск в Cr , r < n. Образ диска ∆ при голоморфном биективном отображенииϕ : ∆ → Cn с всюду невырожденным дифференциалом называется аналитической r-мерной поверхностью. Приr = 1 эти поверхности часто называют аналитическими кривыми.Если теперь рассмотреть функции на аналитических кривых (одномерных комплексных многообразиях), тодля них очевидным образом справедлива теорема единственности и принцип максимума.

Для доказательствадостаточно перетащить функцию на диск: если S = ϕ(∆) — аналитическая кривая, а f : S → Cn — голоморфнаяфункция на кривой S, то функция g(t) = f ϕ(t) уже будет обычной голоморфной функцией.Теорема 2.8. Пусть ∆ ⊂ C — единичный круг, D ⊂ Cn — область, а ϕ : ∆ → D — аналитическая кривая.Пусть K ⊃ ϕ(∂∆) — компакт в области D, а ρ := dist(K, ∂D).