В.К. Белошапка - Курс лекций по комплексному анализу, страница 6

Пусть X1 := Cn1 , k·k1 и X2 := Cn2 , k·k2 — нормированные пространства.Пусть B1 — единичный шар в X1 , а B2 — единичный шар в пространстве X2 . Пусть f : B1 → B2 — голоморфное отображение, для которого f (0) = 0. Тогда kf (z)k2 6 kzk1 .z Пусть z ∈ B1 . Рассмотрим единичный вектор ~a := kzkи прямую ℓ := {t~a | t ∈ C}. Рассмотрим функцию1ϕ(t) =f (ta)t .2 СтрогоеОна голоморфна, поскольку f (0) = 0 и особенность устраняется.

Пусть |t| 6 r < 1, тогда подоказательство этого факта нетривиально. Его можно прочесть, например, в [7, гл. 7, § 2, теорема 1] — Прим. наб.18принципу максимума kϕ(t)k2 6неравенствоОсталось положить t = kzk1 . 1r.Поскольку r можно брать сколь угодно близким к 1, в пределе получаем f (ta) 6 1 ⇔ kf (ta)k 6 |t|.kϕ(t)k 6 1 ⇔ (56)2t 22.4.5. Биголоморфная неэквивалентность шара и полидискаСкажем пару слов о группах автоморфизмов шара и полидиска. Очевидно, что Aut(∆n ) ⊃ Sn × (Aut ∆)n , таккак можно как угодно переставлять координаты и осуществлять конформные автоморфизмы дисков по каждойкоординате преобразованиями видаz j − ajzj 7→ eiϕj.(57)1 − aj z jОтсюда следует, что dimR Aut(∆n ) > n + 2n (умножение на дискретную группу Sn на размерность не влияет).На самом деле можно показать, что группа Aut(∆n ) исчерпывается такими преобразованиями, и таким образомdimR Aut(∆n ) = 3n.Что же касается шара, то можно показать, что для него dimR Aut(B n ) = n2 + 2n.

Легко видеть, что вгруппе автоморфизмов шара содержится унитарная группа Un , состоящая из таких комплексных матриц A,что A · At = E. Её размерность равна n2 (у матрицы 2n2 вещественных переменных, и на них накладываетсяn2 независимых соотношений). Тем самым мы показали, что dimR Aut(B n ) > n2 .Если применить соображения о размерностях, то доказательство биголоморфной неэквивалентности очевидно: при n > 2 имеем 3n < n2 + 2n и потому соответствующие группы автоморфизмов не могут быть изоморфными. Но мы пойдём другим путём, который не использует «тяжёлой артиллерии».Теорема 2.13. При n > 2 шар и полидиск биголоморфно неэквивалентны друг другу.

Будем рассуждать от противного: пусть существует биголоморфное отображение ϕ : B n → ∆n . Изсказанного выше следует, что полидиск однороден, то есть группа автоморфизмов действует на нём транзитивно(любую точку можно перевести в любую другую перестановкой координат и координатным автоморфизмом).Если бы полидиск и шар были биголоморфно эквивалентными, то шар тоже был бы однородным. В самомделе, пусть x, y ∈ B.

Рассмотрим точки z = ϕ(x) и w = ϕ(y). В силу однородности полидиска, существуетf ∈ Aut(∆n ), для которого f (z) = w. Тогда автоморфизм шара ϕ−1 f ϕ переводит x в y.Поэтому можно считать, что ϕ сохраняет 0, то есть ϕ(0) = 0. Действительно, пусть ϕ(0) = z0 . Рассмотримавтоморфизм полидиска f , переводящий z0 в точку 0. Тогда Φ := f ◦ϕ уже обладает требуемым свойством. А разΦ(0) = 0, то применима лемма Шварца: пусть w = Φ(z), тогда kwk∆ 6 kzkB . Но так как Φ — биголоморфизм,лемма Шварца применима и к Φ−1 . Значит, верно и обратное неравенство kzkB 6 kwk∆ .

Следовательно,kΦ(z)k∆ = kzkB .(58)Но отсюда, в частности, следует, что всякая сфера радиуса r < 1 переходит в границу полидиска (которая приn > 2 не диффеоморфна сфере в силу «угловатости»3). Получаем противоречие. На самом деле легко видеть, что граница двумерного полидиска представляет собой склейку двух полноторий. Склейка производится по их общей части, то есть по тору {|z1 | = 1} × {|z2 | = 1}.2.4.6.

Теорема Анри КартанаОпределение. Область ограниченного вида — область, биголоморфно эквивалентная ограниченной.Теорема 2.14 (А. Картана). Пусть D — область ограниченного вида, а f ∈ Aut(D). Если f (a) = a иf ′ (a) = id, то f = id. Как обычно, доказываем от противного. Без ограничения общности a = 0. Напишем разложение Тейлора:f (z) = z + Pm (z) + O(z m+1 ),(59)где Pm (z) — ненулевой многочлен степени m, у которого равны нулю коэффициент при z и свободный член.Рассмотрим итерации отображения f (далее под записью f ν мы понимаем ν-ю степень композиции). Имеемf 2 (z) = f f (z) = f z + Pm (z) = z + Pm (z) + . . .

+ Pm z + Pm (z) + . . . + · · · = z + 2Pm (z) + . . .(60)Аналогично получаем, чтоf ν (z) = z + νPm (z) + . . .3 Почемуполидиск угловатый, и почему они правда не диффеоморфны, подумайте сами.19(61)Впишем в область D полидиск ∆1 c центром в нуле радиуса r и опишем вокруг D ещё один полидиск ∆2 радиуса R тоже с центром в нуле. Тогда |f (z)| 6 R при всех z ∈ D, поскольку f отображает D в себя, а следовательно,и внутрь большого полидиска. К меньшему полидиску применимо неравенство Коши:|cm | 6R.rm(62)Соответственно, для итераций должна быть справедливой та же оценка, то есть|νcm | 6R.rm(63)Но при достаточно больших ν неравенство, очевидно, нарушится.

Значит, на самом деле Pm = 0. Следствие 2.1. Если имеется биголоморфизм ϕ1 : D1 → D2 , то он задаётся образом одной точки и значением производной в этой точке. В самом деле, пусть имеется два отображения ϕ1 и ϕ2 с такими свойствами. Тогда отображение ϕ1 ◦ ϕ−12удовлетворяет условиям теоремы Картана и потому тождественно, то есть ϕ1 = ϕ2 .

Следствие 2.2. Группа автоморфизмов произвольной области в Cn имеет размерность не более 2n2 + 2n. Дифференциал биголоморфизма — это невырожденная комплексная матрица размера n×n, а пространство таких матриц имеет размерность 2n2 (это в точности полная линейная группа GLn (C)). А чтобы задатьобраз одной точки, нам потребуется ещё n комплексных координат, то есть 2n вещественных. По предыдущемуследствию, эти параметры полностью задают биголоморфизм. 3. Представление мероморфных и целых функцийВернёмся к функциям одной переменной.3.1. Представление мероморфных функций3.1.1.

Теорема Миттаг-ЛеффлераКак мы знаем, для рациональной функции справедливо представление видаX 1 R(z) = P0 (z) +Pj,z − aj(1)где Pj — многочлены. В этом разделе мы докажем, что аналогичное представление справедливо и для мероморфных функций.Напомним, что мероморфная в C функция — это такая функция, у которой все особые точки не хуже, чемполюса, и при этом полюсам разрешено накапливаться только вокруг ∞.Для простоты будем всегда рассматривать функции, мероморфные во всей плоскости.PОпределение. Пусть {fn } — последовательность мероморфных функций.

Говорят, что рядfn сходится,если для каждого компакта K ⊂ C найдётся N Pтакое, что при n > N имеем fn ∈ O(K) (то есть «хвост» неимеет полюсов на компакте K), и «хвост» рядаfn сходится на K равномерно.n>NИз определения и теоремы Вейерштрасса следует, что «хвост» является голоморфной функцией. Поэтомупредел автоматически является мероморфной функцией.Лемма 3.1. Пусть имеется последовательность дисков {∆n (rn )}, радиусы которых возрастают к +∞, и{Fn } — последовательность функций, мероморфных в C и голоморфных на ∆n .

Тогда существует последовательность так называемых поправочных многочленов {Pn }, что рядXFn (z) − Pn (z)(2)сходится как ряд из мероморфных функций.P Зафиксируем произвольную последовательность εn > 0, для которой рядεn сходится. В силу голоморфности Fn на ∆n имеет место разложение Fn в рядXFn (z) =cmn z m ,(3)m20равномерно сходящийся на ∆n . В силу этой сходимости можно приблизить функцию Fn отрезком её степенногоряда с точностью εn , то есть найти mn такое, что|Fn − Pn | < εn ,Pn =mnXcmn z m .(4)m=0Так как ряд из εn сходится, то ряд (2) будет равномерно сходиться на каждом из ∆n , что и требуется.

Пусть an — полюса некоторой мероморфной функции f . Через gn будем обозначать главную часть её лорановского разложения в полюсе an , то есть1gn (z) = Qn, Qn ∈ C[z], deg Qn = pn .(5)z − anТеорема 3.2 (Миттаг-Леффлера). Пусть {an } — последовательность точек, не имеющая точек накопления в C, и gn — набор главных частей gn вида (5). Тогда существует мероморфная функция, имеющаяполюса ровно в этих точках, причём при всех n главная часть лорановского разложения в полюсе an совпадаетс gn .

Упорядочим полюсы по возрастанию их модулей (это всегда можно сделать, потому что во всякомкруге их лишь конечное число). Будем сначала считать, что a0 6= 0. Положим Fn (z) = gn (z). Применим леммуи рассмотрим функцию∞XF (z) =(gn (z) − Pn (z)) ,(6)n=1где Pn — поправочные многочлены. Она, очевидно, и будет искомой.Избавиться от ограничения a0 6= 0 можно очень просто: если F (z) — функция, имеющая требуемые главныечасти в ненулевых полюсах, то функцияFe (z) = g0 (z) + F (z)(7)будет иметь полюса во всех точках a0 , a1 , .

. . Следствие 3.1. Всякая мероморфная функция с полюсами в точках {an } имеет представление видаf (z) = G(z) +∞Xn=0(gn (z) − Pn (z)) ,G ∈ O(C).(8)3.1.2. Метод КошиТеорема 3.3. Пусть γn — последовательность контуров таких, что rn := ρ(γn , 0) → ∞. Пусть |γn | = Lnи Ln 6 Crn , где C — константа, ни от чего не зависящая. (Последнее условие означает, что контуры неслишком «кривые»). Пусть мероморфная функция f такова, что|f (z)| 6 M |z|m при z ∈ γn для всех n.(9)Тогда в качестве поправочных многочленов можно брать многочлены степени не выше m.

Обозначим Dn := Int γn . Возьмём контур γn и зафиксируем точку z внутри него. Запишем теоремуКоши о вычетах:ZX1f (ζ)dζ = f (z) +res f .(10)ak2πiζ−za∈Dnkγn| {z }SПоследнее равенство верно, поскольку полюсами подинтегральной функции как раз являются все особые точкивнутри контура γn и точка z, вычет в которой по интегральной формуле Коши равен f (z).Рассмотрим функциюXϕn (z) =gk (z).(11)ak ∈DnЗаметим, что в формуле (10) можно f заменить на ϕn , потому что вычитание голоморфного слагаемого ничегоне поменяет.Функция ϕn состоит из правильных дробей. При делении на ζ − z они станут «ещё правильнее», и степеньзнаменателя будет по крайней мере на 2 больше, чем степень числителя. Отсюда следует, что интегралZ1ϕn (ζ)I :=dζ = 0.(12)2πiζ −zγn21В самом деле, если увеличивать номер контура, то интеграл не меняется, поскольку вне контура у ϕn полюсовнет.