В.К. Белошапка - Курс лекций по комплексному анализу, страница 7

С другой стороны, при увеличении радиуса контура интеграл стремится к нулю, потому что длина контурарастёт так же, как rk , а функция убывает как rk2 .Таким образом, имеем0 = I = ϕn (z) + S,(13)поэтому S = −ϕn (z). Подставим полученное выражение для S в формулу (10):ZX1f (ζ)dζ = f (z) −gk (z).2πiζ −z(14)ak ∈DnγnРазложим ядро Коши:111= ·ζ −zζ 1−zζ=∞Xzk.ζ k+1(15)k=0Теперь дифференцируем полученную формулу k раз (k = 0, . .

. , m) и подставляем z = 0:12πiZγn(k)f (ζ)f (k) (0) X gj (0)dζ =−.k+1ζk!k!(16)aj ∈DnВычтем продифференцированные равенства из исходного, домножая их на z k . Получим!!Z(k)mmmXXXXgj (0) k1zkf (k) (0) k1gj (z) −−f (ζ) dζ = f (z) −z −z .2πiζ −zζ k+1k!k!a∈Dk=0k=0k=0jnγn|{z}|{z}(17)Pj (z)G(z)Выражение в скобках под интегралом является хвостом геометрической прогрессии, поэтому левая часть равенства может быть записана в видеZz m+1f (ζ)J :=dζ.(18)2πiζ m · ζ(ζ − z)γnПоэтому|J| 6C · M |z|m+1→ 0,2π(rn − |z|)n → ∞.(19)Значит J = 0. Заметим, что если теперь перенести f (z) в левую часть, то справа останется целая функция G исумма подправленных дробей.

При этом поправочные многочлены имеют степень не выше n. В качестве полезного в приложениях следствия этой теоремы получим формулу для разложения мероморфной функции, у которой все полюса простые и точка z = 0 не является полюсом.Пусть |f (z)| 6 M на системе контуров γn (чтобы так получилось, нужно аккуратно провести контурыподальше от полюсов). Тогда можно взять m = 0. Условие простоты полюсов означает, что функции gk вразложении f имеют видbkgk (z) =.(20)z − akФактически, здесь коэффициенты bk — это вычеты функции f в её полюсах. По теореме получаем разложениедля f следующего вида:∞X11f (z) = f (0) +bk+.(21)z − akakk=1Если функция f таки имеет полюс в нуле, его можно сначала убить, вычтя функцию g0 (z) := resz0 f .

Тогдадля функции f − g0 уже работает написанная выше формула.P′Здесь и далее под символомбудем понимать суммирование по всем целым индексам, кроме нуля.Пример 1.1. Рассмотрим функцию f (z) = ctg z. Регуляризуем её в нуле и запишем для неё разложение:1 X′11ctg z − =+.(22)zz − πk πkk22Если сгруппировать положительные и отрицательные слагаемые, то получится следующее:∞ctg z =1 X2z+.2zz − (πk)2(23)k=1С помощью почленного дифференцирования равенства (22) получается разложение для функцииX11= −(ctg z)′ =.2(z − πk)2sin zZ1:sin2 z(24)3.2. Представление целых функцийЕсли у нас есть многочлен P , то ничего не стоит получить его разложение по его нулям:P (z) = Az mn Yz.1−ak(25)k=1Поскольку у многочленов много общего с целыми функциями, возникает естественное желание получить аналогичное разложение для целых функций. Правда, при этом получаемое произведение рискует стать бесконечным.3.2.1. О бесконечных произведенияхНапомним, что бесконечное произведение∞Y(26)(1 + ck )k=1называется сходящимся, если 1+ck 6= 0 при всех k и существует конечный ненулевой предел последовательностиΠn :=nY(27)(1 + ck ).k=1Очевидно, что если произведение сходится, то1 + cn =Πn→1Πn−1⇒cn → 0.(28)Отсюда следует, что при всех достаточно больших n все множители лежат в достаточно малой окрестности 1,а там у функции Ln(1 + z) выделяется однозначная ветвь и можно рассмотреть ряд∞Xln(1 + cn ).(29)n=1Легко видеть, что сходимость произведения равносильна сходимости этого ряда.3.2.2.

Теорема Вейерштрасса о заказанных нуляхДля начала заметим, что если f — целая функция без нулей, то функция h(z) = ln f (z) неограниченнопродолжается в C и по теореме о монодромии тоже является целой функцией. Тогда получаем f (z) = exp h(z).Пусть у целой функции F конечное число нулей a1 , . .

. , an с кратностями p1 , . . . , pn . Тогда функцияf (z) =F (z)(z − a1 )p1 · . . . · (z − an )pn(30)уже не имеет нулей и тоже является целой функцией. По предыдущему рассуждению получаем разложениеF (z) = (z − a1 )p1 · . . . · (z − an )pn exp h(z).(31)В общем случае необходимо побороть кратные нули. Пусть целая функция F имеет нули в точках ak скратностями pk . Будем считать, что F (0) 6= 0. Перейдём к логарифмической производной: рассмотрим функциюL(z) :=F ′ (z).F (z)23(32)У неё все полюса простые, и вычеты функции L — это в точности кратности нулей функции F .Значит, она имеет видL(z) = H(z) +∞ Xn=1Разложим дробь1z−a1+ Pan (z) =: H(z) + K(z), где Pan (z) − поправочные многочлены.z − an(33)в геометрическую прогрессию:111=− ·z−aa 1−1 X z k=− ·aa∞za(34)k=0Теперь будем знать вид поправочных многочленов для дроби:L(z) = H(z) +∞ Xn=111zz mn −1++ 2 + .

. . + mnz − anananan=: H(z) + K(z).(35)Здесь мы написали при каждом слагаемом коэффициент 1, потому что можно повторить каждое слагаемоестолько раз, какова кратность нуля ak (то есть в этой сумме допускаются повторения ak ).Рассмотрим функциюZzeK(z) = K(ζ) dζ.(36)0Она уже может быть неоднозначной. Выясним, насколько отличаются продолжения по разным путям. Так какпервообразная от z1 — это Ln z, мы будем получать приращения, кратные 2πi. Интегрируя, получаем функциюeK(z)=∞ Xn=1zz2z mnln(z − an ) − ln(0 − an ) ++ 2 + ... +=nan2anm n amn∞ Xzzz2z mnln 1 −=++ 2 + ...+.

(37)nanan2anm n amnn=1eТеперь рассмотрим функцию f (z) := exp K(z).Экспонента заглушит неоднозначность в силу своей 2πi-периодичности. Тогда в окрестности каждой точки ak получаем разложение видаbf (z) = (z − ak )pk exp K(z),(38)b представляет собой слагаемые по всем полюсам, кроме ak . Здесь множитель z − ak имеет кратность pk ,где Kпоскольку слагаемые с полюсом ak встречаются ровно pk раз в показателе exp.Тем самым мы построили общую формулу для целой функции, имеющей заданные нули ak требуемой кратности pk .

При этом предполагалось, что f (0) 6= 0, но это препятствие легко обойти, добавив множитель z m0 .Итак, произвольная целая функция имеет видf (z) = zm0∞ Yzzz2z mn1−exp+ 2 + ...+exp h(z),nanan2anm n amnn=1(39)где h — некоторая целая функция. Таким образом, доказана теорема:Теорема 3.4 (Вейерштрасса). Для любого набора точек ak (удовлетворяющего теореме Миттаг-Леффлера) существует целая функция с нулями в этих точках наперёд заданной кратности.Следствие 3.2.

Всякая мероморфная функция F есть отношение двух целых функций. Домножим функцию F на такую целую функцию Q, чтобы она убила все полюса F (она существует поPтолько что доказанной теореме). Тогда P := F · Q будет некоторой целой функцией. Значит, F = Q.Пример 2.1. Рассмотрим функцию f (z) = sin πz. Её логарифмическая производная равна(ln sin πz)′ =Имеемctg πz =X′1+πz(sin πz)′= π ctg πz.sin πz11+πz − πn πn24=1 1 X′11++.π zz−n n(40)(41)Применяя формулу, получаем разложениеsin πz = πzzY′ zexp.1−nnn(42)Группируя множители с симметричными индексами, получаем более удобную формулу:∞ Yz2sin πz = πz1− 2 .nn=1(43)4.

Эллиптические функции4.1. Двоякопериодические функции и их свойства4.1.1. Периодические функции в CБудем рассматривать функции, обладающие свойством периодичности, то есть такие, что некотором ненулевом значении T ∈ C имеем f (z + T ) = f (z) при всех z ∈ C.Несложно проверить, что совокупность всех периодов функции — это аддитивная подгруппа в C: суммапериодов — период, и если T — период, то (−T ) тоже является периодом.Далее мы будем рассматривать только мероморфные функции.Напомним, что подгруппа G ⊂ Rn называется дискретной, если существует такое число R > 0, что длялюбого g ∈ G окрестность UR (g) не содержит других элементов группы, отличных от g.Лемма 4.1. Группа периодов непостоянной мероморфной функции f дискретна.

Допустим противное, тогда множество периодов имеет в конечной части плоскости предельную точку.Следовательно, функция принимает одно и то же значение на некоторой сходящейся к этой предельной точкепоследовательности. По теореме единственности она обязана быть постоянной. Следствие 4.1. Группа периодов непостоянной мероморфной функции изоморфна либо Z2 , либо Z. Из алгебры4 известно, что всякая дискретная подгруппа в Rn изоморфна решётке Zk , где k 6 n. Случайk = 0 невозможен, потому что в этом случае функция не является периодической. Кроме того, имеем k 6 2.Значит, функция либо имеет два линейно-независимых периода, либо один период.

Далее будем рассматривать функции с двумя независимыми периодами ω1 и ω2 , а через G будем обозначатьгруппу периодов ω1 Z ⊕ ω2 Z ⊂ C. Будем говорить, что z1 ≡ z2 (mod G), если точка z2 получается из z1 сдвигомна целое кратное какого-нибудь периода (или их суммы). Иначе говоря, точки z1 и z2 — это один и тот жеэлемент факторгруппы C/G.Утверждение 4.2. Множество мероморфных функций с заданно группой периодов образует поле, выдерживающее дифференцирование. Очевидно. Определение. Двоякопериодические мероморфные функции называются эллиптическими.Определение.

Множество {t1 ω1 + t2 ω2 | ti ∈ [0, 1)} называется параллелограммом периодов. Мы будем обозначать его буквой Π.4.1.2. Свойства эллиптических функцийТеорема 4.3. Любая целая эллиптическая функция постоянна. Ясно, что целая функция ограничена на своём параллелограмме периодов, поэтому она ограничена вовсей плоскости.