Феоктистов В.В., Сидняев Н.И. Линейные и евклидовы пространства (2008), страница 7

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А.æ 1 3ö1. А = ç÷.è 4 2øæ 11 -6 2 ö÷ç2. А = ç-610 -4÷ .ç 2 -4 6 ÷øèæ2ç3. А = ç-5ç5è-5 -5 ö÷2 -5 ÷ .-5 2 ÷øР е ш е н и е . 1. Запишем АХ = Х ⇔ (А – Е)Х = 0, тогдаì(1 - l)х1 + 3 х2 = 0,íî4х1 + (2 - l)х2 = 0.Найдем собственные значения матрицы А как корни характеристического уравнения: det(A – E) = 0, тогда1- l342-l= 0 Þ l1 = 5, l2 = -2.47Найдем собственные векторы матрицы как решение соответст)вующих уравнений (3.1).Определимì(1 - 5)х1 + 3 х2 = 0 ,l1 = 5 : íî4х1 + (2 - 5)х2 = 0 .Получим решениеæ 3 ö3x1 = x2 Þ X 1 = çk÷ .4è 4k øАналогично предыдущему определимì(1 + 2)х1 + 3 х2 = 0 ,l2 = -2 : íî4х1 + (2 + 2)х2 = 0 ,æ -köтогда x1 = -x2 Þ X 2 = ç ÷ .è kø2.

Запишем АХ = Х, т. е. (А – Е) Х = 0, тогдаì(11 - l)х1 - 6 х2 + 2 х 3 = 0,ïí-6 х1 + (10 - l)х2 - 4х 3 = 0,ï2 х - 4х + (6 - l)х = 0.32î 1Найдем собственные значения матрицы как корни характеристи)ческого уравнения det(A – E) = 0. Запишем11 - l-62-6210 - l-4 = 0.-46-l32Раскрывая определитель, получим – 27 + 180 – 234 = 0.Первое собственное значение 1 = 3 найдем подбором как дели)тель свободного члена.

Тогда3– 272+ 180 – 234 = ( – 3)(2– 24 +108) = 0,откуда 2 = 6, 3 = 18.Найдем нетривиальные решения для следующих систем.48При1=3 для системыì(11 - 3)х1 - 6 х2 + 2 х 3 = 0,ïí-6 х1 + (10 - 3)х2 - 4х 3 = 0,ï2 х - 4х + (6 - 3)х = 023î 1æ k /2 öç÷получим X 1 = ç k ÷ .ç k ÷èøПри2=получим X 2При36 для системыì(11 - 6)х1 - 6 х2 + 2 х 3 = 0,ïí-6 х1 + (10 - 6)х2 - 4х 3 = 0,ï2 х - 4х + (6 - 6)х = 023î 1æ -k ö÷ç= ç -k /2 ÷ .ç k ÷øè= 18 для системыì(11 - 18)х1 - 6 х2 + 2 х 3 = 0,ïí-6 х1 + (10 - 18)х2 - 4х 3 = 0,ï2 х - 4х + (6 - 18)х = 032î 1æ 2k ö÷çполучим X 3 = ç -2 k ÷ .ç k ÷øèИтак, векторы Х1, Х2, Х3 являются собственными векторами мат)рицы А, отвечающими собственным значениям 1 = 3, 2 = 6, 3 = 18соответственно.32– 6 – 63 – 108 = 0, где 1 =3.

Запишем det(A – E) = 0. Тогда= 12, 2 = 3 = –3 – решение уравнения.Следовательно, для 1 = 12æ köç ÷X 1 = ç -k÷ ,ç k÷è ø49а для2=3=–3ì(2 + 3)х1 - 5 х2 + 5 х 3 = 0,ïí-5 х1 + (2 + 3)х2 - 5 х 3 = 0,ï5 х - 5 х + (2 + 3)х = 0.23î 1Решение этой системы имеет вид х1 = х2 – х3 .Получимæ k1 - k2 ö÷çX 2, 3 = ç k1 ÷ .÷ç køè2У п р а ж н е н и е . Найти собственные значения и собственныевекторы матриц А.æ 1 -2 0 öæ 2 -2 0 ö÷ç÷çæ 3 4ö1.

A = ç÷ . 2. A = ç -2 1 -2 ÷ . 3. A = ç -2 2 -2 ÷ .è5 2øç 0 -2 3 ÷ç 0 -2 0 ÷øèøèОтветы.1.2.3.1=1=1=7,4,2,2=2=2=æ köæ 4k ö–2, X 1 = ç ÷ , X 2 = ç÷.è køè -5 k ø1,–1,3=–2,3=5,æ köæ 2 köæ 2k öç ÷ç ÷÷çX 1 = ç -2 k ÷ , X 2 = ç k ÷ , X 3 = ç 2 k ÷ .ç 2 k÷ç 2 k÷ç k ÷è øè øøèæ k öæ 2 köæ 2k ö÷çç ÷÷çX 1 = ç -k ÷ , X 2 = ç 2 k ÷ , X 3 = ç -2 k ÷ .ç 2k ÷ç k÷ç -2 k ÷øèè øøè22П р и м е р 30. Линейный оператор L : X ® X имеет матрицуæ5 2öA=ç÷ . Найти собственные векторы L.è2 8øР е ш е н и е . Запишем систему (3.1) в видеì(5 - l)х1 + 2 х2 = 0 ,íî2 х1 + (8 - l)х2 = 0 ,50(3.4)а уравнение (3.2) – в виде5-l2= 0.28-l(3.5)2Раскроем определитель: λ – 13λ + 36 = 0, где λ1 = 9; λ2 = 4 – решения уравнения.Систему (3.4) при λ = 9 приведем к видуì-4х1 + 2 х2 = 0 ,íî2 х1 - х2 = 0 .Система содержит лишь одно независимое уравнение, из которого получим х2 = 2х1, илиæ х ö æ с ö æ 1öX 1 = ç 1 ÷ = ç 1 ÷ = ç ÷ с1è х2 ø è 2с1 ø è 2 ø– собственные векторы, соответствующие собственным значениям,λ 1 = 9.При λ = 4 система (3.4) принимает видìх 1 + 2 х 2 = 0 ,íî2 х1 + 4х2 = 0 ,где х1 + 2х2 = 0, тогдаæ х ö æ -2 öX 2 = ç 1 ÷ = ç ÷ с2 .è х2 ø è 1 øКак видим, каждому собственному числу λ соответствует неединственный собственный вектор, а целое одномерное подпространство собственных векторов.33П р и м е р 31.

Линейный оператор L : X ® X имеет матрицуæ 1çА = ç-2ç3è-2 3 ö÷2 -2 ÷ .-2 1 ÷øНайти собственные векторы L.51Р е ш е н и е . Запишем систему уравнений в видеì(1 - l)х1 - 2 х2 + 3 х 3 = 0 ,ïí-2 х1 + (2 - l)х2 - 2 х 3 = 0 ,ï3 х - 2 х + (1 - l)х = 0 .23î 1Характеристическое уравнение1 - l -2-2 2 - l3-23-2= 0,1- l2т. е.

λ(λ – 4λ – 12) = 0, имеет решение λ 1 = 0; λ 2 = –2; λ 3 = 6.Каждое собственное значение λ последовательно подставим в ис)ходную систему.Для λ1 = 0ìх 1 - 2 х 2 + 3 х 3 = 0 ,ïí-2 х1 + 2 х2 - 2 х 3 = 0 ,ï3 х - 2 х + х = 0 .23î 1Следовательно,ìх 1 - 2 х 2 = 3 х 3 ,íî-2 х1 + 2 х2 = 2 х 3их1 = х3 ; х2 = 2х3; х3 = с1.Тогдаæ х1 ö æ 1öç ÷X 1 = ç х2 ÷ = ç 2 ÷ с1 .ç ÷è х 3 ø çè 1÷øДля λ2 = –2ì3 х1 - 2 х2 + 3 х 3 = 0 ,ïí-2 х1 + 4х2 - 2 х 3 = 0 ,ï3 х - 2 х + 3 х = 0 .23î 152Следовательно,ì3 х1 - 2 х2 = -3 х 3 ,íî-2 х1 + 4х2 = 2 х 3их1 = –х3 ; х2 = 0; х3 = с2.ТогдаX2Для λ3 = 6Следовательно,æ х1 ö æ -1öç ÷= ç х2 ÷ = ç 0 ÷ с2 .ç ÷è х 3 ø çè 1 ÷øì-5 х1 - 2 х2 + 3 х 3 = 0 ,ïí-2 х1 - 4х2 - 2 х 3 = 0 ,ï3 х - 2 х - 5 х = 0 .23î 1ì5 х1 + 2 х2 = 3 х 3 ,íî2 х1 + 4х2 = 2 х 3их1 = х3 ; х2 = –х3; х3 = с3 .ТогдаX3æ х 1 ö æ 1öç ÷= ç х2 ÷ = ç -1÷ с 3 .ç ÷è х 3 ø çè 1÷øСобственные векторы, соответствующие различным собствен)ным значениям, всегда линейно независимы.

Выберем из каждогоодномерного подпространства собственных векторов по одному век)тору, полагая, например, с1 = с2 = с3 = 1, получимæ 1öæ -1öæ 1öç ÷ç ÷ç ÷X 1 = ç 2 ÷ , X 2 = ç 0 ÷ , X 3 = ç -1÷ .ç 1÷ç 1÷ç3÷è øè øè øТак как1 -1 12 0 -1 = 6 ¹ 0 , то векторы Х1, Х2, Х3 линейно неза)1 11висимы.53П р и м е ч а н и е . На практике часто рассматривают операторы L,nnдействующие в евклидовом пространстве L : E ® E , которые в некотором ортонормированном базисе имеют симметричную матрицу, как былов примерах 30 и 31.

У таких линейных операторов собственные векторы,соответствующие различным собственным значениям, попарно ортогональны, что и подтверждают примеры, поэтому можно построить ортонормированный базис из собственных векторов. В ортонормированномбазисе ( f1 ,..., f n ) из собственных векторов матрица линейного операторастановится диагональной: A = diag(l1, l2, ..., ln).В примере 31 примем за базис векторыæ -1/ 2 öæ 1/ 6 öæ 1/ 3 ö÷ç÷÷ççf1 = ç 2 / 6 ÷ , f2 = ç 0 ÷ , f3 = ç-1/ 3 ÷ .ç 1/ 2 ÷ç 1/ 6 ÷ç 1/ 3 ÷øèøøèèМатрица в этом базисе будет выглядеть так:æ0 0çА = ç 0 -2ç0 0è0ö÷0÷ .6 ÷øП р и м е р 32.

Привести к диагональному виду матрицуæ 4 -10 öА=ç÷è -10 -11øлинейного оператора L : X2 ® X2.Р е ш е н и е . Найдем собственные векторы и собственные значения оператора L , для чего решим систему уравненийì(4 - l)х1 - 10 х2 = 0 ,íî-10 х1 + (-11 - l)х2 = 0 .Характеристическое уравнение имеет вид4-l-10= 0,-10 -11 - lили542+ 7 – 144 = 0 , где1= 9,1= –16 – решение уравнения.Для l1 = 9ì5 х1 - 10 х2 = 0 ,или –5х1 –10х2 = 0, т. е.

х1 = –2х2 .íî-10 х1 - 20 х2 = 0 ,æ -2 öПолучим X 1 = ç ÷ c1 .è 1øДля l2 = –16ì20 х1 - 10 х2 = 0 ,или 20х1 –10х2 = 0, т. е. х2 = 2х1 .íî-10 х1 - 5 х2 = 0 ,æ 1öПолучим X 2 = ç ÷ c2 .è2øПримем за базис единичные векторыæ -2 / 5 öf1 = ç÷è 1/ 5 øиæ 1/ 5 öf2 = ç÷.è2 / 5 øОчевидно, что векторы ортогональны. Матрица А примет видæ 9А=ç 0ç {è L( f1 )0 ö÷16 ÷ ,-{L( f2 ) øтогдаL( f1 ) = 9 f1 = 9 f1 + 0 × f2 , L( f2 ) = -16 f2 = 0 × f1 - 16 f2 .Глава 4. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕФОРМЫ4.1.

Линейные и билинейные формыОпределение. В линейном пространстве задана линейная форма(линейная функция), если каждому вектору x поставлено в соответ)ствие число f (x ) так, что при этом выполнены условия:1) f (x + y ) = f (x ) + f (y ) ; 2) f (l x ) = lf (x ) .(4.1)55В силу свойств линейной формы для х = x1 e1 + x2 e2 + . . .

++ x n e n имеемf ( х ) = x 1 f ( e1 ) + x 2 f ( e2 ) + . . . + x n f ( e n ) == a1 x1 + a2 x2 + . . . + a n x n =i =nå aixi,(4.2)i =1где a i = f (e i ), i = 1, 2, ..., n ; ai являются постоянными, зависящими отвыбора базиса (е ) .Определение. Функция j(х , y ) есть билинейная форма (били)нейная функция) от векторов х и y , если:1) при фиксированном векторе y j(х , y ) есть линейная функ)ция от х;2) при фиксированном векторе х j(х , y ) есть линейная функцияот y.В силу определения линейной функции условия 1), 2) означаютсоответственно:j(х1 + x2 , y ) = j(х1 , y ) + j(х2 , y ) ,(4.3)j(l х , y ) = lj(х , y ) ,(4.4)j(х , y1 + y2 ) = j(х , y1 ) + j(х , y2 ) ,(4.5)j(х , m y ) = mj(х , y ) ,(4.6)i =næ i =nöj( х , y ) = j çç å х i e i , å y j e j ÷÷ =è i =1øi =1(4.7)nnå j(e i , e j )x i y ji, j = 1=å a ij x i y j ,i, j = 1где a ij = j(e i , e j ) .Билинейную форму называют симметричной, если для любыхвекторов х и y справедливо равенство j(х , y ) = j(y , х ) .

Билиней)ная форма j(х , y ) симметричная тогда и только тогда, когда aij = ajiдля любых i и j. Скалярное произведение (х , y ) в евклидовом про)странстве является примером симметричной билинейной формы.564.2. Квадратичные формыОпределение. Пусть j(х , y ) симметричная билинейная форма.Функция j(х , х ) , которая получается из j(х , y ) , если положить y =х, называется квадратичной формой.

То естьæ i =nj(х , x ) = j(x1 , x2 , . . . , x n ) = j çç å х i e i ,è i =1n=å j(e i , e j )x i x j =i, j = 1j =nöj =1øå x j e j ÷÷=nå a ij x i x j .(4.8)i, j = 1Функция j(х , y ) называется билинейной формой, полярной кквадратичной форме j(х , х ).Определение. Квадратичная форма j(х , х ) называется положи)тельно)определенной, если для любого вектора х, не равного нулю,j(х , х ) > 0.Квадратичная форма в двухмерном евклидовом пространствеj(х1 , х2 ) = a11 x12 + a12 x1 x2 + a21 x2 x1 + a22 x1 x22(4.9)может быть записанa в виде произведения трех матрицæaj(х1 , х2 ) = (x1 x2 ) ç 11è a21a12 ö æ x1 ö÷ç ÷,a22 ø è x2 øгдеæaA = ç 11è a21a12 ö÷a22 ø– матрица коэффициентов квадратичной формы и а12 = а21.