Феоктистов В.В., Сидняев Н.И. Линейные и евклидовы пространства (2008), страница 6

е. e 4¢ = (1, –1, 1, –1, 0) .Найдем e 5¢ ^ e1¢, e2¢ , e 3¢ , e 4¢ . Решим системуìx 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 0 ,ïx + x - 2 x = 0,ï 154íï23 x1 + 3 x2 - 27 x 3 - 7 x 4 + 8 x 5 = 0 ,ïîx1 - x2 + x 3 - x 4 = 0.Проведем преобразования матрицы:æ1 1çç1 0ç 23 3çè 1 -1æ1ç0~ çç0çè01 11 10 60 -211 1 ö æ1÷ ç01 -2 ÷ ç 0~-27 -7 8 ÷ ç 0÷ ç1-1 0 ø è 01 1 ö æ1÷ ç0 3 ÷ ç0~6 -9 ÷ ç 0÷ ç2 -5 ø è 01 11 10 20 -21 1 11 1 04 10 62 0 21 1ö æ 1÷ ç0 3 ÷ ç0~2 -3 ÷ ç 0÷ ç2 -5 ø è 011001ö÷3÷~3÷÷1ø11201 1ö÷0 3÷, r = 4.2 -3 ÷÷4 -8 øПолучим системуìx 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 0 ,ïx + x + 3 x = 0,ï 235íxxx5 = 0 ,223+4ï 3ïîx 4 - 2 x 5 = 0,из которой следуетx 5 = 1, x 4 = 2 , x 3 = - 1 , x2 = - 5 , x1 = 0 ,22Tт. е. е 5¢ = (0, –5, –1, 4, 2) .38П р и м е р 22.

Проверить ортогональность систем векторов е1¢ =Т4= (1, –2, 1, 3)T, е2¢ = (2, 1, –3, 1) в евклидовом пространстве Е и до)полнить их до ортогональных базисов.Р е ш е н и е . Проверим ортогональность данных векторов, т. е.(e1¢, e2¢ ) = 0 , e 3¢ = (х1, х2, х3, х4)T, из условия e 3¢ ^ e1¢, e2¢ . Получимìx 1 - 2 x 2 + x 3 + 3 x 4 = 0 ,ìx - 2 x 2 + x 3 + 3 x 4 = 0 ,Þí 1Þíî2 x1 + x2 - 3 x 3 + x 4 = 0,î5 x1 - 5 x2 + 10 x 4 = 0,ìx - 2 x 2 + x 3 + 3 x 4 = 0 ,ì- x + x 3 + x 4 = 0 ,Þí 2Þí 1Þîx1 - x2 + 2 x 4 = 0,îx1 - x2 + 2 x 4 = 0,ìx - x 3 + x 4 = 0 ,Þ x 3 = 1, x1 = 1, x 4 = 0, x2 = 1;Þí 1î-x2 + x 3 + x 4 = 0,TTe 3¢ = (1, 1, 1, 0) ; e 4¢ = (x1 , x2 , x 3 , x 4 ) .

Аналогично найдемìx 1 - 2 x 2 + x 3 + 3 x 4 = 0 ,ìx 1 + x 2 + x 3 = 0 ,ïïÞí2 x1 + x2 - 3 x 3 + x 4 = 0, Þ í-3 x2 + 3 x 4 = 0,ï- x - 5 x + x = 0 ,ïx + x + x = 0 ,3234î 2î 1ìx 1 + x 2 + x 3 = 0 ,ïÞ x 4 = 1, x2 = 1, x 3 = 0, x1 = -1 ;Þ íx 2 = x 4 ,ïx = 0 ,î 3Te 4¢ = (–1, 1, 0, 1) .П р и м е р 23. Применить процесс ортогонализации и нор)Tмировки к следующим системам векторов: f1 = (1, 2, 2, –1) , f2 =TT= (1, 1, –5, 3) , f3 = (3, 2, 8, –7) .TР е ш е н и е .

Запишем е1 = f1 = (1, 2, 2, –1) ; е2 = f2 - a 1 е1 =TT= (1, 1, –5, 3) + (1, 2, 2, –1) ;a1 =(e1 , f2 ) 1 + 2 - 10 - 3 -10T=== -1 , e2 = (2, 3, –3, 2) ;( e1 , e1 )1+ 4 + 4 +110e 3 = f 3 - a 1 e1 - a 2 e2 ;39a1 =a2 =(e1 , f3 ) 3 + 4 + 16 + 7 30=== 3;( e1 , e1 )1010(e2 , f3 ) 6 + 6 - 24 - 14 -26=== -1 ;( e2 , e2 )4+9+9+426TTTTe 3 = (3, 2, 8, –7) – (3, 6, 6, –3) + (2, 3, –3, 2) = (2, –1, –1, –2) .Провeдя нормировку, получимTe10 = (1/ 10 , 2 / 10 , 2 / 10 , -1/ 10 ) ,Te20 = (2 / 26 , 3 / 26 , - 3 / 26 , 2 / 26 ) ,Te 30 = (2 / 10 , -1/ 10 , -1/ 10 , -2 / 10 ) .3.2. Линейные операторыЛинейным оператором в линейном пространстве L называетсявсякое отображение А : L → L пространства L в себя, обладающеесвойствами А(λ x) λ А x и А (x + y ) = Ax + Ay .Пусть А – линейный оператор в конечномерном пространстве Lи В (e1 , e2 , .

. . , e n ) – некоторый фиксированный базис. Разложимвекторы А e k , k = 1, 2, 3, …, n, по базису В: Ae k = a1k e1 + a2 k e2 ++ . . . + a nk e n , k1, …, n. Тогда матрицаæ a11çaA = ç 21ç ...çè an1a12a22...an2. . . a1n ö÷. . . a2 n ÷... ... ÷÷. . . a nn øназывается матрицей оператора А в базисе В. Заданием матрицы опе)ратор определяется однозначно, а именно: если y = Ax , то Y AX, гдеХ, Y – столбцы координат векторов x , y и А – матрица оператора А вбазисе В.Пусть А и A – матрицы оператора А в базисах В и B , а T = TB→B′– матрица перехода от базиса В к базису B .

Тогда формула преобра)зования матрицы оператора при преобразовании базиса имеет вид–1A = T AT.403Уп р а ж н е н и е . В пространстве R заданы векторы e1 = i + j,e2 = i - j, e 3 = -i + 2 j - k , x = i - 2 j + 2 k . Доказать, что векторыe1 , e2 , e 3 образуют базис. Проверить, будет ли базис ортогональным,нормированным. Найти координаты x в этом базисе.П р и м е р 24. Установить, является ли отображение Ax = [ a , x ](где [ a , x ] – векторное произведение; a – фиксированный вектор)3пространства R в себя линейным оператором.

Записать его матрицув прямоугольном базисе B = (i , j, k ) .Р е ш е н и е . Проверим, является ли отображение Ax = [ a , x ] ли)нейным:A(x + y ) = [ a , x + y ] = [ a , x ] + [ a , y ] = Ax + Ay ,A(l x ) = [ a , l x ] = l[ a , x ] = lAx .Запишем векторное произведение в координатной формеi[ a , x ] = a1x1ja2x2ka3 =x3= (a2 x 3 - a 3 x2 ) i - (a1 x 3 - a 3 x1 ) j + (a1 x2 - a2 x1 )k .Еслиæ a11çA = ç a21çaè 31a12a22a 32a13 ö÷a23 ÷ ,a 33 ÷øтоAx = (a11 x1 + a12 x2 + a13 x2 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x 3 ,a 31 x1 + a 32 x2 + a 33 x 3 ) T .Так как векторы равны, тоа11 х1 + а12 х2 + а13 х3 = а2 х3 – а3 х2 ,а21 х1 + а22 х2 + а23 х3 = а3 х1 – а1х3 ,а31 х1 + а32 х2 + а33 х3 = а1х2 – а2 х1 .41Тогда а11 = 0, а12 = – а3, а13 = а2, а21 = а3, а22 = 0, а23 = –а1, а31 == –а2, а32 = а1, а33 = 0, т.

е.æ 0çA = ç a3ç -aè 2-a 30a1a2 ö÷-a1 ÷ .0 ÷øП р и м е р 25. Установить, является ли отображение Ax == (y + z )i + (2 x + z ) j + (3 x - y + z )k , где x = xi + y j + zk , прост)3ранства R в себя линейным оператором; выписать его матрицу впрямоугольном базисе B = (i , j, k ) .Р е ш е н и е . Проверим, является ли отображение линейным:A(l x ) = (l y + lz )i + (2 l x + l z ) j + (3 l x - l y + l z )k = l Ax ,y = (x 1 , y 1 , z 1 ) T ,A(x + y ) = (x + x1 + z + z 1 )i + (2(x + x1 ) + z + z 1 ) j ++ (3(x + x1 ) - y - y1 + z + z 1 )k = Ax + Ay .Еслиæ a11çA = ç a21çaè 31a12a22a 32a13 ö÷a23 ÷ ,a 33 ÷øтоа11 х + а12 у + а13 z = y + z ,а21 х + а22 у + а23 z = 2x + z ,а31х + а32 у + а33 z = 3x – y + z.Тогдаа11 = 0,а12 = 1,а13 = 1,а21 = 2,а22 = 0,а23 = 1,а31 = 3,а32 = –1,а33 = 1,илиæ 0 1 1ö÷çА = ç 2 0 1÷ .ç 3 -1 1÷øè42Отображение является линейным оператором.П р и м е р 26.

Установить, является ли отображение Ax = (3 x1 ++x2 , x1 - 2 x2 - х 3 , 3 x2 + 2 x 3 ) T пространства арифметических век)3торов R в себя линейным оператором; выписать его матрицу в кано)ническом базисе.Р е ш е н и е . Проверим, является ли отображение линейным:x = (x 1 , x 2 , x 3 ) T ,y = (y1 , y2 , y 3 ) T ;A(l x ) = (3 l x1 + l x2 , l x1 - 2 l x2 - l x 3 , 3 l x2 + 2 l x 3 )T = l Ax ;A(x + y ) = (3(x1 + y1 ) + x2 + y2 , x1 + y1 - 2(x2 + y2 ) - x 3 - y 3 ,3(x2 + y2 ) + (2 x 3 + y 3 )) T = Ax + Ay .Еслиæ a11çA = ç a21çaè 31a12a22a 32a13 ö÷a23 ÷ ,a 33 ÷øтоа11х1 + а12 х2 + а13 х3 = 3х1 + х2 ,а21х1 + а22 х2 + а23 х3 = х1 – 2х2 – х3 ,а31х1 + а32 х2 + а33 х3 = 3х2 + 2х3 .Тогдаа11 = 3,а12 = 1,а13 = 0,а21 = 1,а22 = –2, а23 = –1,а31 = 0,а32 = 3,а33 = 2,илиæ3 1 0 ö÷çА = ç 1 -2 -1÷ .ç0 3 2 ÷øèП р и м е р 27.

В пространстве R 3 заданы два линейных оператора:Ax = (7 x1 + 4x 3 , 4x2 - 9x 3 , 3 x1 + x2 ) TиBx = (x2 - 6 x 3 , 3 x1 + 7 x 3 , х1 + x2 - x 3 ) Т .43Найти матрицу С линейного оператора С = АВ – ВА и его явный3вид в каноническом базисе R .Р е ш е н и е . Найдем координаты образов базиса:Ae1 = (7, 0, 3) Т , Ae2 = (0, 4, 1) Т , Ae 3 = (4, -9, 0) Т ,Be1 = (0, 3, 1) Т , Be2 = (1, 0, 1) Т , Be 3 = (-6, 7, -1) Т .В результате получимæ7 0 4 ö÷çA = ç 0 4 -9 ÷ ,ç3 1 0 ÷øèæ 0 1 -6 ö÷çB = ç3 0 7 ÷ ,ç 1 1 -1÷øèæ 7 0 4 ö æ 0 1 -6 ö æ 4 11 -46 ö÷÷ ç÷ççAB = ç 0 4 -9 ÷ ç 3 0 7 ÷ = ç 3 -9 37 ÷ ,ç 3 1 0 ÷ ç 1 1 -1÷ ç 3 3 -11÷øø èøèèæ 0 1 -6 ö÷çBA = ç 3 0 7 ÷ç 1 1 -1÷øèæ 7 0 4 ö æ-18 -2ç÷ ç7ç 0 4 -9 ÷ = ç 42ç3 1 0 ÷ ç 43ø èè-9 ö÷12 ÷ ,-5 ÷øæ 22 13 -37 ö÷çC = AB - BA = ç -39 -16 25 ÷ .ç -10-6 ÷øèЗная матрицы оператора С, найдемCe1 = (22, -39, -1) Т , Ce2 = (13, -16, 0) Т , Ce 3 = (-37, 25, -6) Т ,Cx = C (xe1 + x2 e2 + x 3 e 3 ) Т = x1Ce1 + x2Ce2 + x 3Ce 3 == (22 x1 + 13 x2 - 37 x 3 , -39x1 - 16 x2 + 25 x 3 , - x1 - 6 x 3 ) Т .3П р и м е р 28.

В пространстве R заданы два базиса:B ¢ : e1¢ = 8e1 - 6e2 + 7e 3 , e2¢ = -16e1 + 7e2 - 13e 3 , e 3¢ = 9e1 - 3e2 + 7e 3 ,B ¢¢ : e1¢¢ = e1 - 2e2 + e 3 , e2¢¢ = 3e1 - e2 + 2e 3 , e 3¢¢ = 2e1 + e2 + 2e 3 .Найти матрицу оператора А в базисе B , если его матрица в бази)се B имеет видæ 1 -18 15 ö÷çA = ç -1 -22 20 ÷ .ç 1 -25 22 ÷øè44Р е ш е н и е . ЗапишемA ¢¢ = T -1 AT , (e1¢¢, e2¢¢, e 3¢¢) = (e1¢, e2¢ , e 3¢ )T .Tогдаæ 1 3 2ö æ 8÷ ççç-2 -1 1÷ = ç-6ç 1 2 2÷ ç 7ø èè-169ö÷7 -3 ÷ T.-13 7 ÷øНайдем T, для этого вычислим обратную матрицу:æ 8 -16 9 1 0 0 ö÷ç7 -3 0 1 0 ÷ ~ç-6ç 7 -137 0 0 1÷øèæ 1 -2 9/8 1/8ç~ ç 0 1 -7 /8 -7 /8ç 0 -5 5 / 4 3 / 4èæ 1 -2 9/8 1/8çç 0 -5 15 / 4 3 / 4ç 0 1 -7 /8 -7 /8è0 0 ö æ 1 -2÷ ç0 1÷ ~ ç 0 11 0 ÷ø çè 0 00 0ö÷1 0÷ ~0 1÷ø9/8 1/80 0ö÷-7 /8 -7 /8 0 1÷ ~-5 /8 -29/8 1 5 ÷ø0 -32 /5 9/59ö æ1 0 0 2-1-3 ö÷ ç÷0 21/5 -7 /5 -6 ÷ ~ ç 0 1 0 21/5 -7 /5 -6 ÷ ,1 29/5 -8 /5 -8 ÷ø çè 0 0 1 29/5 -8 /5 -8 ÷øæ 1 -2ç~ ç0 1ç0 0è-1-3 ö æ 1 3æ 2÷ççT = ç 21/5 -7 /5 -6 ÷ ç-2 -1ç 29/5 -8 /5 -8 ÷ ç 1 2øèè2 ö æ 1 1 -3 ö÷÷ ç1÷ = ç 1 2 -5 ÷ .2 ÷ø çè 1 3 -6 ÷øНайдем T –1:æ 1 1 -3 1 0 0 ö æ 1 1 -3 1 0 0 ö æ 1 1 -3 1 0÷ çç÷ çç 1 2 -5 0 1 0 ÷ ~ ç 0 1 -2 -1 1 0 ÷ ~ ç 0 1 -2 -1 1ç 1 3 -6 0 0 1÷ ç 0 2 -3 -1 0 1÷ ç 0 01 1 -2ø èèø è0ö÷0÷ ~1÷øæ 1 1 0 4 -6 3 ö æ 1 0 0 3 -3 1ö÷ ç÷ç~ ç 0 1 0 1 -3 2 ÷ ~ ç 0 1 0 1 -3 2 ÷ .ç 0 0 1 1 -2 1÷ ç 0 0 1 1 -2 1÷ø èøè45Тогдаæ 3 -3 1ö æ 1÷ççA ¢¢ = ç 1 -3 2 ÷ ç-1ç 1 -2 1÷ ç 1øèèæ 7 -13 7 ö÷ç= ç 6 -2 -1÷ç41 -3 ÷øè-18 15 ö æ 1 1 -3 ö÷÷ç-22 20 ÷ ç 1 2 -5 ÷ =-25 22 ÷ø çè 1 3 -6 ÷ø2öæ 1 1 -3 ö æ 1 2÷÷ ççç 1 2 -5 ÷ = ç 3 -1 -2 ÷ .ç 1 3 -6 ÷ ç 2 -3 1 ÷øø èè3.3.

Собственные векторы и собственные значениялинейного оператораnПусть линейный оператор L отображает пространство X в себя,nnт. е. L : X ® X . Ненулевой вектор x Î X n называют собственнымвектором линейного оператора L, если Lx = lx , т. е. если оператор Lпереводит вектор x в коллинеарный ему вектор. Число λ называютсобственным значением оператора L, соответствующим собствен)ному вектору x. Если А – матрица L, то собственные векторы нахо)дят из уравнения Ax = l x , которое в координатной форме выгля)дит так:ì(a11 - l)x1 + a12 x2 + .

. . + a1n x n = 0,ïa x + (a - l)x + . . . + a x = 0,ï 21 12222n ní................................................ïïîa n 1 x1 + a n 2 x2 + . . . + (a nn - l)x n = 0 .(3.1)Линейный оператор L имеет собственный вектор x (ненулевой)тогда и только тогда, когда однородная система (3.1) имеет ненуле)вые решения, т. е. ранг матрицы системы (3.1) r < n,...a11 - la12a2a22 - l . . ..........an146an2a1na2 n= 0..... . . a nn - l(3.2)Нетривиальное решение (3.2) существует лишь при условииdet(A - lE ) = 0 .(3.3)Здесь Е – единичная матрица. Уравнение (3.3) называют характеристическим уравнением матрицы А, собственные значения li матрицы A являются корнями характеристического уравнения (3.3).Нахождениe собственных векторов и собственных значений матрицы выполняют в такой последовательности.Выписывают системы линейных уравнений (3.1) относительнокоординат собственного вектора Х.Находят собственные значения матрицы А как корни характеристического уравнения (3.3).Для каждого найденного собственного значения li, подставляяего в (3.1), определяют соответствующий столбец координат собственного вектора Xi, являющегося решением (3.1).П р и м е р 29.