Феоктистов В.В., Сидняев Н.И. Линейные и евклидовы пространства (2008), страница 4

., e n0 ) T1, (e1¢, e2¢ , ..., e n¢ ) = (e10 , e20 , ..., e n0 ) T2 получим (e10 , e20 ...,..., e n0 ) = (e1 , e2 , ..., e n ) T1-1 .Окончательно запишем (e1¢, e2¢ , ..., e n¢ ) = (e1 , e2 , ..., e n ) T1-1 Т2, то1гда T = T1-1T2 , где T1, T2 – матрицы перехода от базиса (e 0 ) к базисам(e ) и (e ¢ ) соответственно, T1 = Te 0 ® e , T2 = Te 0 ® e ¢ .Если воспользоваться формулой T = T1-1T2 , получимæ 1 1öT = T1-1T2 = ç÷è1 0ø-1æ 2 1ö æ 0 1 ö×ç÷÷ =çè 1 2 ø è 1 -1øæ 2 1ö æ 1 2 ö×ç÷.÷ =çè 1 2 ø è 1 -1øП р и м е р 7.

В пространстве многочленов P2 [ x] не выше второйстепени с действительными коэффициентами заданы два базиса:( e ) = ( e1 = 1, e2 = x, e 3 = x 2 ) ,( e ¢ ) = ( e1¢ = 1, e2¢ = x - 1, e 3¢ = (x - 1)2 ).Найти матрицу Т перехода от базиса (e ) к базису (e ¢ ).Р е ш е н и е . Заметим, что e1¢ = 1 = e1 , e2¢ = x - 1 = -e1 + e2 ,e 3¢ = (x - 1)2 = 1 - 2 x + x 2 = e1 - 2 e2 + e 3 , т. е .

e1¢ = (1, 0, 0) Te , e2¢ == (-1, 1, 0) eT , e 3 = + (1, -2, 1) eT . Поэтомуæ 1 -1 1 ö÷çT = ç 0 1 -2 ÷ .ç0 01 ÷øènПредположим, что в пространстве R заданы два базиса (e) и (e ¢ ) сматрицей перехода Т от первого базиса ко второму, и пусть вектор xnиз R имеет в базисах (e) и (e ¢ ) соответственно столбцы координат21(x) = (x1 , ..., x n ) Te и (x) e ¢ = (x1¢ , ..., x n¢ ) eT . Между этими столбцами ко)ординат вектора x справедливы соотношения(x1 , x2 , ..., x n ) Te = T (x1¢ , x2¢ , ..., x n¢ ) Te ¢ ,(2.7)(x1¢ , x2¢ , ..., x n¢ ) Te ¢ = T -1 (x1 , x2 , ..., x n ) Te ,(2.8)или в развернутом видеìx1 = t11 x1¢ + ...

+ t1n x n¢ ,ïx = t x ¢ + ... + t x ¢ ,ï 221 12n ní..............................ïïîx n = t n 1 x1¢ + ... + t nn x ¢,(2.9)ìx1¢ = c11 x1 + ... + c1n x n ,ïx ¢ = c x ¢ + ... + c x ,ï 221 12n ní.............................ïïîx n¢ = c n 1 x1 + ... + c nn x,(2.10)–1где tij – элементы матрицы T; сij – элементы матрицы T .Cоотношения (2.7)–(2.10) называют формулами преобразова)ния координат вектора при изменении базиса пространства. Частовекторы базисов (e) и (e ¢ ) сами бывают заданы координатами в не)котором базисе (e 0 ). Тогда матрицу перехода от базиса (e) к базису(e ¢) находят по формуле T = T1-1T2 , где T1 – матрица перехода от ба)зиса (e 0 ) к базису (e), т. е.

матрица, составленная из столбцов коор)динат векторов базиса (е) в базисе (e 0 ); Т2 – матрица перехода от ба)зиса (e 0 ) к базису (e ¢), т. е. матрица, составленная из столбцовкоординат векторов базиса (e ¢) в базисе (e 0 ) . Причем формулы (2.7)и (2.9) дают выражение старых координат вектора через его новыекоординаты, формулы (2.8) и (2.10), наоборот, выражают новые ко)ординаты вектора через его старые координаты. Поясним примене)ние этих формул на примере.3П р и м е р 8. В пространстве R заданы вектор x и векторы(e1¢ , e2¢ , e 3¢ ) базиса (e ¢) столбцами координат (x) e = (1, 4, -1) Te ,(e1¢ ) e = (5, -1, 2) eT , (e2¢ ) e = (2, 3, 0) Te , (e 3¢ ) e = (-2, 1, 1) Te в базисе (e ), aвектор y – столбцом координат (y) e ¢ = (1, 2, 3) Te ¢ в базисе (e ¢) . Най)22ти координаты вектора x в базисе (e ¢) и координаты вектора y вбазисе (e).Р е ш е н и е . Ввиду того что векторы базиса (e ¢) заданы столбца)ми координат в базисе (e), матрицу Т перехода от базиса (e) к базису(e ¢) составим из этих столбцов координат векторов базиса (e ¢), т.

е .æ 5 2 -2 öç÷T = ç -1 3 1 ÷ .ç 2 0 1÷èøТогда по формулам (2.7) и (2.9) получимæ y1 öæ y1¢ öæ3öæ 5 2 -2 ö æ 1 öç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç(y) e = ç y2 ÷ = T ç y2¢ ÷ = ç -1 3 1 ÷ ç 2 ÷ = ç 8 ÷ ,ç ÷÷ç ÷ççy ÷çy¢ ÷è 3øè 3 ø e¢ è 2 0 1 ø è 3 ø e¢ è 1 ø e(x) e ¢æ x1¢ öæ x1 öæ 3ç ÷÷ç1-1 ç= ç x2¢ ÷ = T ç x2 ÷ =333 çççx¢ ÷çx ÷è -6è 3 ø e¢è 3øe-2 8 ö æ 1öæ -13 ö÷÷ç ÷ç19 -3 ÷ ç 4 ÷ =42 ÷ .ç33 ç÷4 17 ÷ø çè -1÷ø eè - 7 ø e¢П р и м е р 9. Найти матрицу перехода от базиса (e) к базису (e ¢)из примера 6.Р е ш е н и е .

Перейдем от базиса (e 0 ) к базису (e). При этом мат)æ 1 1öрицей перехода будет T = ç÷ . Теперь по формуле (2.8) найдемè1 0øкоординаты векторов e1¢ и e2¢ базиса (e ¢ ) в базисе (e):¢ öæ x11æ 1 1ö-1 æ 2 ö÷ = T1 ç ÷ = çç÷è1 0øè 1 ø e0¢ øeè x21¢ öæ x12æ 1 1ö-1 æ 1 ö÷ = T1 ç ÷ = çç÷è1 0øè 2 ø e0¢ øeè x22-1-1æ2öæ 1öæ0 1 ö æ2öç ÷ =ç÷ç ÷ =ç ÷ ,è 1 ø e0è 1ø eè 1 -1ø è 1 ø e 0æ1öæ2 öæ0 1 ö æ1öç ÷ =ç÷ç ÷ =ç ÷ .è 2 ø e0è -1ø eè 1 -1ø è 2 ø e 0æ1 2 öИз этих столбцов координат и составится матрица T = ç÷è 1 -1øперехода от базиса (e) к базису (e ¢).233П р и м е р 10. В пространстве R заданы векторы e1¢ = i + j,e2¢ = i - j, e 3¢ = - i + 2 j - k .

Доказать, что система B ¢ = (e1¢, e2¢ , e 3¢ ) –3базис в R , и написать матрицу перехода TB ® B¢ , где B == (e1 = i , e2 = j, e 3 = k ) . Найти координаты вектора x = i - 2 j + 2k вбазисе B ¢.Р е ш е н и е . Система векторов B ¢ записана в базисе B и матрицаперехода совпадает с матрицей векторов B ¢, следовательно,T = TB ® B ¢æ 1 1 -1öç÷= ç 1 -1 2 ÷ .ç 0 0 -1÷èøРанг матрицы равен 3, так какæ 1 1 -1ö æ 1 1 -1ö÷÷ ççç 1 -1 2 ÷ ~ ç 0 -2 3 ÷ ,ç 0 0 -1÷ ç 0 0 -1÷øø èèследовательно, B ¢ = (e1¢, e2¢ , e 3¢ ) – базис. Найдем T –1:æ 1 1 -1 1 0 0 ö æ 1 1 -1 1 0 0 ö÷÷ ççç 1 -1 2 0 1 0 ÷ ~ ç 0 -2 3 -1 1 0 ÷ ~ç 0 0 -1 0 0 1÷ ç 0 01 0 0 -1÷øø èèæ 1 1 -11ç~ ç 0 1 -3 / 2 1/ 2ç0 010è240-1/ 200ö÷0÷ ~-1 ÷øæ1 1 0 1ç~ ç 0 1 0 1/ 2ç0 0 1 0è0-1/ 20-1 ö÷-3 / 2 ÷ ~-1 ÷øæ 1 0 0 1/ 2ç~ ç 0 1 0 1/ 2ç0 0 1 0è1/ 2-1/ 201/ 2 ö÷-3 / 2÷ Þ-1 ÷øÞT-1æ 1/ 2çX ¢ = ç 1/ 2ç 0èæ 1/ 2ç= ç 1/ 2ç 0è1/ 2-1/ 201/ 2-1/ 21/ 2-3 / 2-101/ 2-3 / 2-1ö÷÷÷øö÷÷,÷øæ 1 ö æ 1/ 2ç ÷ çç -2 ÷ = ç -3 / 2ç 2÷ ç - 2è ø èö÷÷.÷øДругой вариант решения:æe ¢ ö æ 1 1ç ÷ çç e2¢ ÷ = ç 1 -1ç e ÷ ç-1 2è 3¢ ø è0ö÷0÷-1÷øæ e1 öç ÷ç e2 ÷ ,ç ÷è e3 øæ 1 1 0öç÷T T = S = ç 1 -1 0 ÷ ,ç -1 2 -1 ÷èøæ e1 öç ÷x = (1, -2, 2) ç e2 ÷ .çe ÷è 3øТак какæ1 1çç 1 -1ç-1 2èæ1 1 0 1ç~ ç 0 1 0 1/ 2ç 0 0 1 1/ 2è0 1 0 0ö æ 1 1 0 1 0 0 ö÷÷ ç0 0 1 0 ÷ ~ ç 0 2 0 1 -1 0 ÷ ~-1 0 0 1÷ø çè 0 3 -1 1 0 -1 ÷ø0-1/ 2-3 / 2тоS-10 ö æ 1 0 0 1/ 2÷ ç0 ÷ ~ ç 0 1 0 1/ 2-1÷ø çè 0 0 1 1/ 2æ 1/ 2ç= ç 1/ 2ç 1/ 2è1/2 0 öæ 1/2÷çx = (1, -2, 2)ç 1/2 -1/2 0 ÷ç 1/2 -3 /2 -1÷øè1/ 2-1/ 2-3 / 21/ 2-1/ 2-3 / 20ö÷0÷,-1÷ø0ö÷0÷;-1÷øæ e1¢ öæ e1¢ öç ÷ç ÷ç e2¢ ÷ = (1/2 - 3 /2 - 2) ç e2¢ ÷ =çe ¢ ÷çe ¢ ÷è 3øè 3ø13= e1¢ - e2¢ - 2 e 3¢ ;22æ 1/2 ö÷çX ¢ = ç -3 /2 ÷ .ç -2 ÷øè25П р и м е р 11.

Найти ранг и какой)нибудь базис системы геомет)рических векторов x1 = - i + 2 j, x2 = 2i - j + k , x 3 = - 4i + 5 j - k ,x 4 = 3i - 3 j + k .Р е ш е н и е . Запишемæ-1 2çA = ç 2 -1ç0 1è-4 3 ö æ -1 2 -4 3 ö æ -1 2 - 4 3 ö÷÷ ç÷ ç5 -3 ÷ ~ ç 0 3 -3 3 ÷ ~ ç 0 3 -3 3 ÷ Þ-1 1 ÷ø çè 0 1 -1 1÷ø çè 0 0 0 0 ÷øÞ rang A = 2, тогда (x1, x2 ) – базис.П р и м е р 12. Доказать, что система арифметических векторовTTTx1 = (1, 2, 0, 4) , x2 = (-1, 0, 5, 1) , x 3 = (1, 6, 10, 14) линейно зависи)мая, и написать какое)нибудь нетривиальное соотношение видаl1 x1 + l2 x2 + l 3 x 3 = Q. Найти ранг и все базисы этой системы.Р е ш е н и е . Покажем линейную зависимость векторов: l1 x1 ++l2 x2 + l 3 x 3 = Q , тогда соответствующая алгебраическая системаимеет видìl1 - l2 + l 3 = 0,æ 1 -1 1 ö÷çï2 l + 6 l = 0,2 0 6÷ï 13ç~Þíç 0 5 10 ÷ï5 l2 + 10 l 3 = 0,÷çè 4 1 14øîï4l1 + l2 + 14l 3 = 0æ 1 -1 1 ö æ 1 -1 1ö÷÷ çç0 2 4 ÷ ç 0 2 4÷.~ç~ç 0 5 10 ÷ ç 0 0 0 ÷÷÷ ççè 0 5 10 ø è 0 0 0 øРанг системы равен 2, следовательно, векторы линейно зависимы:=1 –3 3 , 2 = –2 3, 3 = l – const.

Если 3 = 1, то 1 = –3, 2 = –2.Любые два вектора можно брать за базис.22П р и м е р 13. Доказать, что система многочленов t + 1, –t +2+ 2t, t – t образует базис в пространстве P2(t). Выписать в этом бази)2се столбец координат многочлена –2t + t – 1.Р е ш е н и е . Система многочленов e1¢ = t 2 + 1, e2¢ = -t 2 + 2 t,e 3¢ = t 2 - t записана в базисе e1 = t 2 , e2 = t, e 3 = 1, тогда26æ 1 -1 1ö æ 1 -1 1ö æ 1 -1 1ö æ 1 -1 1ö÷÷ ç÷ ç÷ ççT = ç 0 2 -1÷ ~ ç 0 2 -1÷ ~ ç 0 1 -1÷ ~ ç 0 1 -1÷ .ç 1 0 0 ÷ ç 0 1 -1÷ ç 0 2 -1÷ ç 0 0 1÷øø èø èø èèCледовательно, (e ¢) – базис.–1Найдем T :æ 1 -1 1 1 0 0 ö æ 1 -1÷ ççç 0 2 -1 0 1 0 ÷ ~ ç 0 2ç 1 0 0 0 0 1÷ ç 0 1ø èè1 1 0 0ö÷-1 0 1 0 ÷ ~-1 0 0 1÷ø1 1 0 0 ö æ 1 -1 1 1 0 0 ö÷ ç÷-1 -1 0 1÷ ~ ç 0 1 -1 -1 0 1 ÷ ~-1 0 1 0 ÷ø çè 0 0 1 2 1 -2 ÷øæ 1 -1ç~ ç0 1ç0 2èæ 1 0 0 0 0 1ö÷ç~ ç 0 1 0 1 1 -1÷ .ç 0 0 1 2 1 -2 ÷øèСледовательно,T-1æ0 0 1 ö÷ç= ç 1 1 -1÷ .ç 2 1 -2 ÷øèПо формуле (2.8) вычислимæ0 0 1 ö÷ç(x) e¢ = ç 1 1 -1÷ç 2 1 -2 ÷øèæ -2 ö æ -1öç ÷ ç ÷ç 1÷ = ç 0÷ .ç -1÷ ç -1÷è ø è øДругой вариант решения:–2t2 + t – 1 = (t 2 +1) + (–t 2 +2t ) +2(t – t),ìa - b + g = -2,ïí2b - g = 1,ïa = -1;î27æ 1 0 1ö æ 1 0 1ö æ 1 0 1 ö÷÷ ç÷ ççç-1 2 0 ÷ ~ ç 0 2 1÷ ~ ç 0 1 1 ÷ç 1 -1 0 ÷ ç 0 1 1÷ ç 0 0 -1 ÷øø èø èè– ранг матрицы системы равен 3.222Тогда = –1, = 0, = –1 и –2t + t – 1 = – (t +1) – (t – t).П р и м е р 14.