Феоктистов В.В., Сидняев Н.И. Линейные и евклидовы пространства (2008)

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаВ.В. Феоктистов, Н.И. СидняевЛИНЕЙНЫЕ И ЕВКЛИДОВЫПРОСТРАНСТВАИздательство МГТУ им. Н.Э. БауманаМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаВ.В. Феоктистов, Н.И. СидняевЛИНЕЙНЫЕ И ЕВКЛИДОВЫПРОСТРАНСТВАИздательство МГТУ им.

Н.Э. БауманаМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаВ.В. Феоктистов, Н.И. СидняевЛИНЕЙНЫЕ И ЕВКЛИДОВЫПРОСТРАНСТВАМетодические указанияк выполнению домашнего заданияМоскваИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана2008УДК 517.3+512.8ББК 22.143+22.161.1Ф42Рецензент В.И. ВанькоФеоктистов В.В., Сидняев Н.И. Линейные и евклидовы проФ42 странства: Метод.

указания к выполнению домашнего задания. –М.: Издво МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. – 71 с.Изложена классическая теория и рассмотрены методы линейнойалгебры с использованием векторноматричной формы записи.Представлены матрицы, линейные преобразования, системы линейных уравнений, линейное пространство, линейные операторы, евклидово пространство и квадратичные формы. Приведены примеры.Для студентов, изучающих методы линейной алгебры.УДК 517.3+512.8ББК 22.143+22.161.1ã МГТУ им. Н.Э.

Баумана, 2008ВВЕДЕНИЕВ линейной алгебре изучаются объекты трех родов: линейныепреобразования, пространства и алгебраические формы. Теории этихобъектов тесно связаны друг с другом. Большинство задач линейнойалгебры допускает естественную формулировку в каждой из указан)ных трех теорий.

Матричная формулировка наиболее удобна для вы)числений. Отчетливое понимание внутренних связей между различ)ными задачами линейной алгебры достигается лишь при рассмотре)нии соответствующих линейных пространств, которые и являютсяглавным объектом изучения.Приводятся подробные решения типичных задач по изучаемой те)ме, демонстрирующие применение на практике результатов теории.Количество разобранных примеров варьируется в зависимости отобъема и важности темы. По каждой теме кратко излагаются конкрет)ные вопросы, способствующие усвоению теоретического материала.При изложении теории линейных пространств акцент делается на иххарактеристиках (размерность, выбор базиса).Каждая глава иллюстрирована примерами, поясняющими при)менение основных теоретических результатов. В конце глав предло)жены задачи и упражнения для самостоятельной работы.Глава 1.

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ1.1. Определение и свойства линейного преобразованияОпределение. Если некоторые величины y1, y2 , . . . , y m выра)жаются линейно и однородно через величины x1, x2 , . . . , x n , т. е.ì y1 = a11 x1 + a12 x2 + . . .

+ a1n x n ,ï y = a x + a x +... + a xï 221 122 22n n,í.....................................ïïîy m = a m 1 x1 + a m 2 x2 + . . . + a mn x n ,(1.1)или сокращенноnyi =å a ij x j ,(i = 1, 2, . . . , m) ,j =13где aij – произвольные числа, то такое преобразование величинx1 , x2 , . . . , x n в величины y1, y2 , . . . , y m называется линейным преоб)разованием.Из коэффициентов линейного преобразования (1.1) можно со)ставить матрицу А с размерами m ´ n с матрицей коэффициентов A == (aij), i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n. То есть матрицейæ a11çaA = ç 21ç ...çè a m1a12a22...a m2. .

. a1n ö÷. . . a2 n ÷,... ... ÷÷. . . a mn øкоторая однозначно определяет это линейное преобразование и на)зывается матрицей линейного преобразования [1–3]. Если ввестиеще матрицы)столбцыæ y1 öæ x1 ö÷çç ÷xyX = ç 2÷ и Y = ç 2÷,ç ... ÷ç ... ÷÷çç ÷è ym øèxn øто линейное преобразование можно записать в матричной форме:Y = АХ,(1.2)где АХ – произведение матрицы А на матрицу)столбец Х.В качестве примера можно привести формулы преобразованиякоординат точки М(х1, х2) плоскости OXY при повороте системы де)картовых координат на угол α. Как известно [4], координаты (y1, y2)точки М в новой системе координат выражаются через координаты(х1, х2) в первоначальной системе координат в видеy1 = x1 cos a + x2 sin a ,y2 = -x1 sin a + x2 cos a.Таким образом, преобразование координат точек плоскости приповороте осей на угол α является линейным преобразованием, мат)рица которогоæ cos a sin a öA=ç÷.è - sin a cos a ø4Это линейное преобразование в матричной форме имеет видæ y1 ö æ cos a sin a ö æ x1 öç ÷ =ç÷ç ÷.è y2 ø è - sin a cos a ø è x2 øЛинейные преобразования обладают двумя основными свойства)ми, которые следуют из соответствующих свойств матриц:А(Х1 + Х2)АХ1 + АХ2;А( Х)(АХ).1.2.

Операции над линейными преобразованиямиСложение преобразований. Рассмотрим два линейных преобра)зования величин х1, х2, ..., хn в величины y1, y2, ..., ym и z1, z2, ..., zm , т. е.nyi =å a ij x j ,j =1или в матричной форме Ynz i = å b ij x j ,i = 1, 2, . . . , m ,j =1AX, ZBX, гдеæ y1 öæ x1 öæ z1 ö÷ç÷ç ÷çxyzX = ç 2 ÷ , Y = ç 2 ÷ , Z = ç 2 ÷ , A = (a ij ), B = (b ij ),ç ... ÷ç ...

÷ç ... ÷÷ç÷ç ÷çè ym øèxn øè zm øi = 1, 2, . . . , m ;j = 1, 2, . . . , n .Тогда суммой линейных преобразований называется преобразованиевеличин х1, х2, ..., хn в величины u1, u2, ..., um , определяемое соотноше)ниямиnui = yi + z i =å (a ij+ b ij )x j , i = 1, 2, . . . , m .j =1Полученное преобразование также является линейным, а его матри)ца имеет видC = (сij) = (aij + bij) = (aij) + (bij) = A + B, i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n.5Умножение преобразования на число.

Наряду с линейнымnпреобразованием y i =å a ij x j ; i = 1, 2, . . . , m , или в матричной фор)j =1nме YAX, рассмотрим преобразование z i =å la ij x j ; i = 1, 2, . . . , m.j =1Это преобразование называется произведением первоначальногопреобразования на число λ. Оно является линейным, а его матрицаимеет видB = ( bij) = (l aij) = l A, i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n.Произведение преобразований. Рассмотрим линейное преобра)зование величин х1, х2, ..., хn в величины y1, y2, ..., yp и последующеелинейное преобразование y1, y2, ..., yp в величины z1, z2, ..., zm , т.

е.nå a kj x j ;yk =k = 1, 2, . . . , p,(1.3)i = 1, 2, . . . , m ,(1.4)j =1pzi =å b ik y k ;k =1или в матричной форме Y AX, Z BY.Посмотрим теперь, как выражаются величины z1, z2, ..., zm через ве)личины х1, х2, ..., хn. Для этого подставим yk из выражения (1.3) в вы)ражение (1.4). Используя матричную форму записи линейного преоб)разования, получим Z BY B(AX) (BA)X CX.Отсюда видно, что преобразование переменных xi в переменныеzi является линейным и имеет матрицу С BA. В развернутом видеэто преобразование можно записать так [1]:nzi =å c ij x j =j =1æ pöå çç å b ik a kj ÷÷ x j ; i = 1, 2, . . .

, m .øj =1 è k =1n(1.5)Преобразование (1.5) называется произведением преобразова)ния (1.4) на преобразование (1.3). Фактически именно эта особен)ность последовательного применения двух линейных преобразова)ний лежит в основе данного в разд. 1.1 определения произведенияматриц [3–5].6Обратное преобразование. Пусть Y AX, где A – квадратнаяневырожденная матрица (определитель матрицы не равен нулю).Тогда можно однозначно выразить переменные х1, х2, ..., хn через–1–1y1, y2, ..., yn . Из формулы (1.3) получаем X = A Y, A – обратнаяматрица.

Это преобразование является линейным, оно называетсяобратным преобразованием для преобразования (1.3). Матрица об!ратного преобразования является обратной для матрицы А. Отсюдаследует, что однозначное обратное преобразование существует толь!ко тогда, когда матрица А невырожденная.

В этом случае и само пре!образование называется невырожденным.Глава 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА2.1. Числовое поле. Аксиомы линейного пространстваОпределение. Числовым полем K называется множество чисел, , , …, если для любых и из множества K числа + , – , ,(в последнем случае ≠ 0) также принадлежат этому множеству.Например, множество чисел вида a + b 2, где а и b – любые рацио!нальные числа, образуeт поле. Действительно, для любой пары чиселα = a + b 2 и β = c + d 2 получимa ± b = (a ± с) + (b ± d ) 2 ,ab = (aс + 2bd ) + (ad + bc) 2 ,a = ac - 2bd + bc - adb c 2 - 2d 2 c 2 - 2d 22,т. е. числа того же вида.Очевидно, что множество чисел того же вида a + b 2, где а и b –целые числа, полe не образуeт [5]. Легко показать, что множества ра!циональных, вещественных и комплексных чисел образуют число!вые поля.Определение линейного пространства.

Линейным пространст!вом над числовым полем K называется множество L элементов, кото!рые будем называть векторами и обозначать x , y , z , . . . если:71) указан закон, согласно которому любой паре векторов x Î L иy Î L однозначно ставится в соответствие вектор z Î L. Вектор z на)зывается суммой векторов x и y, обозначается z = x + y ;2) указан закон, согласно которому каждому числу λ из поля K илюбому вектору x ∈ L однозначно ставится в соответствие вектор z ∈L. Вектор z называется произведением вектора x на число λ и обо)значается z = l x ( или z = x l);3) введенные в пп.

1) и 2) операции сложения векторов и умно)жения вектора на число удовлетворяют следующим аксиомам:а) x + y = y + x ;б) (x + y ) + z = x + (y + z ) для любых x , y и z из L;в) существует элемент Q ∈ L (Q – нулевой вектор), такой, чтоx + Q = x для любого вектора x ∈ L;г) для каждого вектора x ∈ L существует такой вектор y ∈ L, чтоx + y = Q; вектор y называется противоположным вектору x и обо)значается –x;д) 1 ⋅ x = x для любого вектора x ∈ L;е) a (b x) = (ab) x для любого вектора x ∈ L и любых чисел ииз K;ж) (a + b) x = a x + b x для любого вектора x ∈ L и любых чисели из K;з) a(x + y) = a x + a y для любых векторов x и y из L и любогочисла из K.Из этих аксиом вытекает следующее.1.

В линейном пространстве существует единственный нулевойвектор.2. В линейном пространстве каждый вектор имеет единственныйпротивоположный вектор.3. Для любого элемента x ∈ L имеет место равенство 0 x = Q.4. Для любого вектора x ∈ L противоположный вектор равен–x = (–1)x.Существование противоположного вектора определяет возмож)ность введения для векторов линейного пространства операциивычитания как операции, обратной операции сложения: x – y = x ++ (–1)y = x + (–y).8Назовем разностью векторов x и y вектор z (который обозначимz = x - y ), удовлетворяющий равенству z + y = x . Прибавляя к обе)им частям этого равенства элемент –y и учитывая, что y + (-y ) = Q,получаем z = x + (-y ).Примеры линейных пространств.1.

Множество всех вещественных чисел с обычными операция)ми сложения и умножения образует линейное пространство. Рас)смотрим частные случаи при специальном выборе числовых полей:а) над полем рациональных чисел это множество будет линей)ным пространством;б) над полем вещественных чисел это множество также будет ли)нейным пространством;в) над полем комплексных чисел это множество линейное про)странство не образует (так как произведение действительного числана комплексное число есть комплексное число).2.