Феоктистов В.В., Сидняев Н.И. Линейные и евклидовы пространства (2008) (1135797), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В пространстве L3 векторыæ1öæ1öæ 1öæ6 öç ÷ç ÷ç ÷ç ÷e1¢ = ç 1÷ ; e2¢ = ç 1 ÷ ; e 3¢ = ç 2 ÷ ; x = ç 9 ÷ç3÷ç2÷ç 1÷ç 14÷è øè øè øè øзаданы своими координатами в некотором базисе В. Доказать, чтосистема B ¢ = (e1¢, e2¢ , e 3¢ ) – базис в L3, и найти столбец x ¢ координатвектора x в этом базисе.Р е ш е н и е . Запишемe1¢ = e1 + e2 + e 3 , e2¢ = e1 + e2 + 2 e 3 ,e 3¢ = e1 + 2 e2 + 3 e 3 , х = 6 e1 + 9e2 + 14e 3 . Отсюда находимæ e1¢ ö æ 1 1 1ö æ e1 öç ÷ ç÷ç ÷ç e2¢ ÷ = ç 1 1 2 ÷ ç e2 ÷ .ç e ¢ ÷ ç1 2 3÷ ç e ÷ø è 3øè 3ø èОпределим обратную матрицу:æ1 1 1 1 0 0ö æ 1 1 1 1 0 0ö æ 1 1 1 1 0 0ö÷÷ ç÷ ççç 1 1 2 0 1 0 ÷ ~ ç 0 0 1 -1 1 0 ÷ ~ ç 0 1 2 -1 0 1÷ ~ç 1 2 3 0 0 1÷ ç 0 1 1 -1 0 1÷ ç 0 0 1 -1 1 0 ÷øø èø èèæ 1 1 0 2 -1 0 ö æ 1 0 0 1 1 -1 ö÷ ç÷ç~ ç 0 1 0 1 -2 1÷ ~ ç 0 1 0 1 -2 1 ÷ .ç 0 0 1 -1 1 0 ÷ ç 0 0 1 -1 1 0 ÷ø èøèПолучимæ e1 ö æ 1 1 -1 ö æ e1¢ öç ÷ ç÷ç ÷1 ÷ ç e2¢ ÷ .ç e2 ÷ = ç 1 -2ç e ÷ ç-1 1 0 ÷ ç e ¢ ÷ø è 3øè 3ø è28Окончательно запишемæ e1¢ öæ 1 1 -1 ö æ e1¢ öç ÷ç÷ç ÷1 ÷ ç e2¢ ÷ = (1, 2, 3) ç e2¢ ÷ .х = (6, 9, 14) ç 1 -2ç-1 1 0 ÷ ç e ÷çe ¢ ÷èø è 3¢ øè 3øДругой вариант решения.
Покажем, что (е ¢) является базисом:æ 1 1 1ö æ 1 1 1öç÷ ç÷А = ç 1 1 2 ÷ ~ ç 0 0 1÷ Þ r = 3 .ç1 2 3÷ ç0 1 2÷èø èø–1Найдем Т :T-1æ 1 1 -1 ö÷ç1÷;= ç 1 -2ç-1 1 0 ÷øèæ 1 1 -1 ö æ 6 ö æ 1ö÷ç ÷ ç ÷çx ¢ = ç 1 -2 1 ÷ ç 9 ÷ = ç 2 ÷ .ç-1 1 0 ÷ ç 14÷ ç 3 ÷øè ø è øèП р и м е р 15. В пространстве L4 векторыæ7öæ 1öæ2öæ 1öæ 1öç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷232314e1¢ = ç ÷ ; e2¢ = ç ÷ ; e 3¢ = ç ÷ ; e 4¢ = ç ÷ ; x = ç ÷ç-1 ÷ç-1 ÷ç0÷ç 1÷ç -1÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è2øè0øè-1 øè 4øè -2 øзаданы своими координатами в некотором базисе В.
Доказать, чтосистема B ¢ = (e1¢, e2¢ , e 3¢ , e 4¢ ) – базис в L4 , и найти столбец x ¢ коорди)нат вектора x в этом базисе.Р е ш е н и е . Запишем e1¢ = e1 + 2 e2 - e 3 - 2 e 4 , e2¢ = 2 e1 + 3 e2 ++ 0 e 3 - e 4¢ , e 3¢ = e1 + 2 e2 + e 3 + 4e 4 , e 4¢ = e1 + 3 e2 - e 3 + 0 e 4 . Сле)довательно,æ e1¢ ö æ 1ç ÷ çç e2¢ ÷ = ç 2ç e 3¢ ÷ ç 1ç ÷ çè e 4¢ ø è 12 -1 -2 ö æ e1 ö÷ç ÷3 0 -1÷ ç e2 ÷.2 1 4 ÷ ç e3 ÷÷ç ÷3 -1 0 ø è e 4 ø29Найдем обратную матрицу (T -1 ) T :æ1çç2ç1çè12 -1 -23 0 -12 1 43 -1 0æ1 2ç0 -1~çç0 0çè0 01 0 0 0ö æ 1 2÷ ç0 1 0 0 ÷ ç 0 -1~0 0 1 0÷ ç0 0÷ ç0 0 0 1ø è 0 10 0 0ö æ 1÷ ç1 0 0÷ ç0~0 1 0÷ ç0÷ ç1 0 1ø è 0-1 -2 12 -3 -22 6 -12 5 -3æ1ç0~çç0çè0æ1ç0~çç0çè0æ1ç0~çç0çè0-1 -2 12 3 -22 6 -10 2 -12 -1 -21 -2 -30 261 0 -10 0 0ö÷1 0 0÷~0 1 0÷÷0 0 1ø10 02 -1 0-1 0 1-2 1 -12 -1 0 5-2 2 -2 ö÷1 -2 0 8-4 3 -3 ÷~0 2 0 -13 6 -5 6 ÷÷0 0 -1 -21 -1 1 ø21000010010000100 -3 /2 1 -1/2 1 ö÷0 -523÷-2~0 -13 /2 3 -5 /2 3 ÷÷1 21-1-1ø0 17 /2 -3 7 /2 -5 ö÷0 -523÷-2,0 -13 /2 3 -5 /2 3 ÷÷1 21-1-1øæ e1 öç ÷e(x ) e = (7, 14, -1, 2) ç 2 ÷ =ç e3 ÷ç ÷è e4 øæ 17 /2 -3 7/2 -5 ö æ e1¢ öç÷ç ÷2 -23 ÷ ç e2¢ ÷-5ç= (x ) e ¢ .= (7, 14, -1, 2)ç -13 /2 3 -5 /2 3 ÷ ç e 3¢ ÷÷ç ÷ç-1 1-1ø è e 4¢ øè 2300ö÷0÷~0÷÷1øВ результате получимх ¢ = (0, 2, 1, 2) Т .П р и м е р 16.
В пространстве L4 векторыæ 1öæ 1öæ 1öæ 1öç ÷ç ÷ç ÷ç ÷1213b1 = ç ÷ , b2 = ç ÷ , b 3 = ç ÷ , b 4 = ç ÷ ,ç2÷ç 1÷ç2÷ç 1÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è 1øè3øè 1øè 1øæ -2 öæ -2 öæ2öæ 1öç ÷ç ÷ç ÷ç ÷-3-3 ÷0÷2÷ççç, b 4¢ = ç ÷b1¢ =,b¢ =,b¢ =ç -4÷ç 3 ÷ 2 ç -5 ÷ 3 ç 5 ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è -4øè -4øè 4øè3øзаданы своими координатами в некотором базисе. Доказать, что сис)темы B = (b1 , b2 , b 3 , b 4 ) и B ¢ = (b1¢, b2¢, b 3¢ , b 4¢ ) – базисы в L4 и, исполь)1зуя соотношение TB ® B¢ = Te-®B × Te ® B ¢ , составить матрицу переходаTB ® B ¢ .Р е ш е н и е .
Запишем b1 = e1 + e2 + e 3 + e 4 , b2 = e1 + 2 e2 ++ e 3 + e 4 , b 3 = e1 + e2 + 2 e 3 + e 4 , b 4 = e1 + 3 e2 + 2 e 3 + 3 e 4 , b1¢ = e1 ++ 3 e 3 + 3 e 4¢ , b2¢ = -2 e1 - 3 e2 - 5 e 3 - 4e 4 , b 3¢ = 2 e1 + 2 e2 + 5 e 3 + 4e 4¢ ,b 4¢ = -2 e1 - 3 e2 - 4e 3 - 4e 4 .Системы векторов связаны:æ b1¢ öç ÷ç b2¢ ÷Tç ÷ = TB ® B ¢ç b 3¢ ÷ç ÷è b 4¢ øæ b1 öç ÷ç b2 ÷ç ÷,çb3 ÷ç ÷èb4 øæ b1¢ ö3 3 ö æ e1 öç ÷ æ 1 0ç b2¢ ÷ ç -2 -3 -5 -4÷ ç e2 ÷÷ç ÷ =ç ÷ =çç2254÷ ç e 3 ÷ç b 3¢ ÷çç ÷ è -2 -3 -4 -4÷ø çè e 4 ÷øè b 4¢ ø31-1/2 -1/2 ö÷00 ÷10 ÷÷-1/21/2 ø3 3ö æ 2 0æ 1 0÷çç-2 -3 -5 -4÷ ç -1 1ç=ç 2254 ÷ ç -1 0÷ççè -2 -3 -4 -4ø è 1 -1æ2ç0= çç1çè-1TBT® B¢æ b1 öç ÷ç b2 ÷ç ÷ =çb3 ÷ç ÷èb4 øæ ö-3 1 1 ö ç b1 ÷÷ç ÷1 -2 -1 ÷ b2ç ÷,1 ÷ çb ÷-2 2÷ 31 -1 -1 ø ç ÷èb4 øæ2ç0= çç1çè-1-3 1 1ö÷1 -2 -1÷,-2 21÷÷1 -1 -1øтак как из связи системы В с базисом (е)æ b1 öç ÷ æ1 1ç b2 ÷ ç 1 2ç ÷ =ççb3 ÷ ç1 1ç ÷ çè 1 3èb4 ø11221ö÷1÷1÷÷3øæ e1 öç ÷ç e2 ÷ç e3 ÷ç ÷è e4 øполучаем матрицу обратной связиæ1çç1ç1çè1æ1ç0~çç0çè0321 1 1 1 02 1 1 0 11 2 1 0 03 2 3 0 00 0ö æ 1 1÷ ç0 0÷ ç0 1~1 0÷ ç0 0÷ ç0 1ø è 0 21 1 1 1 01 0 0 -1 10 1 0 -1 00 1 2 1 -20 0ö æ 1÷ ç0 0÷ ç0~1 0÷ ç0÷ ç0 1ø è 01 1 10 0 -11 0 -11 2 -10 0 0ö÷1 0 0÷~0 1 0÷÷0 0 1ø1 1 1 1 0 01 0 0 -1 1 00 1 0 -1 010 0 2 2 -2 -10ö÷0÷~0÷÷1øæ1ç0~çç0çè0-1/2 -1/2 ö÷00 ÷.10 ÷÷-1/2 1/2 ø0 0 0 2 01 0 0 -1 10 1 0 -1 00 0 1 1 -1Другой вариант решения.
Покажем, что эти векторы образуютбазис.Для B определим ранг эквивалентными преобразованиями:æ1çç1ç1çè11 1 1ö÷2 1 3÷~1 2 2÷÷1 1 3øæ1çç0ç0çè01 1 1ö÷1 0 2÷.0 1 1÷÷0 0 2øТогда r = 4.Для B ¢æ1çç0ç3çè3-2-3-5-42254-2 ö æ 1 -2 2 -2 ö æ 1 -2 2 -2 ö÷ ç÷ ç÷-3 ÷ ç 0 -3 2 -3 ÷ ç 0 1 -1 2 ÷.~~-4÷ ç 0 1 -1 2 ÷ ç 0 0 -1 3 ÷÷ ç÷ ç÷-4ø è 0 2 -2 2 ø è 0 0 0 -2 øТогда r = 4 . Следовательно, векторы образуют базисы. При пере)ходе от B ® B ¢ получаем Te ® B ¢ = Te ® B × TB ® B ¢ .Тогдаæ 2 -1 -1ç01 0T B ® B¢ = çç -1/ 2 0 1çè -1/ 2 0 01 ö÷-1 ÷-1/ 2÷æ1çç0ç3÷ç1/ 2 ø è 3-2 2 -2ö÷-3 2 -3÷=-5 5 -4÷÷-4 4 -4øæ 2 0 1çç -3 1 -2ç 1 -2 2çè 1 -1 1-1ö÷1÷.-1÷÷-1øП р и м е р 17. Найти размерность и какой)нибудь базис линей)ной оболочки заданной системы арифметических векторовx1 = (1, 0, 0, -1) T , x2 = (2, 1, 1, 0) T , x 3 = (1, 1, 1, 1) T , x 4 = (1, 2, 3, 4) T ,x 5 = (0, 1, 2, 3) T .33Р е ш е н и е.
Выясним, сколько векторов образуют базис. Найдемранг системы векторов:æ1çç2ç1ççç 1è00 0 -1 ö æ 1 0÷ ç1 1 0 ÷ ç0 11 1 1 ÷ ~ ç0 1÷ ç2 3 4 ÷ ç0 2÷ ç1 2 3 ø è0 10 -1 ö æ 1 0÷ ç1 2 ÷ ç0 11 2 ÷ ~ ç0 0÷ ç3 5 ÷ ç0 0÷ ç2 3 ø è0 00 -1 ö æ 1 0÷ ç1 2 ÷ ç0 10 0 ÷ ~ ç0 0÷ ç1 1 ÷ ç0 0÷ ç1 1 ø è0 00 -1 ö÷1 2÷1 1÷.÷0 0÷÷0 0øСледовательно, r = 3, а за базис можно взять (x1 , x2 , x 4 ) .Глава 3. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО3.1. Процесс ортогонализации системы векторовОпределение. Линейное пространство Е называется евклидо)вым, если определена операция скалярного произведения, котораялюбым двум векторам пространства ставит в соответствие вещест)венное число ((x , y ) ® a) ; операция скалярного произведенияопределяется следующими аксиомами:1) (x , y ) = (y , x ) ;2) (x + y , z ) = (x , z ) + (y , z ) ;3) (a x , y ) = a (x , y ) ;4) (x , x ) ³ 0; (x , x ) = 0 Û x = Q.Величину x = (x , x ) называют нормой вектора x.
Вектор x,длина которого равна единице, называют нормированным. Для лю)бых векторов x и y евклидова пространства справедливо неравенство2Коши–Буняковского: (x , y ) £ (x , x )(y , y ). Величину , определяе)(x , y )мую из соотношения cos j =, называют углом между вектора)x yми x и y. Векторы x, y называют ортогональными, если (x , y ) == 0 Þ cos j = 0 Þ j = p /2.Базис (e1 , e2 , . . . , e n ) называют ортонормированным, еслиì0 при i ¹ j,(e i , e j ) = íî1 при i = j .34Если в пространстве Ln задан произвольный базис ( f1 , f2 , .
. . , fn ),то векторы e1 = f1 , e k = fk -k -1å c (i k -1) e i ,i =1k = 2, 3, . . . , n , где c (i k - 1) =(f , e )= k i , образуют ортогональный базис в этом пространстве (про(e i , e i )цесс ортогонализации Шмидта).В ортогональном базисе (e1 , e2 , . . . , e n ) скалярное произведениевекторов x, y находят по формуле(x , y ) = X T Y = x 1 y1 + x 2 y 2 + . . . + x n y n .Комплексное линейное пространство U называют унитарным, если каждой паре векторов x, y из U поставлено в соответствие комплексное число, обозначаемое символом (x, y) и называемое скалярным произведением векторов x и y, причем выполнены следующиеусловия:1) (x , y ) = (x , y ) ;2) (x1 + x2 , y ) = (x1 , y ) + (x2 , y ) ;3) (a x , y ) = a (x , y ), a Î C ;4) (x , x ) ³ 0 , причем (x , x ) = 0 Û x = Q .В унитарном пространстве не определяется угол между векторами.Все остальные определения, сформулированные для евклидова пространства, остаются справедливыми и для унитарного пространства.Следует отметить, что все евклидовы и унитарные пространства в дальнейшем называются пространствами со скалярным произведением.П р и м е р 18.
В ортонормированном базисе (e1 , e2 , . . . , e n ) заданы векторы x, y. Найти угол между векторами x и y:1) x = (1, 2, 3, 0) T , y = (-2, 1, 0, 4) T ; 2) x = (1, 1, 1, -1) T , y == (-1, 0, 1, 1 ) T .Р е ш е н и е . Найдем угол между векторами:1) (x , y ) = X TY = (1 , 2, 3, 0) (-2, 1, 0, 4) T = -2 + 2 + 0 + 0 = 0 ,следовательно, векторы x и y ортогональны,2) (x , y ) = -1 + 0 + 1 + 1 = 1, x = (x , x ) = 2,(x , y )== 1 .x y2 3y = 3 , cos j =35П р и м е р 19.
Применить процесс ортогонализации к системамTTTвекторов f1 = (1, 1, 1, 1) , f2 = (3, 3, –1, –1) , f3 = (–2, 0, 6, 8) , евк)лидова пространства E.Р е ш е н и е . Проведем процесс ортогонализации:Тe1 = f1 = (1, 1, 1, 1) . e2 = f2 + a 1 e1 Þ a 1 ==-( f2 , e1 )3 3 1 14= - + - - = - = -1, т. е. e2 = (2, 2, - 2, - 2)T ,( e1 , e1 )1+1+1+14e 3 = f 3 + a 1 e1 + a 2 e2 Þ a 1 = -a2 = -( f 3 , e1 )2 6 8= - - + + = -3,( e1 , e1 )4( f 3 , e2 )= - -4 - 12 - 16 = 32 = 2 ,( e2 , e2 )4 + 4 + 4 + 4 16e 3 = (-2, 0, 6, 8) T - 3(1, 1, 1, 1) T + 2(2, 2, - 2, - 2) T = (-1, 1, - 1, 1) T ,т.
е. e 3 = (-1, 1, - 1, 1) T .П р и м е р 20. Применяя процесс ортогонализации, построитьортогональный базис подпространства, натянутого на данную систе)TTTму векторов f1 = (1, 2, 2, –1) , f2 = (1, 1, –5, 3) , f3 = (3, 2, 8, –7)4в евклидовом пространстве E .TР е ш е н и е . Процесс ортогонализации: e1 = (1, 2, 2, –1) ;e2 = f2 + a 1 e1 Þ a 1 = -( f2 , e1 )1 + 2 - 10 - 3= 1,=(e1 , e1 )1+ 4 + 4 +1TTTe2 = (1, 1, –5, 3) + (1, 2, 2, –1) = (2, 3, –3, 2) ;e 3 = f 3 + a 1 e1 + a 2 e2 Þ a 1 = -a2 = -( f 3 , e1 )= - -3 + 4 + 16 + 7 = -3 ,( e1 , e1 )10( f 3 , e2 )= - 6 + 6 - 24 - 14 = - -26 = 1,( e2 , e2 )4+9+9+ 426TTTTe 3 = (3, 2, 8, –7) – 3(1, 2, 2, –1) + (2, 3, –3, 2) = (2, –1, –1, –2) .36П р и м е р 21.
Проверить ортогональность следующих системTTTвекторов: e1 = (1, 1, 1, 1, 1) , e2 = (1, 0, 0, 1, –2) , e 3 = (2, 1, –1, 0, 2)4в евклидовом пространстве E и дополнить их до ортогональных ба)зисов.Р е ш е н и е . Проверим ортогональность данных векторов:(e1 , e2 ) = 1 + 1 - 2 = 0 , следовательно, e1 ^ e2 ; (e1 , e 3 ) = 2 + 1 -1 + 2 ¹ 0 , следовательно, вектор e1 не ортогонален вектору e 3 ;(e2 , e 3 ) = 2 - 4 ¹ 0 , следовательно, e2 не ортогонален векторуe3 .Строим ортогональный базис: (e1¢, e2¢ , e 3¢ , e 4¢ , e 5¢ ) .
За векторыe1¢, e2¢ возьмем векторы e1¢ = e1 , e2¢ = e2 , e 3¢ = e 3 + a 1 e1¢ + a 2 e2¢ ;a1 = -(e 3 , e1¢)= - 2 +1-1+2 = - 4,(e1¢, e1¢)1+1+1+1+15a2 = -(e 3 , e2¢ )= - 2 - 4 = 2 = 1,(e2¢ , e2¢ )1+1+ 4 6 3T 4TT1e 3¢ = (2, 1, –1, 0, 2) – (1, 1, 1, 1, 1) + (1, 0, 0, 1, –2) =531(23, 3, –27, –7, 8)T.=15Найдем e 4¢ ^ e1¢, e2¢ , e 3¢ . Решим системуìx 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 0 ,ïíx1 + x 4 - 2 x 5 = 0,ï23 x + 3 x - 27 x - 7 x + 8 x = 0 .12354îПроведем преобразования матрицы системы:æ1 1 1çç1 0 0ç 23 3 -27è11 ö æ1 111÷ ç1 -2 ÷ ~ ç 0 -1 -10÷ç-7 8 ø è 0 -20 -50 -301 ö÷-3 ÷ ~-15 ÷øæ 1 1 1 1 1ö æ 1 1 1 1 1 ö÷÷ çç~ ç0 1 1 0 3÷ ~ ç0 1 1 0 3 ÷ , r = 3 .ç 0 4 10 6 3 ÷ ç 0 0 6 6 -9 ÷øø èè37Получим системуìx 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 0 ,ïíx2 + x 3 + 3 x 5 = 0,ï2 x + 2 x - 3 x = 0 ,54î 3из которой следуетTх5 = 0, х4 = –1, х3 = 1, х2 = –1, х1 = 1, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
